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Laplace方程的九点差分格式 邱文林(中南林业科技大学 理学院 信息与计算科学,湖南省 长沙市 410000)摘 要:本文通过网格剖分，并使x与y方向上的步长相等，来建立Laplace方程的九点差分格式，并给出其截断误差及数值算例。关键词:网格剖分; Laplace方程;九点差分格式;截断误差;数值算例中图法分类号: 文献标识码: A The Nine-point Difference Scheme of Laplace EquationQIU Wen-lin (Dept. of Information and Computing Science, School of Science, Central South University of Forestry & Technology, Changsha Hunan 410000, China)Abstract: This paper establishes the nine-point difference scheme of Laplace equation on the basis of grid division and maintaining the step length of x and y direction equally, and gives the truncation error and numerical example.Key words: Grid division; Laplace equation; Nine-point difference scheme; Truncation error; Numerical examples80 引言方程, 又称为调和方程、位势方程. 因为法国数学家拉普拉斯首先提出而得名, 下面要求解的是它的差分格式. 代替它的传统五点差分格式, 本文求解的是x与y方向上步长相等的九点差分格式2.考虑如下二维方程定解问题, . (0.1) , . (0.2) 的差分格式, 为简单起见, 只考虑为矩形区域.其中, 为边界点集.1 差分格式的建立 1.1 网格剖分将区间作等分, 记, ,.将区间等分,记, 称为方向的步长, 称为方向的步长. 记称其属于的结点1,为内结点,为边界结点, 显然. 为方便起见, 记,.1.2 截断误差以下推导过程, 令, 使得方向与方向上的步长相等.在结点处考虑方程(0.1)有, . (1.1)将, 分别以为中心关于运用泰勒级数展开, 整理得 (1.2) 再将, 分别以为中心关于运用泰勒级数展开, 整理得 (1.3)利用(1.2), (1.3)两式, 整理可得 (1.4)其中, (1.5) (1.6)再将分别以为中心关于运用泰勒级数展开, 有利用上面两式, 整理得 (1.7)将, 分别以为中心关于运用泰勒级数展开得利用上面两式, 整理可得 (1.8)同理, 将, 分别以为中心关于运用泰勒级数展开, 整理可得 (1.9)同理, 将, 分别以为中心关于运用泰勒级数展开, 整理可得 (1.10)将(1.8)(1.10)三式代入到(1.7), 整理得 (1.11)将, 分别以为中心关于运用泰勒级数展开, 整理得同理可得将上述两式代入到(1.11)中, 整理有 (1.12)其中(1.13)又则(1.14)再将(1.13), (1.14)两式代入到(1.12)可得 (1.15)此时, 将(1.15)式代入到(1.5)中, 有 (1.16)再将(1.6), (1.16)两式代入到(1.4)中, 可得令 那么有其中是的八阶偏导数的绝对值于考虑区域的上确界, 则为方程(1.4)的截断误差绝对值, 为方程(1.4)的截断误差.舍去截断误差, 用代替, 得如下差分方程 (1.17)其中结合边值条件, 可得如下差分格式, (1.18), . (1.19)2 差分格式的求解将差分格式(1.18)(1.19)中(1.18)改写为 (2.1)系数矩阵, 为三对角块矩阵, 均为阶方阵. 其中, 由, 可进一步写为均为行的列向量,其中 为三对角块矩阵, 实为大型稀疏矩阵, 并非严格的三对角矩阵, 不宜用追赶法求解, 可用Jacobi或Gauss-Seidel迭代来求解此以大型稀疏矩阵为系数矩阵的线性方程组.3 数值算例下面将通过方程的九点差分格式, 来求解算例, 并给出此差分格式下, x与y方向上步长相等时数值解的最大误差及阶.算例 应用差分格式(1.18),(1.19)计算如下二维方程问题., . (3.1), ., .该定解问题的精确解为.表1 算例部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解(1/2,1/4)(1,1/4)(3/2,1/4)(1/2,1/2)(1,1/2)1/420.95088230.24179247.25197822.12146531.9314831/4820.95088230.24179247.25197822.12146531.9314831/1620.95088230.24179247.25197822.12146531.9314831/3220.95088230.24179247.25197822.12146531.931483精确解20.95088230.24179247.25197822.12146531.931483表2 算例取不同步长时部分结点处数值解的误差的绝对值(1/2,1/4)(1,1/4)(3/2,1/4)(1/2,1/2)(1,1/2)1/41.445e-72.257e-72.706-71.940e-73.040e-71/82.257e-93.525e-94.225e-93.029e-94.750e-91/16 3.510e-11 5.482e-11 6.575e-11 4.712e-11 7.389e-111/32 9.592e-14 1.563e-13 1.279e-13 1.386e-13 2.203e-13上表1给出了这些结点处取不同步长所得的数值解和精确解的绝对误差, 显示出取不同步长时数值解的绝对误差的变化趋势. 