对一道题解题方法的反思[1]..doc

对一道题解题方法的反思摘 要: 通过对一道运用极限思想方法解答的关于正四棱锥二面角问题的题的论证，以及进一步思考发现该题运用极限方法解题的巧合性及不能推广性.同时，运用极限思想发现了新的结论，即正棱锥相邻两侧面所成二面角的取值范围.关键词: 极限思想 立体几何 正棱锥 二面角引言随着极限进入到中学教材，极限思想成为了解决中学数学问题的又一重要工具.极限思想作为一种思想，一种从有限认识无限的数学思想，不仅在降低解题难度，寻找解题思路，加深对问题的理解，探索发现新结论方面具有重大作用，而且对培养学生的创造性思维和探索能力也大有裨益.一道运用极限思想方法解答的关于二面角问题的解题过程：题目：已知正四棱锥 的侧面与底面所成角为 ，相邻两侧面所成角为 ，则 的值为 （例谈极限思想在中学数学中的运用 张云飞）原解题思路：本题的一般解题思路是: 先作出相应的面面角后运用三角知识求解（如图1）如用极限思想可速解： 图1让s沿so向下移动，当 时，有 从而有 ； 让s沿so向上移动，当时，有，从而有.整个解题过程，让我们深刻体会到极限思想在解题过程中简化解题步骤，优化解题方法的重大作用。同时，我认识到极限思想在此题中的运用给了我们进一步思考的空间.反思一 ：设正棱锥底面与侧面所成的角为，相邻两侧面所成角为，求的值.是否可用极限思想解答？运用极限思想方法推导：让沿向上移动，当时，有从而有；让沿向下移动，当时，有从而有.很明显上述沿两条不同的路径得到的结果不一致，只有当时运用极限思想方法解答才成立，也就是说对于正棱锥（除正四棱锥）都不能运用极限思想解答.下面通过严格推理演算推导出，对于正棱锥，的值（为相邻两侧面所成的角，为底面与侧面所成的角）.如图2所示：设底面正边形的外接圆半径为，正棱锥的侧棱长，作，连则为两侧面所成二面角的平面角，记作.取的中点，连，则为侧面与底面所成二面角的平面角，记作.图2由三角知识有， 侧面与底面所成角 相邻两侧面所成角 所以 +=该通式说明了的值不仅与正边形的角有关，而且还与底面正边形外接圆半径和正棱锥侧棱长有关，进一步阐明了正棱锥（除正四棱锥）运用极限思想方法解答不成立. 结论1：原题运用极限思想解答而且结论正确是一种巧合，其解题方法在解决正棱锥时不成立.反思二：在运用极限思想方法推导过程中发觉在正棱锥发生变化时，其相邻两侧面所成的二面角与有规律的发生着变化.对于正棱锥，运用极限思想： 让顶点沿垂线向上移动，当时，正棱锥就变成正棱柱，显然这时相邻两侧面所成二面角为.让顶点沿着垂线向下移动，当时，正棱锥变成平面图形，这时相邻两侧面所成二面角为.猜想正棱锥相邻两侧面所成二面角的范围是（.如图3所示：设正棱锥的顶点为s，底面正边形的边长为，为底面的垂线，是底面正边形的中心.过作，连，由对称性可知. 则即为相邻侧面与侧面所成二面角的平面角，记作.设，由于,所以.验证猜想： 图3由三角形知识有 = 又 二面角的取值范围为，而余弦函数在上是单调减函数 又 所以 结论2: 正棱锥相邻两侧面所成二面角的范围为.参考文献：1.李玉琪.中学数学教学与实践研究 m.高等教育出版社,2001年6月第1版.2.钱佩玲, 邵光华. 数学思想方法及中学教学 m. 北京师范大学出版社,2002.3.张云飞. 例谈极限思想在中学数学中的应用 j. 中学数学, 2003. 4.秦学峰.极限思想在立体几何中的应用 j.数学通讯,2003年