王江《金融经济学》课后习题全部答案.pdf

金融经济学习题解答 王江 初稿待修改。未经作者许可请勿传阅、拷贝、转载和篡改。) 2006 年 8 月 第第第 2 章章章 基基基本本本框框框架架架 2.1 U(c) 和 V (c) 是两个效用函数c Rn +且 V (x) = f(U(x)其中 f() 是一正单调 函数。证明这两个效用函数表示了相同的偏好。 解解解. 假设 U(c) 表示的偏好关系为 那么 c1, c2 RN + 有 U(c1) U(c2) c1 c2 而 f() 是正单调函数因而 V (c1) = f(U(c1) f(U(c2) = V (c2) U(c1) U(c2) 因此 V (c1) V (c2) c1 c2即 V (c) 表示的偏好也是 。 2.2* 在 1 期经济有两个可能状态 a 和 b它们的发生概率相等 a b 考虑定义在消费计划 c = c0;c1a;c1b 上的效用函数 U(c)=logc0+ 1 2 (logc1a+ logc1b) U(c)= 1 1c 1 0 + 1 2 1 1c 1 1a + 1 1c 1 1b U(c)=eac0 1 2 eac 0 + eac0 证明它们满足不满足性、连续性和凸性。 解解解. 在这里只证明第一个效用函数可以类似地证明第二、第三个效用函数的性 质。 (a) 先证明不满足性。假设 c c那么有 c0 c 0, c1a c 1a, c1b c 1b 而 log() 是单调增函数因此有 log(c0) log(c 0), log(c1a) log(c 1a), log(c1b) log(c 1b) 因而 U(c) U(c)即 c c。 2第 2 章 基本框架 (b) 现在证明连续性。令 c(n) 1 为 R3中一个序列且 limnc(n)= c。对于 0, 当 | c i ci | 时我们有 | log(c i) log(ci) | 3, i = 0,1a,1b对 于 N 使得当 n N 时 c(n) c = (c0 c(n) 0 )2+ (c1a c(n) 1a )2+ (c1b c(n) 1b )2 log(c 0) + 1 2 log(c 1a) + 1 2 log(c 1b) 对于 (0,1) U(C + (1 )C) = log(c 0+ (1 )c0) + 1 2 log(c 1a+ (1 )c1a) + 1 2 log(c 1b+ (1 )c1b) (log(c 0) + 1 2 log(c 1a) + 1 2 log(c 1b) + (1 )(log(c0) + 1 2 log(c1a) + 1 2 log(c1b) = U(C ) + (1 )U(C) U(C) 故凸性成立。 2.3 U(c) = c 1 2ac 2 是一可能的效用函数其中 c R+a 是非负的系数。U(c) 具有不 满足性吗如果不那么 a 取什么值和/或 c 在什么范围内时 U(c) 具有不满足性 解解解. 不一定。比如当 a = 1 时U(1 2) = 3 8 U(3) = 1.5。U(c) 不具有 不满足性。当 a = 0 时U(c) = c 具有不满足性当 a 0 时当 c 0, 1 a 时 U(c) 具有不满足性。 2.4 考虑一个经济它在 1 期有三个可能状态ab 和 c a b c 证券市场包括证券 1 和 2它们具有如下的支付向量X1= 1;1;1 以及 X2= 1;2;3。它们的价格分别为 S1和 S2。 (a) 描述这个经济的支付空间。 (b) 写出这个经济的市场结构矩阵 X。 (c) 考虑含有 1单位的证券 1 和 2单位的证券 2 的组合。写出这个组合的支付向 量。这个组合的价格是多少 c 王江 金融经济学 3 (d) 假设这个市场中总共有 K 个参与者。每个参与者的禀赋是 1 单位的证券 1 和 2 单位的证券 2。这时的市场组合是什么市场组合的支付向量是什么市场组 合的总价值是多少 (e) 写出市场化支付的集合。 (f) 如果市场不允许卖空。市场化支付的集合是什么 (g) 现在引入新的证券 3它的支付向量为 X3= 0;0;1。写出新的市场结构矩 阵。