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第十五章第十五章 积分方程积分方程 积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科（例如偏微分方程边值 问题）和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆 积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外， 还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线 性积分方程。 1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程 一. 积分方程一般概念 1. 积分方程的定义与分类 线形积分方程 在积分号下包含未知函数 y(x)的方程 ( )( )( ) ()(),d b a x y xf xk xy=+ ) (1) 称为积分方程。 式中(x),f(x)和 k(x,)是已知函数，,a,b 是常数， 变量 x 和可取区间(a,b) 内的一切值；k(x,)称为积分方程的核，f(x)称为自由项，称为方程的参数。如果 k(x,) 关于 x,是对称函数，就称方程(1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次 的，就称为线性积分方程，方程(1)就是线性积分方程的一般形式；如果 f(x)0 ，就称方程 (1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。 一维弗雷德霍姆积分方程（fr 方程） 第一类 fr 方程 ()()(,d b a k xyf x= 第二类 fr 方程 ()()()(),d b a y xf xk xy=+ 第三类 fr 方程 ()()()()(),d b a x y xf xk xy=+ 1 n 维弗雷德霍姆积分方程 11 ()()()()(),d d p y pf pk p p y pp=+ 称为n维弗雷德霍姆积分方程，式中d是n维空间中的区域，p,p1d，它们的坐标分别是 (x1,x2,l,xn)和,(p)=(x),( 21n xxxl 1,x2,l,xn),f(p)=f(x1,x2,lxn)和k(p,p1)=k(x1,x2,l,xn, 是已知函数，f(p)是未知函数。 ), 21n xxxl 关于 fr 方程的解法，一维和 n(1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑 一维 fr 方程。 沃尔泰拉积分方程 如果积分上限 b 改成变动上限，上面三类 fr 方程分别称为第一、 第二、第三类沃尔泰拉积分方程。 由于第三类 fr 方程当(x)在(a,b)内是正函数时，可以化成 ()() ()()()() ()()() , d b a f xk x x y xy xx =+ 它是含有未知函数),()(xyx以 )()( ),( x xk 为积分方程的核的第二类 fr 方程。所以本章重点 研究一维第二类 fr 方程。 2. 积分方程与微分方程之间的关系 某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微 分方程的初值问题： 2 2 00 ()()() ()() dd dd , yy a xb x yf xx yyyy += = x （2） 若从方程(2)中解出 2 2 d d x y ，然后在区间(a,x)上对x求积分两次，利用初始条件，经过简单的 计算不难得出*， += x a yabxaxyd)()()()()()( 000 )()(d)()(yxyyafx x a + 令 )()()()(),(aabxxk= 和 000 0 )()(d)()()(yxyyafxxf x += 上式就可写为如下的形式: (3) )(d)(),()(xfyxkxy x a += 这是一个第二类沃尔泰拉方程，核 k 是 x 的线性函数。 例1 初值问题 = =+ 0)0(, 1)0( )( d d 2 2 yy xfy x y (4) 变为积分方程 (5) += xx fxyxxy 00 d)()(1d)()()( 反之，应用积分号下求导法则，微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。在(3)及其 第一次求导的结果中令 x=a,就得给定初始条件。在例 1 中，对(5)式求导，得出 += xx fy x y 00 d)(d)( d d (6) 再求导一次得出原微分方程(4)，并从方程(6)和(5)给出初始条件 y(0)=1, 0)0(= y 对于边值问题，方法类似，先考虑一个简单的例子。 