而由上表2可知, 随着步长的减小, 数值解和精确解的误差越来越小, 从1.0e-13的精度来看, 数值解与精确解已经非常接近了. 下面利用公式(3.1)计算取不同步长时所得数值解的最大误差及阶表3 算例取不同步长时数值解的最大误差及阶 1/43.5928e-07*1/85.6148e-0963.98805.99971/168.7731e-1164.00026.00001/326.2883e-13 139.51477.1243由上表分析可得, 当步长缩小为原来的1/2时, 最大误差约缩小为原来的1/64, 阶在6附近波动.图1 算例时精确解和数值解曲线图图1给出了时精确解和数值解曲线图, 由图可知, 数值解与精确解拟合程度非常好. 为了直观地表现出误差的变化趋势, 我们给出了如下取不同步长时数值解的误差曲面图.图6 算例3 取不同步长时数值解的误差曲面图由上图分析可得, 随着步长h的减小, 即和方向上的剖分越细密, 精度越高, 数值解与精确解几乎相等.结束语据表3中数据及图1,2看来, 所得结果是符合方程九点差分格式其截断误差的阶的, 而本文讨论的是第一类边值问题, 若换成导数边界值条件或Robin边界值条件, 该格式下的精度会不会发生变化, 这是一个可以继续探讨的问题.参考文献:1 孙志忠. 偏微分方程数值解法M. 第二版. 北京: 科学出版社, 2005.2 李荣华. 偏微分方程数值解法M. 第二版. 北京: 高等教育出版社, 2005.三大搜索引擎的比较 邱文林(中南林业科技大学 理学院 信息与计算科学,湖南省 长沙市 410000)摘 要:本文针对谷歌、百度和必应三大搜索引擎对人工智能一词进行搜索，并比较其结果，发现Google最好，定位准确，信息量庞大，适用于学术方面的搜索；百度和必应差别不大，但必应首页更美观。关键词:谷歌; 百度; 必应; 人工智能中图法分类号: 文献标识码: A The Contrast of Three Major Search enginesQIU Wen-lin (Dept. of Information and Computing Science, School of Science, Central South University of Forestry & Technology, Changsha Hunan 410000, China)Abstract: This paper searches the term artificial intelligence, based on Google, Baidu and Bing three major search engines, and compares their results, find that Google is best, accurate positioning and including large amount of information, suitable for academic search, Baidu and Bing are not much different, but homepage of the Bing is more beautiful.Key words: artificial intelligence;Google ;Baidu ; Bing下面针对关键词“人工智能”，利用Google，百度和Bing三大搜索引擎进行搜索，并进行比较。1 Google 谷歌必然是学术搜索无出其右，并且关键词定位十分精准，首页最上面信息就是我们要的，没有乱七八糟的广告插入，搜索后其所呈现的信息量十分庞大。如果写论文需要参考文献和资料，Google无疑是最好的选择。2 Baidu 百度的本地化做的确实好，并且拥有百度知道和百度百科这俩神器。缺点是广告确实太多，而且不够准确，就像上面对“人工智能”关键字的搜索，第一面上半部分出现的都是一些杂七杂八的广告，根本没有扣准中心，再者，由百度百科搜索的信息没有维基百科全面。搜索“人工智能”的结果，相比Google的48600000条，百度只有16300000条，可见百度的信息量没有Google的大，百度唯一的优点就是，在国内不用翻墙，不需要Lantern这样的翻墙软件也可以进行搜索，但国外好多东西会被国内网络所屏蔽。3 Bing不得不说，BING的有个优势是其他俩位完全不具备的，首页很漂亮，美观，十分吸引女孩子。总体搜索质量，感觉和百度差别不在国内不是搜什么正经事一般懒得翻去google，用Bing和百度就可以了。结束语 其实，上文的对比被中文关键字局限了。例如本文对“人工智能”一词的搜索，就信息量而言，谷歌有48100000条信息，百度有16300000条，而必应只有7810000条，是百度的1/2，谷歌的1/