在这个市场结构下市场化支付集合是什么 解解解. (a) 这个经济的支付空间是 R3 (b) 市场结构矩阵为 X = 11 12 13 = X1, X2 (c) 组合的支付向量为 1X1+ 2X2= 1+ 2; 1+ 22; 1+ 32组合的价格是 1S1+ 2S2 (d) 市场组合是 K 单位的证券 1 和 2K 单位的证券 2组合的支付向量为 3K; 5K; 7K组合的总价值是 KS1+ 2KS2 (e) 市场化的支付集合是 M = Y R2: Y = 1X1+ 2X2, 1, 2 R (f) 这时的市场化支付集合是 M+= Y R2: Y = 1X1+ 2X2, 1, 2 R+ (g) 新的市场结构矩阵为 X = 110 120 131 = X1, X2, X3此时的市场化支付集 合为 M = Y R3: Y = 1X1+ 2X2+ 3X3, 1, 2, 3 R。 2.5 在练习 2.4 中定义的只存在证券 1 和 2 的经济中。考虑一个禀赋为 1单位的证券 1 和 2单位的证券 2 的参与者。写出他的预算集。 解解解. 参与者的预算集是 C R3 + : C = 1X1+ 2X2, 其中 1S1+ 2S2 1S1+ 2S2。 2.6 在上面的练习中引入练习 2.4 中定义的证券 3它的价格为 S3。这时参与者的预 算集是什么他在证券 3 上的禀赋为 0证明由证券 1、2、3 构成的预算集包含 仅由证券 1、2 构成的预算集。 解解解. 此时参与者的预算集就变成了 C R3 +: C = 1X1+2X2+3X3, 其中 1S1+ 2S2+ 3S3 1S1+ 2S2+ 3S3。 2.7* 考虑一个在 1 期只有一个可能状态的经济。在这种情况下不存在不确定性。参 与者 1 的 0 期禀赋为 100 而 1 期禀赋为 1即他的禀赋向量为 100;1。他的偏好可 金融经济学c 王江 4第 2 章 基本框架 以表示成如下形式 U(c0,c1) = logc0+ logc1. 系数 为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数。有一只证券它 的 0 期价格为 1、1 期支付为 1 + rF。这里rF是利率。 (a) 如果这个参与者不能在市场上进行交易那么他的消费计划以及相应的效用 Ua是什么 (b) 现在假设他可以在市场上进行交易。 他的预算集是什么以当前消费为单位他的总财富 w 是多少 写出参与者的优化问题。令 c0为参与者的当前即 0 期最优消费、s 为 最优储蓄以及 Ub为在最优策略下得到的效用。求解他的最优消费/储蓄选 择以及相应的效用。把 Ub表示成财富 w、利率 rF和偏好系数 的函数。 讨论参与者的最优选择如何依赖于利率 rF和偏好系数 。给出解释。 (c) 证明 Ub Ua。 (d) 令 g 为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的益处。它的定义为 Ub(w g) = Ua. 计算 g。讨论 g 如何依赖于 g 如何依赖于 rF给出解释。 解解解. (a) 如果不能交易那么参与者只能消费自己的初始禀赋即 c0= 100, c1= 1, Ua= log(100) + log(1) = log(100) (b) 参与者的预算集是 C R2 +: c0= 100 S, c1= 1 + S(1 + rF), S R如果 以当前消费为单位他的总财富是 w = 100 + 1 1+rF 。参与者的优化问题就是 max S log(100 S) + log(1 + S(1 + rF) 我们求得最优储蓄 S = 100(1 + rF) 1 (1 + )(1 + rF) 最优消费为 c0= 100(1 + rF) + 1 (1 + )(1 + rF) = 1 1 + w, c1 = (100(1 + rF) + 1) (1 + )(1 + rF) = (1 + rF) 1 + w c 王江 金融经济学 5 因而相应的效用为 Ub= log( w 1 + ) + log( (1 + rF) 1 + w) 我们可以看到c0c1随着 rF, 的上升而下降上升当 rF上升时储 蓄的收益率增加因而参与者会减少当前的消费以增加储蓄同时也就增加了 1 期消费了当 上升时1 期消费带来效用的权重增加因此参与者会减少 0 期消费以增加 1 期消费。 (c) 如果选择 S = 0那么我们就得到了 Ua而我们选择最优的 S 以最大化效用 函数而得到的是 Ub因此Ub Ua (d) 由 Ub(w g) = log(w g 1 + ) + log(1 + r F) 1 + (w g) 我们可以得到 g = w 1+(1 + rF) 1+100 1 1+(1 + ) g 随着 、rF的增加而增加。