例2 从问题 * 在计算过程中应用了公式 1 1 ( )dd()( )d (1)! xxx n aaa n n f xxxxf n = ll 1 4 2 43 1 4 243 （n2） 当0)()()( 1 = n fffl时成立。 = =+ 0)(, 0)0( 0 d d 2 2 ayy y x y 出发，积分两次，导出关系式 cxyxxy x += 0 d)()()( 从此立刻可知条件 y(0)=0 成立。从第二端点条件 y(a)=0 决定 c： = a caya 0 d)()( 所以有关系式 += xa x ya a x yxa a xy 0 d)()(d)()()( (7) 令 = xxg xxg g ),( ),( 2 1 并且满足条件： (i) 函数g1和g2在它们的定义区间上满足lg=0,即当x时，lg2=0。 (ii) 函数g满足边界条件，即g1满足在x=a的边界条件，g2满足在x=b的边界条件。 (iii) 函数g在x=连续，即g1()=g2()。 (iv) g的导数以x=为一不连续点，其跳跃是 )( 1 p ，即 )( 1 )()( 12 p gg= 可以证明，若以为参数的这个函数g存在，则原问题的解有如下的形式： (2) d),()(xgy b a = 例如g(x,)可取 0) 则弦的运动是由方程 y=y(x)sin t 描写的周期运动。 设()为弦在点的线性密度，则在时刻t,点与+之间的小弦段除受力p()sin t的 作用外，还受惯性力 2 2 2 d ( )( ) ( ) d y y t =sin t 的作用，则等式(1)可化为如下的形式： (2) )(d)(),()( 0 xfyxkxy l += 式中 = l pxgxf 0 d)(),()( k(x,)=g(x,)(), =2 如果函数p()给定，那么f(x)也就给定，这样积分方程(2)就是确定函数y(x)的fr方程。 注意，由于f(x)的定义，有 f(0)=f(l)=0 若密度()=是常数，而f(x)有二阶的连续导数，则方程(2)的解为 )(d)( )( d)( )( )( 0 2 0 0 2 xfy lt lx y lt xl xy l x x + + = 即 )(d)()(d)()()( 2 0 2 xfyl l cx yxl l c xy l x x += (3) 式中 0 t c = 把(3)式微分两次就得到 )()()( 2 xfxycxy += 另一方面，可以证明这个微分方程的任一在x=0及x=l处等于0的解是积分方程(2)的解。 三、 具有可分离核（退化核）的 fr 方程 可分离核（退化核） 若核k(x,)可分解为如下的形式： = = n k kk gxfxk 1 )()(),( 则称k(x,)为可分离核或称为退化核。不妨假定n个函数fk(x) (k=1,2,l,n)在有关区间上是线性 无关的。 例如，如果核是关于x和的任一多项式，那么这个核就是退化核，核sin(x+)也是退化 核。 具有可分离核的第二类fr方程解法 具有可分离核的第二类fr方程 (1) )(d)(),()(xfyxkxy b a += 即 (2) )(d)()()()( 1 xfygxfxy n k b a kk += = 的解法如下，首先设 = b a kk xxyxgcd)()( (k=1,2,l,n) 则 = += n k kk xfcxfxy 1 )()()( 于是给定积分方程(1)的一切解应取这个形式。因此问题归结为求出常数c1,c2,l,cn。 再用gi乘(2)式两边且积分，令 = b a jiij xxfxgad)()(， = b a ii xxfxgbd)()( （i=1,2,l,n , j=1,2,l,n） 则c1,c2,l,cn满足方程组 i n j jiji bcac= =1 （i=1,2,l,n） 即 （3） =+ =+ = nnnnnn nn nn bcacaca bcacaca bcacaca )1 ( )1 ( )1 ( 2211 22222121 11212111 l lllllllllllllllll l l 矩阵形式为 （i ia a） c=b 式中i i为n阶单位矩阵，a a=(aij),c= (c1,c2,l,cn), b= (b1,b2,l,bn)。这个方程组存在唯一解的充分 必要条件是：方程的系数行列式 =det（i ia a）0 如果f(x)0,则bi=0(i=1,2,ln)，那末方程(3)为齐次方程组。因此,当0时，y(x)0是积分 方程(1)的平凡解（零解） ，且是唯一解。当=0时，至少有一个ci可以任意指定，其余的cj可 以求出，于是积分方程(1) 存在无穷多个解。 使=0的值称为特征值。齐次积分方程的任一非平凡解称为对应于积分方程的特征函 数。 如果对于的一个给定的特征值，可以从常数c1,c2,l,cn中任意指定r个，那么可得到r个线 性无关的对应特征函数。 如果f(x)不恒为零,但与g1(x), g2(x), l,gn(x)正交，即bi=0 (i=1,2,ln)。