控制系统的时域分析.ppt

第三章 控制系统的时域分析,本章主要内容及难点 自动控制系统的时域指标 一阶系统的阶跃响应 二阶系统的阶跃响应 高阶系统的阶跃响应 自动控制系统的代数稳定判据 稳态误差 小结,本章主要内容,本章介绍了控制系统时域性能分析法的相关概念和原理。包括各种典型输入信号的特征、控制系统常用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响应、脉冲响应函数及其应用、控制系统稳定性及稳定判据、系统稳态误差等。,本章重点,通过本章学习，应重点掌握典型输入信号的定义与特征、控制系统暂态和稳态性能指标的定义及计算方法、一阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系统稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的稳态误差概念和误差系数的求取等内容。,控制系统的分析方法，有时域法和频域法两类。,时域法 控制系统的变量都是时间的函数。 1 得到控制系统的数学模型 2 求解描述系统的微分方程 3 得到系统对输入信号的响应曲线和函数 4 确定控制系统的性质和特征,目的,控制系统分析,控制系统的设计或综合,频域法 分析控制系统的另一种基本方法。在频域法中，根据系统对各种频率下正弦输入信号的稳态响应来研究其频域特性，并且根据频域性能指标推断系统时域特性。,根轨迹法,3.1 自动控制系统的时域指标 一、对控制性能的要求 （1）系统应是稳定的； （2）系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差的要求； （3）系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。,二、自动控制系统的典型输入信号,1阶跃函数 阶跃函数的定义是：,幅值为1的阶跃函数称为单位阶跃函数， 如图3-1所示。,图3-1 单位阶跃函数,它表示为：,单位阶跃函数的拉氏变换为：,2斜坡函数 这种函数的定义是：,该函数的拉氏变换是：,图3-2 斜坡函数,单位斜坡函数如图3-2所示。,3抛物线函数 这种函数的定义是： 该函数的拉氏变换是,图3-3 抛物线函数,4脉冲函数,这种函数的定义是： 这种函数的拉氏变换是：,图3-4 单位脉冲函数,3.2一阶系统的瞬态响应,一阶系统的数学模型 一阶系统的微分方程为: 式中，xc(t) 为输出量，xr(t) 为输入量，T 为时间常数。 一阶系统的结构图，如图3-5所示。,其闭环传递函数为： 图3-5 一阶控制系统,3.2.1一阶系统的单位阶跃响应,因为单位阶跃输入的拉氏变换为： 可得 ： 取Xc(s)的拉氏反变换，可得单位阶跃响应 ：,显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始 ，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图3-6所示。响 应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。 图3-7 一阶系统的单位阶跃响应,一阶系统的时间常数是决定系统动态特性的参数。,判断实验曲线,调节时间,3.2.2 一阶系统单位斜坡（速度）响应,3.2.3、一阶系统单位脉冲响应,3.2.4一阶系统单位加速度响应,325 控制系统在任意输入函数下的响应,任何控制系统的单位脉冲响应,任意输入函数 是理想脉冲函数的叠加,线性定常系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。 这是线性定常系统的一个重要特性。 我们可以根据这一特性，较方便地求出较复杂输人信号的响应。,积分,求导,一阶系统响应小结,等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应 的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。,3.3 二阶系统的阶跃响应,二阶系统的传递函数写成如下标准式：,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,T称为系统的时间常数,二阶系统的标准形式结构图如图3-9所示。 图3-9 二阶系统标准形式结构图,3.3.1 二阶系统的阶跃响应,系统的特征方程为 ：,可解出特征方程式的特征根，这些根与阻尼比有关,系统的特征根为：,二阶系统的参数，n是变化的， 取值不同，特征方程的根(即闭环极点)可能是复数，也可能是实数。系统的响应形式也因此会有较大的区别。,1无阻尼（=0）的情况,特征方程式的根为： 二阶系统的暂态响应为 ： 图3-12 时二阶系统的暂态响应,2欠阻尼（ ）的情况,特征方程的根为： 系统输出响应为：,令：,若如n越大，振幅衰减得就越快。从闭环极点分布上，可以看出闭环极点离虚轴越远，振幅衰减得越快。d是正弦振荡的频率，表明，闭环极点离实轴越远，振荡频率就越高。,3临界阻尼（=1）的情况,系统的特征方程式的根为：,图3-11 =1时二阶系统的单位阶跃响应,3.3.1 二阶系统的阶跃响应,4过阻尼（ 1）的情况,式中 ， 称阻尼振荡角频 率，或振荡角频率；,图3-10 以参变量的二阶系统单位阶跃响应,二阶系统在不同,值瞬态响应曲线,综合分析,1）。响应曲线只和阻尼比 有关。由图可见， 越小，响应特性振荡得越厉害，随着 增大到一定程度后，响应 特性变成单调上升的。