g 表示的是参与者能够在证券市场上交易而获 得的益处参与者是为了在当前消费和未来消费之间进行消费转移而进行交 易的如果他进行消费转移的动力越大那么他从交易中获得益处越大而 、rF增加时参与者都希望增加未来消费他进行消费转移的动力也增大 因而 g 增加。 金融经济学c 王江 6第 2 章 基本框架 c 王江 金融经济学 第第第 3 章章章 Arrow-Debreu 经经经济济济 3.1* 考虑如下经济在 1 期有两个可能状态 a 和 b a b (a) 描述所有 Arrow-Debreu 证券的支付向量。记这些证券的价格向量为 。 (b) 考虑一个拥有如下禀赋的参与者 0 2 1 把他的禀赋表示成 Arrow-Debreu 证券的组合。 (c) 计算他的金融财富。写出他的预算集。 (d) 假设参与者的效用函数如下 U(c0,c1a,c1b) = ec0 1 2 ec 1a + ec1b. 不考虑消费的非负约束写出他的优化问题。求解他的最优消费选择。 (e) 讨论他的消费如何依赖于Arrow-Debreu 证券的价格向量 。 (f) 证明在某些价格下他在某些时期/状态下的消费可能是负的。 解解解. (a) Arrow-Debreu 证券的支付向量是 Xa= 1;0, Xb= 0,1 (b) 2Xa+ Xb (c) 参与者的金融财富是w = 2a+b他的预算集是c R3 +: c0+ac1a+bc1b= w (d) 由于不考虑非负约束参与者的优化问题就变成了 max c0;c1a;c1b ec0 1 2(e c1a + ec1b) 8第 3 章 ARROW-DEBREU 经济 s.t. c0+ ac1a+ bc1b= w = 2a+ b 得到最优消费为 c 0 = 2a+ b+ alog(2a) + blog(2b) 1 + a+ b c 1a = 2a+ b+ blog(2b) log(2a) blog(2a) 1 + a+ b c 1b = 2a+ b+ alog(2a) log(2b) alog(2b) 1 + a+ b 可以用 c对 a,b的导数的符号来确定状态价格变化对最终消费的影响。一般 说来状态价格变化对消费有两种效应财富效应和价格效应。比如说当状 态价格 a上升时对消费 c 1a有正的财富效应和负的价格效应总的效应是不 确定的有可能为正也有可能为负而 a上升对消费 c 0,c1b 均有的正的财富 效应和正的价格效应因而 c 0,c1b均会增加 (e) 当 a= b= 0.1 时c 0 = 0.0182 c 1c即总禀赋越高、消费越 高 (d) 因为对于消费者 1、2 都有 c 1a c 1b = b a = 2 = 200 100 c 1a c 1c = c a = 4 = 200 50 因此每一参与者的消费在总消费中所占的份额在所有状态下都是相等的。 金融经济学c 王江 12第 3 章 ARROW-DEBREU 经济 c 王江 金融经济学 第第第 4 章章章 套套套利利利和和和资资资产产产定定定价价价 4.1 经济在 1 期有 4 个可能状态。在市场中有 5 只可交易证券它们的支付矩阵 X 如 下 X = 11000 12100 13210 14321 . (a) 证明市场是完全的。 (b) 证明状态价格向量存在且唯一。并给出它的值。 (c) 证明市场上存在冗余证券。 (d) 选择一组足以保证市场完全的复合证券。把每一只 Arrow-Debreu 证券都表示 成这些证券的组合。称这些组合为状态或有组合。 (e) 用状态或有组合把任一由五只交易证券组成的组合表示出来。 (f) 证明状态或有组合可生成状态空间。 解解解. 记 5 只交易证券的支付向量分别为 X1= 1;1;1;1, X2= 1;2;3;4, X3= 0;1;2;3, X4= 0;0;1;2, X5= 0;0;0;1 (a) 因为 X1,X2,X3,X4的支付是互相独立的四只证券而状态数等于 4因而证 券市场是完全的 (b) 假设状态价格向量为 = 1;2;3;4那么有 1+ 2+ 3+ 4=1 1+ 22+ 33+ 44=2.5 2+ 23+ 34=1.5 3+ 24=0.75 4=0.25 求解上述方程组可以得到唯一的解为 = 1 4; 1 4; 1 4; 1 4 14第 4 章 套利和资产定价 (c) 买入 1 单位的证券 2 卖出 1 单位的证券 3得到的支付是 1;1;1;1恰好就是 证券 1 的支付因而市场上存在冗余证券 (d) 证券 2、3、4、5 可以保证市场完全而且我们有 X2 2X3+ X4=1;0;0;0 X3 2X4+ X5=0;1;0;0 X4 2X5=0;0;1;0 X5=0;0;0;1 (e) 假设组合中 5 只交易证券的头寸分别为 1, 2, 3, 4, 5那么状态或有组合的 头寸分别为 1+2, 1+22+3, 1+32+23+4, 1+42+33+24+5 (f) 因为状态或有组合的支付是 R4空间的一组基因而状态或有组合可生成支付 空间。 