投影定理及投影作图方法.ppt

2019年11月5日星期二,1,第二章 投影定理及投影作图方法,2.1 从属问题,2.2 平行问题,2.3 相交问题,2.4 垂直问题,2.5 线段实长与倾角的求法,2019年11月5日星期二,2,一.线上取点定理（线上点的投影）,2.1 从属问题点属于线,定理1:若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。,定理2:属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即： A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b,c,C,c,从属性,定比性,2019年11月5日星期二,3,定理1:若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。,定理2:属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b,一.线上取点定理（线上点的投影）,2.1 从属问题点属于线,问题一:根据点和直线的投影，判断点是否在直线上,问题二:如果点在已知直线上，则可根据该点的一个投影，求出它的另外两个投影,2019年11月5日星期二,4,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,2.1 从属问题点属于线,2019年11月5日星期二,5,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：,解法二：,a,b,（应用第三投影）,（应用定比定理）,2.1 从属问题点属于线,2019年11月5日星期二,6,例3：点C分割线段AB为2:3，已知AB的投影，求点C的两面投影。,2019年11月5日星期二,7,例4:已知:直线AB的投影，点S在直线AB上，AS的实长.求S.,2019年11月5日星期二,8,一. 两直线平行定理（直线与直线平行）,空间两平行直线在同一投影面上的投影一般仍平行。 空间平行两直线的线段长之比在各投影中保留。,2.2 平行问题线与线,O,O,2019年11月5日星期二,9,例5：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,2.2 平行问题线与线,2019年11月5日星期二,10,例6：判断图中两条直线是否平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,2.2 平行问题线与线,2019年11月5日星期二,11,一. 两直线相交定理,2.3 相交问题线与线,两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点符合点的投影规律。 反之，若两直线在同一投影面上的投影均相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线相交。,O,O,2019年11月5日星期二,12,d,k,k,d,先作正面投影,例7：过C点作水平线CD与AB相交。,2.3 相交问题 线与线,一. 两直线相交定理,2019年11月5日星期二,13,例8：判断直线AB、CD的相对位置。,2.3 相交问题 线与线,一. 两直线相交定理,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合空间点的投影特性。,判断方法？, 应用定比定理, 利用侧面投影,2019年11月5日星期二,14,2、两线交叉,2.3 相交问题 线与线,为什么？,两直线相交吗？,不相交！,交点不符合点的投影规律！,2019年11月5日星期二,15,1(2),1、同名投影可能相交，但“交点”不符合点的投影规律。,2、“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可判断两线的空间位置。,投影特性：,2.3 相交问题 线与线,2、两线交叉,2019年11月5日星期二,16,2.4 垂直问题线与线,一.两直线垂直,2019年11月5日星期二,17,直角投影定理：互相垂直的两直线，若一直线平行于投影面，则这两直线在该投影面的投影，反映直角。反之，若两直线的某一投影呈直角，且其中一直线平行于该投影面，则此两线必垂直。,2.4 垂直问题 线与线,一.两直线垂直,此定理是在投影图上解决一切垂直问题的基础。,2019年11月5日星期二,18,例9:过A点作一条线垂直于直线EF。,2019年11月5日星期二,19,例10:过A点作一条线垂直于直线CD。,2019年11月5日星期二,20,例11：过S点作一条直线垂直于水平线AB和正平线CD,2019年11月5日星期二,21,例12：作一个直角三角形ABC。直角边BC在已知直线MN上, 两条直角边的比例AB:BC=3:2.,y,y,空间分析,ABMN,bc =BC,2019年11月5日星期二,22,例13：已知菱形的对角线AC的两面投影和B点的正面投影,作出菱形ABCD的投影。,2019年11月5日星期二,23,2.1 从属问题点或线属于面,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,位于平面上的直线应满足的条件：,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,二、平面上取直线,2019年11月5日星期二,24,A,B,C,2.1 从属问题点或线属于面,二、平面上取直线,取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。,2019年11月5日星期二,25,例14：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,有无数解！