从过 渡过程持续的时间看，当系 统无振荡时，以临界阻尼时 过渡过程的时间最短，此时， 系统具有最快的响应速度。 当系统在欠阻尼状态时，若 阻尼比 在0.40.8之间， 则系统的过度过程时间比临 界阻尼时更短，而且此时的振荡特性也并不严重。,一般希望二阶系统工作在 =0.40.8的欠阻尼状态下，在工程实际中，通常选取 作为设计系统的依据。 2）二阶系统瞬态性能指标 在实际应用中，控制系统性能的好坏是通过系统的单位阶跃响应的特征量来表示的。为了定量地评价二阶系统的控制质量，必须进一步分析 和 对系统单位阶跃响应的影响，并定义二阶系统单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标。 除了一些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工作在 =0.40.8的欠阻尼状态下。,此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此下面有关性能指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。控制系统的单位阶跃响应一般来说是与初始条件有关的，为了便于比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始条件为零。 系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为,二、二阶系统暂态特性指标,图示, 延迟时间t d （Delay Time） ： 响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间t r （Rising Time ）: 响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间 越短，响应速度越快 。对于震荡系统，也可定义为由零开始，首 次达到稳态值所需的时间。 峰值时间t p （Peak Time）： 响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。,概念,调节时间 t s（Settling Time） ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时 间。用稳态值的百分数（通常取 5%或 2%）作， 超调量 （Maximum Overshoot） ： 指响应的最大偏离量h ( tp )于终值之差的百分比，即 稳态误差e ss ： 期望值与实际值之差。,或,评价系统的响应速度；,同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体上反映系统的快速性。,评价系统的阻尼程度。,稳定性能指标和抗干扰能力。越小， 系统精度越高。,ess,二、二阶系统暂态特性指标,1上升时间tr ： 在暂态过程中第一次达到稳态值的时间称为上升时间tr。 其计算公式为： 由上式可以看出 和n对上升时间的影响。当n一定时，阻尼比越大，则上升时间tr越长；当 一定时，n越大，则tr越短。,公式,2最大超调量 %,最大超调量发生在第一个周期中t = tm 时刻。 根据超调量的定义得最大超调量的计算公式为： 从上式知，二阶系统的最大超调量与值 有密切 的关系，阻尼比 越小，超调量越大。,3调节时间ts,调节时间ts是 与稳态值 之间的偏差达到允许范 围（一般取5%2%）而不再超出的暂态过程时间 。 调节时间为：,调节时间ts近似与 成反比关系。在设计系统时， 通常由要求的最大调节量所决定，所以调节时间ts由自然振荡角频率 所决定。也就是说，在不改变超调量的条件下，通过改变 的值可以改变调节时间。 4振荡次数 振荡次数是指在调节时间ts内， 波动的次数。根 据这一定义可得振荡次数为 式中 为阻尼振荡的周期时间。,三、二阶工程最佳参数,目前，在某些控制系统中常常采用所谓二阶工程最佳参 数作为设计控制系统的依据。这种系统选择的参数使 这时 。将这一参数代入二阶系统标准式， 得开环传递函数为 ： 得闭环传递函数为 ：,这一系统的单位阶跃响应暂态特性指标为： 最大超调量,上升时间 调节时间 ts（2%）=8.43T（用近似公式求得为8T） ts（5%）=4.14T（用近似公式求得为6T）,例3-1 有一位置随动系统，其结构图如图3-13 所示，其中Kk = 4。求该系统的 （1）自然振荡角频率； （2）系统的阻尼比； （3）超调量和调节时间； （4）如果要求 ，应怎样改变系统参数Kk 值。,图3-13 例3-1随动系统结构图,解：系统的闭环传递函数为 写成标准形式 由此得 自然振荡角频率 阻尼比 由 得 超调量 调节时间,当要求 时, 所以必须降低开环放大系数值，才能满足二阶工程最 佳参数的要求。但应注意到，降低开环放大系数将使系 统稳态误差增大。,例3-2 为了改善图3-13所示系统的暂态响应性能，满足单位阶跃输入下系统超调量 的要求，今加入微分负反馈 ，如图3-14所示。求微分时间常数。 解：系统的开环传递函数为 系统闭环传递函数为,图3-14 例3-2随动系统结构图,为了使 ，令,由 可求得 并由此求得开环放大系数为,例 设控制系统 如图所示。其中（a）为无速度反馈系统，（b）为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为0.5时 的值，并比较系统（a）和(b)阶跃响应的瞬态性能指标。