那末方程组(3)仍为 齐次的，以上的讨论也适用，除非这里积分方程的解也包含函数f(x)。这样平凡值 c1= c2=l= cn=0导出解y=f(x)。对应于的特征值的解是f与特征函数的任意倍数之和。 最后，如果(3)式右边的bi至少有一个不为零，当行列式0时，方程组(3)存在唯一的非 平凡解，于是可得到积分方程(1)的唯一的非平凡解，当=0时，则方程(3)或者是不相容的， 这时积分方程(1)没有解；或者n个方程中至少有两个是相同的，这时积分方程(1)有无穷多个 解。 例 解积分方程 (1) )(d)()31 ()( 1 0 xfyxxy+= 解 可把这个方程改写为 y(x)=(c13c2x)+f(x) (2) 式中 = 1 0 1 d)(yc， = 1 0 2 d)(yc 决定c1,c2的方程组是 =+ =+ 1 0 21 1 0 21 d)()1 ( 2 1 d)( 2 3 )1 ( xxxfcc xxfcc (3) 其系数行列式为 )4( 4 1 1 2 1 2 3 1 2 = + = 则积分方程(1)存在唯一解的条件是2。由(3)解出c1,c2并代入(2)得到(1)的解。特别，若 f(x)=0, 2,则唯一解是平凡解y(x)=0。数=2为问题的特征值。 若=2，则方程组(3) 为 =+ =+ 1 0 21 1 0 21 d)(3 d)(3 xxxfcc xxfcc 这两个方程是不相容的，除非函数f(x)满足条件 0d)()1 ( 1 0 = xxfx 这时两个方程相同。 若=2，则方程组(3) 为 = = 1 0 21 1 0 21 d)( d)( 3 1 xxxfcc xxfcc 这两个方程也是不相容的，除非函数f(x)满足条件 0d)()31 ( 1 0 = xxfx 这时两个方程也是相同的。 现在具体讨论积分方程(1)的解。 1 先考虑齐次方程（即f(x)=0）的情形。若2，则唯一解是平凡解y(x)=0。 当=2时，代数方程组只给出一个条件c1=3c2。这时，解是 y(x)=c1(1-x) 式中c1=3c2=6c2是任意常数，1-x是对应于特征值=2的特征函数。 当=-2时，解是 y(x)=c2(1-3x) 式中c2=c1=-2c1是任意常数，1-3x是对应于=-2的特征函数。 方程(2)表明原积分方程(1)的任一解表示为如下形式： y(x)=f(x)+c3(1-x)+c4(1-3x) 式中)( 2 3 213 ccc=，)3( 2 124 ccc= 。于是推出原积分方程(1)的任一解可以用特征函数的 某一线性组合与f(x)的和来表达。 2 在非齐次的情形（即f(x)不恒等于零）下，若 2，则积分方程(1)存在唯一解。 当=2时，积分方程(1)没有解，除非在区间0,1上f(x)正交于=2所对应的特征函数 1-x*,即 0d)()1 ( 1 0 = xxfx * 在下一段会看到，这个情形是原积分方程中核 k(x,)=1-3x 的对称性的一个推论。 在此条件下，再利用c1-3c2=,给出积分方程(1)的解。 1 0 )(dxxf )1 (d)(2)()( 1 1 0 xcxxfxfxy+= 式中c1=6c2是任意常数，因此，这时存在无穷多个解。 类似地，当=-2时，积分方程(1)没有解，除非在区间0,1上f(x)正交于1-3x,即 = 1 0 0d)()31 (xxfx 这时存在如下的无穷多个解： )31 ()( 3 2 )()( 2 1 0 xcdxxfxfxy+= 式中c2=-2c1是任意常数。 四、希尔伯特-施密特的理论 当齐次fr方程的核k(x,)不可分离，特别，k(x,)对于x和x0） 考虑齐次积分方程 (4) = 0 d)(sin)(yxxy 从已知的公式 + = + 0 2222 d 2 sin 2 2 x x ex x x e x (x0,0) 可知 2 =确实是特征值。当 2 =时，对任意正常数，函数 22 1 2 )( x x exy x + += (x0) 满足方程（4） ；而当 2 =时，对任意正常数，函数 22 2 2 )( x x exy x + = (x0) 也满足方程（4） 。于是这两个值是无穷重的特征值，即每个值对应无穷多个特征函数。这 个事实与 fr 方程的任一特征值只对应有限个独立特征函数是大不相同的。 3 由方程（2）右边所定义的函数 f（x）是函数 y（x）的拉普拉斯变换。因为不是一切 函数都能作拉普拉斯变换，两个不同函数不能有同一个拉普拉斯变换。所以对一个给定函数 f(x)，若（2）存在一个解，则解是唯一的。 考虑齐次积分方程 = 0 d)()( yexy x （x0） （5） 根据伽马函数的定义有 ( ) = xe x 0 1 d ()0 以1代替，得 () 1 0 1d = xe x ()1x）时， k(x,)=0 因此，当 k(x,x)0 时，核有第一类不连续点 x=。 