考研数学三知识点总结.pdf

高数高数 三角函数变换 cos(AB)=cosAcosB+sinAsinBcos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB sin(AB)=sinAcosBcosAsinBsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sinAcosB= 1 2 sin(A+B)+sin(AB)sinxcosx= 1 2 sin2x sinAsinB= 1 2 cos(AB)cos(A+B)sin2x= 1 2 (1cos2x) cosAcosB= 1 2 cos(AB)+cos(A+B)cos2x= 1 2 (1+cos2x) cos2x=1tan 2x 1+tan 2x sin2x= 2tanx 1+tan 2x arcsinx+arccosx= 2 arctanx+arccotx= 2 arctanx+arctan 1 x = 2 圆柱体积 V =r2h 圆锥体积 V =1 3 r 2h 球体积 V = 4 3 r3 椭圆面积 S=ab 抛物线y2=2px交点坐标 ( p 2 ,0) 准线 x= p 2 点到直线距离 ax0+by0+c a 2+b2 第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点。 可去间断点：间断点处左右极限存在但不等于该点函数值。 f (x0+0)= f (x00) f (x0) 跳跃间断点：间断点处左右极限存在但不相等。 f (x0+0) f (x00) 第二类间断点：间断点处左右极限至少有一个是 重要极限 lim x0 sinx x =1 lim x (1+ 1 x ) x =elim x0 (1+x) 1 x=e x趋向于 0 时的等价无穷小 sinxx tanxx arcsinxx arctanxx 1cosx 1 2 x2 ln(1+x)x loga(x+1) x lna e x1x ax1xlna n 1+x1 x n (1+bx)a1abx 导数公式 (a x)=axlna (logax)= 1 xlna (tanx)=sec2x (cotx)=csc2x (secx)=secxtanx (cscx)=cscxcotx (arcsinx)= 1 1x 2 (arccosx)= 1 1x 2 (arctanx)= 1 1+x2 (arccotx)= 1 1+x2 sin(ax+b)(n)=ansin(ax+b+ n 2 )cos(ax+b)(n)=ancos(ax+b+ n 2 ) ( 1 ax+b ) (n) =(1) nann! (ax+b)n+1 ln(ax+b)(n)=(1) n1(n1)!an (ax+b)n 积分公式 dx x 2a2=lnx+x 2a2+C dx a 2x2=arcsin x a +C dx x2a2= 1 2 lnxa x+a+C dx x2+a2= 1 a arctan x a +C dx a2x2+b2 = 1 ab arctan ax b +c secxdx=lnsecx+tanx+ccscxdx=lncscxcotx+c a 2x2dx=a 2 2 arcsin x 2 + x 2 a 2x2+c x 2a2dx=x 2 x 2a2a 2 2 lnx+x2a2+c 0 2 sin n xdx=0 2 cosnxdx=(n1)! n! 2 (n为偶数) 0 2 sin n xdx=0 2 cosnxdx=(n1)! n! (n为奇数 ) 0 2 f (sinx)dx=0 2 f (cosx)dx 0 xf (sinx)dx= 20 f (sinx)dx=0 2 f (sinx)dx 0 x f (t)dt0 x f (t)dt 0 a f (x)dx= 1 20 a f (x)+ f (x)dx a a f (x)dx=0 a f (x)+ f (x)dx f x (x, y) , f y (x ,y) 在 (x0,y0) 连续 z= f (x ,y) 在 (x0,y0) 可微 f (x, y) 在 (x0,y0) 连续 二重积分特点 积分区域D 关于x轴对称 D f (x, y)d=0 f为y 的奇函数，即 f (x ,y)= f (x, y) D f (x, y)d=2 D1 f (x, y)d f 为y的偶函数，即 f (x ,y)= f (x ,y) 积分区域D 关于y轴对称 D f (x, y)d=0 f为x 