,将上式与标准式相比较得 解得 , 计算上升时间,（秒）,解 系统（a）的闭环传递函数为,峰值时间 超调量 调节时间 振荡次数 系统（b）的闭环传递函数为,（秒）,（秒）,（次）,将上式与式（3-6）相比较得 将 代入，解得 由 和 可求得 通过上述计算可知，采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能。,（秒）,（秒）,（秒）,例 设单位反馈系统的开环传递函数为 若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为 试确定参数K和a的值。 解 系统的闭环传递函数为 由此得,由题意 即 解得 而 即 解得 a=3 所以,（秒）,设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。,例,解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。,比例-微分控制不改变系统的自然频率，但增大了系 统的阻尼比。 适当选择开环增益和微分时间常数，既可减小系统 斜坡输入时的稳态误差，又可使系统具有满意的阶 跃 响应性能。,四、零极点对二阶系统暂态性能的影响 具有零点的二阶系统的闭环传递函数为,结论： （1）微分控制可增大系统阻尼，减小阶跃响应 的超调量，缩短调节时间； （2）允许选取较高的开环增益，减小稳态误差； （3）微分对于噪声（高频噪声）有放大作用， 在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。,3.4 高阶系统的时域响应 若描述系统的微分方程高于二阶，则该系统为高阶系统。在控制工程中，大多数控制系统都是高阶系统。从理论上讲，高阶系统也可以直接由传递函数求出它的时域响应，然后按上述二阶系统的分析方法来确定系统的瞬态性能指标。但是，高阶系统的分布计算比较困难，同时，在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。因此，工程上通常把高阶系统适当地简化成低阶系统进行分析。下面简单地介绍高阶系统时域响应的确定方法及研究高阶系统性能的思路和途径。,设高阶系统的闭环传递函数为 假设系统所有零点、极点互不相同，且极点中q个实数极点和r对复数极点，零点中只有实数极点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换为 式中 n=q+2r,或写成 式中 系统闭环传递函数的零点； 系统闭环传递函数的极点,将上式展开成部分分式，得 式中 、 、 和 都是进行部分分式展开时所确定的常数。 对上式进行拉氏反变换，求得系统在零初始条件下的单位阶跃响应为 由此可见，高阶系统的时域响应是由稳态值和一些惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成。,各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小，将取决于它们的指数 、 的值和相应项的系数 、 、 的大小。如果系统所有极点都分布在S平面的左半部分，即所有极点均具有负实部，那么，当t趋于无穷大时，式中的指数项都趋于零，系统的响应达到稳态值。 由式（3-27）可以看出，在瞬态过程中，某衰减项的指数 或 的值越大，则该项衰减越快，反之亦然。而 和 就是系统的极点到虚轴的距离，因此，如果分布在S平面左半部分的极点离虚轴越远，则它对应的分量衰减越快。显然，对系统过渡过程影响最大的，是那些离虚轴最近的极点。,各衰减项的系数不仅与相应的极点在S平面中的位置有关，而且还与零点的位置有关。极点的位置距原点越远，则相应分量的系数越小，该分量对系统过渡过程的影响就越小。如果某极点与零点很靠近，则相应分量的系数也很小，这对零极点对系统过度过程的影响也将很小。 因此，高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中那些靠近虚轴而又远离零点的极点来决定。如果高阶系统有一个极点（或一对共轭复数极点）离虚轴最近，且其附近又无零点存在，而其他所有极点与虚轴的距离都在此极点与虚轴的距离的五倍以上，则可近似的认为系统的瞬态特性由这个（或这对）极点来确定，而其它极点的影响可以忽略不计，这个（或这对）极点就称为高阶系统的主导极点。,高阶系统的主导极点常常是共轭复数极点，因此高阶系统可以常用主导极点构成的二阶系统来近似。相应的性能指标可按二阶系统的各项指标来估计。在设计高阶系统时，常利用主导极点的概念来选择系统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，这样，就可以近似的用二阶系统的性能指标来设计系统。,单位阶跃响应为,从分析高阶系统单位阶跃响应表达式还可以得出如下结论。 （1）系统闭环传递函数极点的实部在s平面左侧离虚轴越远，则相应的分量衰减越快。反之，系统闭环极点的实部越小，即在s平面左侧离虚轴越近，则相应的分量衰减越慢。,（2）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在s平面中的位置有关，并且与零点的位置有关。 （3）如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部小于 其它极点的实部的1/5，并且附近不存在零点，可以认为系统的暂态响应主要由这一极点决定。