积分方程（1）的解用的幂级数表示为 ( )( )( )( )l+= 2 210 xyxyxyxy （2） 对函数yn(x)有下列递推公式： ( )( )xfxy= 0 ， = x a nn yxkxyd)(),()( 1 ()l2 , 1=n 设在有限区间或正方形上，连续函数 f(x)和 k（x,）满足 ( )mxf， ()mxk, 式中 m, m 为常数。因此当充分小时，级数（2）在a, b上绝对且一致收敛，其和 y(x)是连 续函数且满足方程（1） 。 也可以作预解核 （3） = + = 0 1 ),();,( n n n xkxr 式中叠核kn(x,)由下面递推公式计算： ()(), 1 xkxk=； = x a nn kxkxk 1111 d),(),(),()l3 , 2=n 且从此得出当x时，kn(x,)=0。事实上，若x,则1 = xx xx xk ),1 ( ),1 ( ),( 解 1 在这个特例中，积分方程可化为具端点条件 y(0)=0,y(1)=1 的微分方程 0 d d 2 2 =+ y x y 其精确解为 1sin sin )( x xy= 2 用逼近法来求近似解。取 n=5 个等距节点： 1, 4 3 , 2 1 , 4 1 , 0 54321 =xxxxx 可以算出矩阵 k 为 = 00000 0 16 3 8 1 16 1 0 0 8 1 4 1 8 1 0 0 16 1 8 1 16 3 0 00000 k 如果采用梯形法求积，那么求积系数的对角线矩阵 w 为 w= 8 1 , 4 1 , 4 1 , 4 1 , 8 1 由于=1，则 = 10000 0 64 61 32 1 64 1 0 0 32 1 16 15 32 1 0 0 64 1 32 1 64 61 0 00001 kwia 而 ) 1 , 4 3 , 2 1 , 4 1 , 0(=f 解线性方程组，计算到小数点后四位得到 y1=0, y2=0.2943, y3=0.5702, y4=0.8104, y5=1 与精确解 y(x)在点 x=0, 4 3 , 2 1 , 4 1 和 1 的值 y1=0, y2=0.2940, y3=0.5697, y4=0.8100, y5=1 进行比较，可以看到误差程度。 上述方法显然可以用来求第一类 fr 方程的近似解，以及处理特征值的问题。 应当指出，当核 k(x,)不是以分析表达式给定，而由实验数据确定时，上述方法特别有 用。 待定系数逼近法 为了求积分方程 （1） += b a yxkxfxyd)(),()()( 的解，可适当选择 n 个函数 n l, 21 ，用它们的线性组合来逼近 = n k kk xaxy 1 )()( 其中n个系数ak（k=1， 2， ln）可以这样决定：使这个线性组合尽可能近似地满足（1） ，即 = + n k n k b a kkkk xkaxfxa 11 d)(),()()( （axb） 令 dxk k b a k )(),( = 上式变成 = n k kkk xfaxx 1 )()()( （axb） （2） 待定系数a1,a2,l,an可由n个条件决定，方法如下： 1 配置法 令 )()(xx kkk = )()( 1 xfax n k kk = （axb） （3） 为决定这n个常数a1,a2,l,an，在区间a,b上适当选择ax1x2l = xx xx xk ),1 ( ),1 ( ),( 可用多项式a1+a2x+a3x2或更适当的形式x(1-x)(b b 1+b2 b x+b b 3x )来逼近， 其中a,b为包含的参数， 采用权函数或配置点可决定a与b。 2 首先取一个粗糙的逼近形式 )1 (),(xbxxk 它在端点 x=0 和 x=1 是精确的，为决定系数 b，可要求在0,1上核的积分等于它的近似表达 式的积分，即 = 1 0 1 0 d)1 (d),(xxxbxxk 直接计算得 b=3(1-) 并把对应的近似核代入(1)导出近似积分方程 (2) += 1 0 d)()1 ()1 (3)(yxxxxy 令 = 1 0 d)()1 (xxyxxc (2)式化为 y(x)=x+3cx(1-x) (3) 为了决定 c，以 x(1-x)乘上式的两边，并在0,1上积分，得 += 1 0 22 1 0 2 d)1 (3d)1 (xxxcxxxc 从此算出 54 5 =c,代入(3)得到方程(1)的近似解 2 18 5 18 23 )1 ( 18 5 )(xxxxxxy=+ 更一般地，如果取近似核为 )(1)(1 (),( 22 321 l+xaxaaxxxk 则类似地可得方程(1)的近似解 l+ 2 321 )(1 ()(xcxccxxxxy） 5 非线性积分方程非线性积分方程 积分算子与线性算子 考虑表达式 = b a fxkxfd)(),()( 对于给定的核 k(x,),每个函数 f(x)都有另一个函数 f(x)与之对应，这种对应关 系称为积分算子，记作 k, 即 f=kf 使得函数 f=kf 存在的那些函数 f 的集合称为算子 k 的定义域。 如果算子 k 满足条件 akfafk kgkfgfk = +=+ )( )( （a