的奇函数，即 f (x, y)= f (x, y) D f (x, y)d=2 D1 f (x, y)d f 为x的偶函数，即 f (x, y)= f (x ,y) 积分区域关于原点对称 D f (x, y)d=0 f为x，y 的奇函数，即 f (x,y)= f (x, y) D f (x, y)d=2 D1 f (x, y)d f 为x，y的偶函数，即 f (x,y)= f (x, y) 函数展开式 e x=1+x+1 2! x 2+1 n! xn= k=0 n xk k! sinx=x 1 3! x3+ 1 5! x5+(1)n1 1 (2n1)! x2n1= k=0 n (1)k x2k+1 (2k+1)! cosx=1 1 2! x2+ 1 4! x4+(1)n 1 (2n)! x2n= k=0 n (1)k x2k (2k)! ln(1+x)=x 1 2 x2+ 1 3 x3+(1)n1 1 n xn= k=1 n (1)k1 xk k 1 1+x = k=0 n (1)kxk 1 1x = k=0 n xk 多元函数极值：驻点 (x0,y0) 满足 f x (x0,y0)=0 ，fy (x0,y0)=0 且 A= f xx (x0,y0) ,B= fxy (x0,y0),C= f yy (x0,y0) B2AC0 时是最小值， A0时， (x0,y0) 不是极值点。 B2AC=0时，不能判断，需要另外方法讨论。 一阶线性微分方程：y+ p(x)y=q(x) 公式法通解：y=e p(x)dx q(x)e p(x)dx dx+C 二阶常系数线性微分方程：y +py+qy=0 ，特征方程： r 2+pr=q=0 = p24q0时，有两个相异实根 r1r2 ，通解y= f (x)=C1e r1x+C 2e r2x = p24q=0 时，有二重根r，通解 y= f (x)=(C1+C2x)erx = p24q0 i 不是特征根，y*=Acosx+Bsinx i 是特征根，y*=x(Acosx+Bsinx) 差分一般形： yt+1+ayt= f (t) ，通解 yt=C (a)t f (x) 形式特解形式 f (t)=Pn(t) Pn(t) 为n 次多项式 a+10 ， y=Qn(t) a+1=0 ， y=tQn(t) f (t)=Mbta+b0，y=Abt a+b=0 ，y=Atbt f (t)=Mcost+Nsinty=Acost+Bsint 渐近线 x=a 是垂直渐近线 lim xa f (x)= ，必须是a左右都趋于无穷。 x+ 时， y=b 是水平渐近线 lim x+ f (x)=b x+ 时， y=kx+b 是斜渐近线 lim x+ f (x) x =k ，且 lim x+ f (x)kx=b 在考察水平渐近线和斜渐近线时，也要同时考察 x 时的情况。 级数 n=1 Un收敛的必要条件是 lim n Un=0 若级数 n=1 Un收敛，任意添加括号不影响敛散性，去括号会有影响。 n=0 aqn，当q1 时收敛，当 p1 时发散。 正项级数审敛法之一：比较判别法 n=1 Un和 n=1 V n 为正项级数，且 lim x V n Un=A 当 00 是必要条件） 存在可逆矩阵C，使得A=C TC 对于二次型A，r(A)=正、负惯性指数之和 概率概率 分布参数定义域分布率期望方差 0-1 分布P1，0pkq1kppq 二项分布 （B） n，p0,1,nCn k pkqnknpnpq 几何分布p1,2,pqk11 p q p2 超几何分布n，N，MCM k CNM nk CN n np （p=M/N） npq Nn N1 柏松分布 （P） 0自然数 k k! e 均匀分布 （U） a，b（a，b）1 ba a+b 2 (ba)2 12 指数分布 （E） (0,+) e x 1 1 2 正态分布 （N） ,(,+) 1 2 e (x) 2 2 2 标准正态分布=0,=1(,+) 1 2 e x 2 2 01 A，B不相容 P(AB)=0 ，即 AB= A，B独立 P(AB)=P(A)P(B) 切比雪夫大数定律（注：所有大数定律都要求样本相互独立） lim n P1 n i=1 n Xi 1 n i=1 n EXi=1 EXiDXi存在，且DXi有上限 伯努力大数定律 lim n P1 n i=1 n XiP=1 Xi为参数P的的 0-1分布 辛钦大数定律 lim n P1 n i=1 n Xi=1 Xi同分布同期望，EXi= 列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理） lim