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关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯 2019 全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试题 一、选择题 1. 当时，与是同阶无穷小，则 =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】C 由于，则可得 2. 已知方程有 3 个不同的实根，则 的取值范围（ ） A. B. C. D. 【解析】D 令，有可得 ，当， 则可得：极大值为； 极小值为. 同时 若要由 3 个不同的实根，则必须满足： ，即，则. 3. 已知微分方程的通解为，则依 次为（ ） A. 1，0，1 B.1，0，2 C. 2，1，3 D. 2，1，4 关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯 【解析】D 由题设条件可得： 为的两个解，即为重根，则原微分方程对应特征 方程有重根-1，则. 为的特解，即为的特解，将代入可得 ，则. 4. 若绝对收敛，条件收敛，则（ ） A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 收敛 D. 发散 【解析】B 条件收敛，则存在 ，使得， ，由于绝对收敛，则绝对收敛. 对于选项 A 和 C，取可排除；对于选项 D，取 可排除. 5. 设是四阶矩阵，是 的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有 2 个向量，则的秩是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】A 关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯 的基础解系中只有 2 个向量，则，可得，因 此. 6.设是 阶实对称矩阵，是 阶单位矩阵，若，且，则二次 型规范形为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由得，则或 .又由，故 ，则规范形为：. 7. 设为随机事件，则的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 【解析】C ，则 对于选项 A 和 D，取可排除；对于选项 B，若互斥，可排除. 8. 设随机变量和相互独立，且都服从正态分布，则 （ ） A. 与无关，而与有关 B. 与有关，而与无关 C. 与都有关 D. 与都无关 【解析】A 由于，和相互独立，则， 关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯 可得，此概率值与 无关，而与有关. 二、填空题 9. =_. 【解析】 10. 曲线的拐点坐标为_. 【解析】 ，或 当，则不为拐点； 当，则为拐点. 11. 已知，则=_. 【解析】 ，则 关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯 12. A、B 两商品的价格分别为,，需求函数， ，求 A 商品对自身价格的需求弹性=_（） 【解析】0.4 故时，. 13. ，有无穷多解，求 =_. 【解析】1 当时，有无穷多解. 14. 设随机变量的概率密度为，为的分布函数， 为的数学期望，则=_. 【解析】 关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯 . 三、解答题 15. ,求，并求的极值. 【解析】当， 当； 又 ；故 ，令可得， - 0 + 不存在 - 0 + 极小值 极大值 极小值 于是由的极小值为，极大值为. 16. 已知具有 2 阶连续偏导数，且，求 【解析】， 关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯 故. 17. 已知满足微分方程，且有. （1）求； （2），求平面区域绕轴旋转一周成的旋 转体体积. 【解析】（1）一阶线性微分方程，通解为： （2）. 18. 求曲线与轴之间图形的面积. 【解析】根据定积分定义可得其面积为 其中 可得 关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯 则 故其面积为. 19. 设 （1）证明单调减少，且； （2）求. 【解析】（1）由于，则，则，由定 积分的保号性可得：，故单调递减； 可得，即. （2）由于单调递减，则可得： 且，根据夹逼定理得. 20. 已知向量组（I）， 关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯 （II），若向量组（I）和向量组（II） 等价，求 的取值，并将用线性表示. 【解析】（1） 若，则，向量组（I） 与（II）等价，设，记，则 ，其中为任意 常数； 若，向量组（I）与（II）不 等价； 若，向量组（I）与（II）等价， ，. 21. 已知矩阵与相似， （1）求； （2）求可逆矩阵使得. 【解析】（1）由相似矩阵的性质可得： 可得： 关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯 （2）由可得的特征 值分别为，则的特征值也为. 对于：当，的基础解系为：； 当时，的基础解系为：； 当时，的基础解系为：； 则存在，使得 对于：当，的基础解系为：； 当时，的基础解系为：； 当时，的基础解系为：； 则存在，使得 综上可得：，则 22. 设随机变量与相互独立，服从参数为 1 的指数分布，的概率分布为 ，令. （1）求的概率密度； （2）为何值时，与不相关； （3）与是否相互独立？ 【解析】（1）由于与相互独立，且的分布函数为， 则的分布函数为 关注微博“考研数学吴仁超”，了解更多考研资讯 当 当 所以，的概率密度为. （2）由条件可得 由，可得当时，.即时，与 不相关 （3）由（2）知当，与相关，从而不独立；当时， 且 显然，即不独立. 综上可得，不独立. 23. 设总体的概率密度为，是已知参数， 是未知参数，是常数. 是来自总体简单随