这些对 暂态响应起主导作用的闭环极点，叫作主导极点， 是所有闭环极点中最重要的极点。 在设计一个高阶控制系统时，我们常常利用主导极 点这一概念选择系统参数，使系统具有一对共轭复 数主导极点，这样就可以近似地用一阶或二阶系统 的指标来设计系统。,3.5 控制系统的稳态误差 系统的稳态分量反映系统跟踪控制信号的准确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差来描述。在系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性能指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形成有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本章只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差。 给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差） 扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差） 对于随动系统，给定输入变化，要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。对恒值系统，给定输入通常是不变的，需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。本章介绍稳态误差的概念和计算方法，研究稳态误差的规律性以及减小或消除稳态误差的途径。,一、稳态误差的定义 系统的误差 e(t)一般定义为输出量的希望值与实际值之差。 对图3-22所示的典型系统，其误差定义有两种形式： （1） 式中， 为系统输出量的希望值，C(t)为输出量的实际值。 （2） 其中，系统输出量的希望值是给定输入r(t)，而输出量的实际值为系统主反馈信号b(t)。通常H（s）是测量装置的传递函数，故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。,第一种形式的误差是从系统输出端来定义的，它在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中无法测量，因而，一般只有数学意义。而第二种形式的误差是从系统的输入端来定义的，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求输出量C(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规律完全一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望值 ，即 。 此时，上述两种定义统一为 e(t)= r(t) - c(t),对于单位反馈系统，误差的两种定义形式是一致的。对于非单位反馈系统，若设第（1）种形式的误差为 E(s),第（2）种形式的误差为E(s)，则不难证明E(s)与E(s)之间存在如下关系 可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，但两种定义下的误差之间具有确定的关系，即误差E(s)可以直接或间接地由 E(s)来确定。从本质上看，它们都能反映控制系统的控制精度。在下面的讨论中，我们将采用第二种误差定义。 E(t)通常也称为系统的误差响应，它反映了系统在输入信号和扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应中也包含有瞬态分量和稳态分量两个部分，如果所研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷大时，瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量。 稳态误差的定义：稳态系统误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以 表示。,二、输入作用下的稳态误差 在图所示系统中，如果不计扰动输入的影响，可以求得系统的给定稳态误差。此时，系统的结构图可简化为图3-23。,E(s),R(s),B(s),G(s),H(s),C(s),给定输入作用下系统结构图,-,由图3-23可知 由误差的定义可知 式中 称为给定输入作用下系统的误差传递函数。 应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出系统的稳态误差。,（3-33） 式（3-33）是确定给定稳态误差的一个基本公式。它表明，在给定输入作用下，系统的稳态误差与系统的结构、参数和输入信号的形式有关，对于一个给定的系统，当给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取决于以开环传递函数描述的系统结构。 为了分析稳态误差与系统结构的关系，可以根据开环传递函数G(s)H(s)中串联的积分环节来规定控制系统的类型。 设系统的开环的传递函数为,（3-34）,式中 称为系统的开环放大环节或开环增益。 式（3-34）分母中的 表示开环传递函数在原点处有重极点，或者说有 个积分环节串联。当 时，分别称系统为0型、1型、2型系统。分类是以开环传递函数中串联的积分环节数目为依据的，而C(s)H(s)中其它零、极点对分类没有影响。 