n P 1 n ( i=1 n Xin)x=(x)，即 i=1 n X in n = 1 n i=1 n Xi /n N (0,1) (x) 是标准正态分布，=DX 拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为其极限分布） lim n P Ynnp np(1 p) x=(x) ，即 Ynnp np(1 p) N (0,1) X=1 n i=1 n X i S 2=1 n1 i=1 n (XiX)2= 1 n1 i=1 n (Xi 2n X 2) E(X )=E(Xi)= D(X )=D (X ) n = 2 n E(S2)=D(X )= 2 设 X N (0,1) ，Y 2(n) ，则 t= X Y n t1a(n)=ta(n) t 2F (1,n) X 2(n 1) Y 2(n 2) ，则 F= X /n1 Y /n2 ，记为 F (n1,n2) FF(n1,n2) 1 F F(n2,n1) F1a(n1,n2)= 1 Fa(n2,n1) 设 X N (0,1) X N (, 2 n ) X /n =n( X ) N (0,1) 1 2 i=1 n (X i) 22(n) (n1)S 2 2 = i=1 n ( Xi X ) 2 2(n1) X /n (n1)S2 2 /(n1) = X /n S =n( X ) S t(n1) n(X )2 S 2 F(1,n1) X与 Y 不相关 Cov(X ,Y)=0 EXY=EXEY D(X +Y)=DX+DY P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) 柏松积分：柏松积分： + et 2 dt= 函数：函数： (a)=0 + xa1exdx ( 1 2 )= (a+1)=a(a) (n)=(n1)! (1)=1 方差：D(X )=E(X 2)E(X)2 协方差： Cov(X ,Y)=E(XEX )(YEY )=E(XY )EXEY D(X Y)=DX+DY2Cov(X ,Y) 相关系数 XY= Cov(X ,Y) DXDY 柏松定理： 设 X 符合参数为 n，p的二项分布，即 X B(n, p) ，当n充分大而p 充分小，且np 大小适中时，X近似服从参数为 =np 的柏松分布。 槺-拉定理： 设 X 符合参数为 n，p的二项分布，即 X B(n, p) ，当n充分大时，X近似服从参 数为np，npq 的正态分布，即 X N (np,npq) 连续型随机变量函数的分布的求法， Y=g(X ) 定义法： FY( y)=PYy=Pg(X )=y= g(x)y f (x)dx f Y(y)=FY (y) 公式法：要求 Y=g(X) 严格单调， f X(x)处处可导 f Y(y)= fXh(y)h (y) y f Y(y)=0其他 h(y) 是 g(x) 的反函数 卷积公式： Z=X Y f Z(z)= + f (x+z ,x)dx，若独立，则f Z(z)= + f X(x+z) fY(x)dx 注意：注意：卷积公式形式很多，总体思想是，将X、Y 其中一个变量用Z表示，对剩下的变量在 整个定义域内做积分。公式中的积分区域虽然是 (,+) ，但实际使用公式时，应根据 实际的定义域进行积分。 边缘分布函数：设 (X ,Y) f (x ,y) F X(x)=PX x=P Xx ,Y+=F(x,+)= x + f (x, y)dydx f X(x)= + f (x ,y)dy f Y(y)= + f (x , y)dx f X |Y(x| y)= f (x ,y) f Y(y) f Y |X(y|x)= f (x ,y) f X(x) X符合参数为 的柏松分布，则Y=kX符合 k 的柏松分布。即， X P() 且 Y=kX YP(k) 分布可加性：条件：X，Y相互独立 X B(n, p)YB(m, p) ，则 X +YB(m+n, p) X P(1) YP(2) ，则 X +YP(1+2) X N (1,1 2 ) YN (2,2 2) ，则 aX +bY N (a1+b2，a2 1 2+b2 2 2) X 2(n) Y2(m) ，则 X+Y 2(n+m) 当X，Y 不相互独立时，正态分布相加结果： X N (1, 1 2) YN (2,2 2) aX+bY N (a1+b2，a 2 1 2+b2 2 2+2ab 12) 对于二维正态分布，不相关等价于相互独立。 F (x) 为分布函数的充要条件：