,2.1 从属问题点或线属于面,2019年11月5日星期二,26,2.1 从属问题点或线属于面,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,首先面上取线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,位于平面上的直线应满足的条件：,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,三、平面上取点,2019年11月5日星期二,27,例15：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,d,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,2.1 从属问题点或线属于面,2019年11月5日星期二,28,根据面上取点取线的作图法，可在给定平面上任意取各投影面的平行线。,2.1 从属问题点或线属于面,四、平面上的投影面平行线,2019年11月5日星期二,29,例16：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,c,a,b,c,b,唯一解！,2.1 从属问题点或线属于面,2019年11月5日星期二,30,b,c,k,a,d,a,b,c,k,例17：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD 的水平投影。,解法二：,c,解法一：,b,2.1 从属问题点或线属于面,2019年11月5日星期二,31,例18：在 ABC内，通过点A和C分别作一条水平线和一条正平线.,2.1 从属问题点或线属于面,2019年11月5日星期二,32,例19：完成六边形的水平投影.,2.1 从属问题点或线属于面,2019年11月5日星期二,33,例20：判断S点是否在ABC上。,2.1 从属问题点或线属于面,2019年11月5日星期二,34,例21：已知ABC上一点S的正平投影s, 作出S点的水平投影,2.1 从属问题点或线属于面,2019年11月5日星期二,35,二. 直线与平面平行,线面平行作图法：若空间有一直线与某一平面平行，则该平面必需包含有一条与空间直线平行的直线；反之，若平面上有一条与空间直线平行的直线，则该面与空间直线平行。,2.2 平行问题线与面、面与面,几何条件：如果一直线与平面上的某一直线平行，则此直线与该平面互相平行。,2019年11月5日星期二,36,g,g,1.过已知点作线平行于已知面,EG/AC EG/ABC,EF/AB EF/ABC,EH/BC EH/ABC,2.2 平行问题线与面、面与面,二. 直线与平面平行,2019年11月5日星期二,37,g,g,2.过已知点作面平行已知线,EFG/AB,EG/AB,2.2 平行问题线与面、面与面,二. 直线与平面平行,2019年11月5日星期二,38,二面平行作图法：若要使平面与平面互相平行，则此两平面上必须分别有不平行的两直线对应平行。反之，若两平面上分别有不平行的两直线对应平行，则此两平面必平行。,三. 平面与平面平行,2.2 平行问题线与面、面与面,几何条件：一个平面上的两相交直线，对应地平行于另一个平面上的两相交直线，则此两平面互相平行。,2019年11月5日星期二,39,g,g,1、过已知点作面平行于已知面,EG / AB,EF / AC,EFG/ABC,2.2 平行问题线与面、面与面,三. 平面与平面平行,2019年11月5日星期二,40,例22：判断直线AB是否平行于平面CDE.,2.2 平行问题线与面,2019年11月5日星期二,41,例23：过K点作一条平行于ABC的水平线,2.2 平行问题线与面,2019年11月5日星期二,42,例24：判断平面ABC与平面DEF是否平行,2.2 平行问题面与面,2019年11月5日星期二,43,例25：过K点作一个平面平行于由两平行直线AB和CD确定的平面ABCD.,2.2 平行问题面与面,2019年11月5日星期二,44,1、一般位置面与垂直线相交,2.3 相交问题线与面、面与面,2019年11月5日星期二,45,2、一般位置线与垂直面相交,2.3 相交问题线与面、面与面,2019年11月5日星期二,46,3、特位面与一般位置面相交,m,n,交线的水平投影,交线的正面投影,2.3 相交问题线与面、面与面,积聚性法,2019年11月5日星期二,47,直线与平面相交，必有一共有点，即交点。,要在这个平面上求得这一交点，必需先在平面上取一包含交点的直线。,2.3 相交问题线与面、面与面,4、一般位置线与一般位置面相交,2019年11月5日星期二,48,4、一般位置线与一般位置面相交,1）包含已知线EF作辅助平面R（垂直于某一投影面）；,三步求交法,2）求此辅助平面R与已知平面ABC的交线MN；,3）求此交线MN与已知直线EF的交点K。,2.3 相交问题线与面、面与面,辅助平面法,2019年11月5日星期二,49,n,n,4、一般位置线与一般位置面相交,m,m,三步求交法,1)包含已知线EF作辅助面RH,2）求RH面与ABC 面的交线MN,3）求MN与EF的交点K,2.3 相交问题线与面、面与面,2019年11月5日星期二,50,1）两平面的交线是一条直线。它是两平面的共有线。 2）只要求得交线上的两个共有点，或一点一已知方向， 问题就解决。 3）求解方法有：三步求交法和三面共点法。,（一） 用 “三步求交法”求两平面交线,1）用“三步求交法”作出一个平面上的任一直线与另一平 面的交点。 2）用“三步求交法”再作出一个平面上另一直线与另一 平面的交点。 3）将这两点连线即为所求的交线。,有目的地将面面相交问题转化为线面相交问题来逐个进行求解。,2.3 相交问题线与面、面与面,5、一般位置面与一般位置面相交,2019年11月5日星期二,51,2019年11月5日星期二,52,1、求EG与ABC面的交点M,2、求FG与ABC面的交点N,3、连MN即为交线,4、判断可见性,2.3 相交问题线与线、线与面、面与面,5、