下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差。,令 称 为稳态位置误差系数。 稳态误差可表示为 （3-35） 因此，在单位阶跃输入下，给定稳态误差决定于系统的位置稳态误差。对于0型系统，,1、 单位阶跃输入时的稳态误差 对于单位阶跃输入，R(s)=1/s,由式（3-33）求得系统的稳态误差为,对于1型系统（或高于1型的系统）， 可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大， 越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。 对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1型或高于1型的系统。,2、 单位斜坡输入时的稳态误差 对于单位斜坡输入 ，此时系统的稳态误差为 令 称为稳态速度误差系数。 于是稳态误差可表示为 （3-36） 因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数。,对于0型系统， 对于1型系统，,对于2型系统（或高于2型的系统）， 上面的计算表明，在单位斜坡输入作用下，0型系统的稳态误差为 ，而1型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的K值。2型或高于2型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必需 ，也即系统必须有足够积分环节。,3、单位抛物线输入时的稳态误差 对于单位抛物线输入 ，此时系统的稳态误差为 令 称 为稳态加速度误差系数。于是稳态误差可表示为 对于0型系统， 于是稳态误差可表示为,对于1型系统， 对于2型系统，,对于3型系统（或高于3型的系统）， 以上计算表明，在单位抛物线输入作用下，0型和1型系统的稳态误差为 ，2型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对3型或高于3型的系统，其稳态误差为零。但是，此时要使系统稳定则比较困难。,在各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定稳态误差如表3-1所示。,III,表3-1 输入信号作用下的稳态误差,若给定的输入信号不是单位信号时，则将系统对单位信号的稳态误差成比例的增大，就可以得到相应的稳态误差。若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差就由叠加原理求出。例如，若输入信号为 则系统的总稳态误差为 综上所述，稳态误差系数 、 、和 描述了系统对减小和消除稳态误差的能力，因此，它们是系统稳态特性的一种表示方法。提高开环放大系数 K或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。,此外，由以上讨论可知，当 时，系统相对 的稳态误差为零，当 时，系统相对 的稳态误差为零；当 时，系统相对 的稳态误差为零。因此，当开环系统含有 个串联积分环节时，称系统对给定输入 r(t)是 阶无差系统，而 称为系统的无差度。,三、扰动稳态误差 控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下的稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。,扰动输入可以作用在系统的不同位置，因此，即使系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零。下面根据线性系统的叠加原理，以图3-25所示系统来讨论由扰动输入所产生的稳态误差。按照前面给出的误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为 而此时系统的输出为 所以,式中 称为扰动输入作用下系统的误差传递函数。 此时，系统的稳态误差为,（3-38）,3.8 控制系统的稳定判据,一、线性系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件 线性系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的根（即 系统闭环传递函数的极点）全部负实数或具有负实部的共 轭复数，也就是所有的闭环特征根分布在s复平面虚轴的 左侧。 本节叙述的代数判据（劳斯判椐和赫尔维茨判椐）就是不 用直接求解代数方程，就可判断一个代数多项式有几个零 点位于复平面的右半面的方法。,式中 称为扰动输入作用下系统的误差传递函数。 此时，系统的稳态误差为 例 3-10 设控制系统如图3-26所示，其中 给定输入 ，扰动输入 （ 和 均为常数 ），试求系统的稳态误差。,（3-38）,解 当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用 时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。 令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为 所以给定稳态误差为,R(s),-,+,N(s),图3-26 例3-10系统结构图,C(s),令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递 函数为 所以扰动稳态误差为 由上式计算可以看出，r(t)和n(t)同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节的放大系数（即 ），可以减小系统的扰动稳态误差。,该系统总的稳态误差为 为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们假设图3-26中 给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出， 即,系统总的稳态误差为 比较以上两次计算的结果可以看出，若要消除系统的给定稳态误差，则系统前向通道中串联的积分环节都起作用。若要消除系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前的积分环节才起作用。因此，若要消除由给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前。 对于非单位反馈系统，当H（s）为常数时，以上分析的有关结论同样适用。前面定义了相对于给定输入的无差度，同样也可以定义相对于扰动输入的无差度。当系统的 中含有 个串联的积分环节时称系统相对于扰动输入是,阶无差系统，而 称为系统相对于扰动输入的无差度。对本例中的前一种情况，系统对扰动输入的无差度为0，而后一种情况，系统对扰动的无差度是1。显然，当谈及一个系统的无差度时应指明系统对哪一种输入作用而言，否则，可能会得出错误的结论。,四、减小或消除稳态误差的方法,前面的讨论表明，为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数中的串联接分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超过2，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可能不稳定，为了进一步减小系统稳态误差，可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量，加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。,在图3-27所示系统中，为了消除由r(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量经补偿装置 对系统进行开环控制。此时系统误差信号的拉氏变换式为 经整理得 显然，如果选择补偿装置 的传递函数为 则系统的给定稳态误差为零。,在图3-28所示系统中，为了消除由n(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置 加到系统中，若设r(t)=0，则系统的输出C(s)就是系统的误差信号。系统输出的拉氏变换式为 经整理得 显然，如果选择补 偿装置的传递函数为,则可使输出不受扰动n(t)的影响，故系统的扰动稳态误差为零。 从结构上看，当满足 时，扰动信号经两条通道到达A点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了对扰动的全补偿。由于物理上可实现系统的传递函数总是满足分母的阶次大于或等于其分子的阶次，要求构造出分子的阶次大于或等于其分母阶次的补偿装置，这通常是不可能的。此外，由于传递函数的元件参数随着时间的推移也会发生变化，这就使得全补偿条件不可能成立。所以，实际上只能实现近似补偿。可以证明，前馈控制加入前后，系统的特征方程保持不变，因此，系统的稳定性将不会发生变化。,控制系统的稳定性 在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。在这一节中将讨论稳定性的定义，稳定的充要条件及判别稳定性的基本方法。 一、稳定的概念和定义 在自动控制理论中，有多种稳定性的定义，这里只讨论其中最常用的一种，即渐近稳定性的定义。,稳定与不稳定系统的示例,图319中，小球超出了C、D范围后系统就不再是线性的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。,图317为稳定的系统。 图318为不稳定系统。,二.稳定的充要条件 稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。 线性定常系统的稳定性的定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态，则称该系统是渐进稳定的（简称为稳定）。否则，称该系统是不稳定的。 在下面的讨论中，如果系统的数学模型是建立在小偏差线性化的基础上，则认为系统中各信号的变化均不超出其线性范围。此时，该系统采用上述的稳定性的定义。,课本上p80讲：李雅浦诺夫的定义（讲的是状态方程的表述形式，同学们能否给出其微分方程结构的表达式呢？）,？,根据上述稳定性的定义，可以用 函数作为扰动来讨论系统的稳定性。 设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲 ，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于 时，系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态，即 该系统就是稳定的。 根据这个思路分析系统稳定的充要条件。 设系统的闭环传递函数为,特征方程为 如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实数根 和r对共轭复数根 ,则在单位脉冲函数 的作用下，系统输出量的拉氏变换可表示为 将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得 式中,当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量都是衰减的，且有 ，此时系统是稳定的。 如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的，此时有 ，系统是不稳定的。 如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部，则C（t）趋于常数或作等幅振荡，这时系统处于稳定和不稳定的临界状态，常称之为临界稳定状态。对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也是不能正常工作的，所以临界稳定的系统在工程上属于不稳定系统。 线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根据都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分（不包括虚轴）。,该式表明,二、劳斯判据,首先将系统的特征方程式写成如下标准形式 为判断系统稳定与否，将系统特征方程式中的s各次项 系数排列成如下的劳斯表（Routh Array）。,劳斯表共n+1行；最下面的两行各有1列，其上两行各有2 列，再上面两行各有3列，依次类推。最高一行应有 (n+1)/2列（若n为奇数）或(n+2)/2列（若n为偶数）。 表中的有关系数为,这一计算过程，一直进行到行，计算到每行其余的系数全部等于零为止。为简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。,Routh判据：特征方程的全部根都在s左半平面的充分 必要条件是劳斯表的第1列系数全部是正数。 劳斯判据还可以指出方程的右半平面根的个数。它等 于劳斯表中第1列各元改变符号的次数。,例3-4 系统的特征方程为,计算劳斯表中各元的值，并排列成下表 由于表中的第1列出现了负数，根并非都在左半平面。 因此，该系统是不稳定的。,在应用劳斯判据时，可能遇到如下的特殊情况：,1劳斯表中第1列出现零 如果劳斯表第1列中出现0，那 么可以用一个小的正数代替它，而继续计算其余各元。 例如，方程,现在观察劳斯表第1列的各元。当趋近于零时，的值是一 个很大的负值，因此可以认为第1列中的各元的符号改变 了两次。由此得出结论，该系统特征方程式有两个根具 有正实部，系统是不稳定的。如果上面一行的首列和下 面一行的首列符号相同，这表明有一对纯虚根存在。例 如对下列方程式 的劳斯表为,可以看出，第1列各元中的上面和下面的系数符号不变，故有一对虚根。将特征方程式分解，有,解得根为,2劳斯表的某一行中，所有元都等于零,如果在劳斯表的某一行中，所有元都等于0，则表明方 程有一些大小相等且对称于原点的根。在这种情况下， 可利用全0行的上一行各元构造一个辅助多项式（称为 辅助方程），式中均为偶次。以辅助方程的导函数的 系数代替劳斯表中的这个全0行，然后继续计算下去。 这些大小相等而关于原点对称的根也可以通过求解这 个辅助方程得出。 例3-5 系统特征方程式为,劳斯表中得 各元为 由上表可以看出，行的各项全部为零。为了求 出各 项，将 行的各元构成辅助方程式，它的导函数为,用导函数的系数4和12代替 行相应的元继续算下去，得劳斯表为,可以看出，在新得到的劳斯表的第1列没有变号，因此可 以确定在右半平面没有特征根。另外，由于 行的各元均 为零，这表示有共轭虚根。这些根可由辅助方程式求出 。本例的辅助方程式是,由之求得特征方程式的大小相等符号相反的虚根为,应用Routh判据分别研究一阶、二阶和三阶微分方程,容易得到以下的简单结论： （1）一阶和二阶系统稳定的充分必要条件是： 特征方程所有系数均为正。 （2）三阶系统稳定的充分必要条件是：特征方 程所有系数均为正， 且 。,三、赫尔维茨判据,设所研究的代数方程仍为 构造赫尔维茨行列式D：,赫尔维茨稳定判据：特征方程式的全部根都在左半复平面的充分必要条件是上述行列式的各阶主子式均大于0，即,四、参数对稳定性的影响 应用代数稳定判椐可以用来判定系统是否稳定，还可以方便地用于分析系统参数变化对系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。,例如系统的闭环传递函数为,系统特征方程为 根据代数稳定判椐，稳定的充要条件得,3.6 稳态误差,在稳态条件下输出量的期望值与稳态值之间存在的误 差，称为系统稳态误差。 稳态误差的大小是衡量系统稳态性能的重要指标。影响 系统稳态误差的因素很多，如系统的结构、系统的参数 以及输入量的形式等。必须指出的是，这里所说的稳态 误差并不考虑由于元件的不灵敏区、零点漂移、老化等 原因所造成的永久性的误差。 本节将讨论计算和减少稳态误差的方法。,一、扰动稳态误差,如图所示为有给定作用和扰动作用的系统动态结构图。,扰动误差的传递函数为,根据拉氏变换的终值定理，求得扰动作用下的稳态误差为 由上式知，系统扰动误差决定于系统的误差传递函数和扰 动量。对于恒值系统，典型的扰动量为单位阶跃函数， ，