4.2 银行 1 的存贷利率为 r1而银行 2 的为 r2且 r1 r2。证明存在套利机会。 解解解. 从银行 2 借钱并全部存入银行 1参与者就可以获得第 2 类套利。 4.3 银行 i 的贷款利率为 ria即顾客借钱的利率而存款利率为 rib i = 1,2。 (a) 证明无套利要求 ria rib。 (b) 两个银行的存贷利率应该满足什么样的条件才能使市场上不存在套利机会。 解解解. (a) 反证法。如果 ria 0参与者可获得第 2 类套利。因此ria rib (b) r1a r2b, r1b 0因而存在套利机会。 (b) 上面构造了第 2 类套利机会。卖出 1 单位的证券 1 和 1 单位的证券 3同时买 入 1 单位的证券 2那么 0 期支付为 1 2而 1 期支付为 0这是第 1 类套利机 会。同时进行上述两种交易就可以得到第 3 类套利机会。 c 王江 金融经济学 15 4.5 在 1 期有三个可能状态1,2,3。在经济中有三只交易证券abc它们的 支付向量如下 Xa= 1 1 0 , Xb= 0 1 1 , Xc= 1/2 1 1/2 . 这些证券的 0 期均衡价格为Sc= Sb= Sc= 1。令 = 1;2;3 为状态价格向 量。 (a) 证明 2;1;2 是一个可能的状态价格向量因为它给出了三支现有证券的价 格。 (b) ”资产定价基本定理”指出状态价格必须是非负的。在一个两期经济里对于证 券市场这意味着什么并给出其解释。 (c) 上面的例子是这个原理的反例吗为什么 (d) 证明 1/2;1/2;1/2 是另外一个可能的状态价格向量。在这种情况下所有状 态价格都是正的。 (e) 解释为什么存在多个可能的状态价格向量它们对已有证券都给出相同的价 格。 (f) 考虑一个标的资产为证券 a 、执行价格为 1/2 的欧式买权。这份期权的支付是 多少你能为它定价吗 解解解. (a) 因为 2 1 + (1) 1 = 1, (1) 1 + 2 1 = 1, 2 1 2 + (1) 1 + 2 1 2 = 1 因而 2;1 2;2 是一个可能的状态价格向量 (b) 状态价格向量的非负性意味着不存在套利机会 (c) 不是。因而它只是可能的状态价格之一并不一定是真实的状态价格 (d) 因为 1 2 1 + 1 2 1 = 1, 1 2 1 + 1 2 1 = 1, 1 2 1 2 + 1 2 1 + 1 2 1 2 = 1 因而 1 2; 1 2; 1 2 是一个可能的状态价格向量 (e) 因为市场是不完全的因而可能存在多个状态价格它们都给出已有证券的价 格。 金融经济学c 王江 16第 4 章 套利和资产定价 4.6 远期合约Forward是在未来即 1 期以当期即 0 期确定的价格交易某一 证券或商品的合约而在当期没有现金流产生。在当期约定的未来交易价格称作远 期价格。比方说考虑一份在 1 期以 F0的价格购买 1 盎司黄金的远期合约。合约的 买方同意在 1 期合约的到期日从卖方买入 1 盎司黄金。在当期没有现金交换。 令 St为 t = 0,1 期黄金的价格、而 rF为利率。考虑在 1 期得到 1 盎司黄金的两种方 法 现在购买一份远期合约。在 1 期支付远期价格 F0并获得黄金。 现在支付 S0买入 1 盎司黄金并且持有它直到 1 期。假设从现在起持有黄金 直到 1 期没有另外的成本或收益。 在这两种情况下我们在 1 期同样得到 1 盎司黄金而那时它的价值为 S1。 (a) 由于这两种策略给予我们相同的支付 S1无套利原理意味着它们的成本必须 一样。用当期的价格 S1和 rF给出远期价格。 (b) 假设持有 1 盎司黄金不仅得到它的 1 期出售价格在 1 期还得到额外收益 y。y 将如何影响远期价格 解解解. (a) 第一种方法的成本是 F0 1+rF 而第二种方法的成本是 S0根据无套利原 理 F0 1+rF = S0因此F0= (1 + rF)S0 (b) 由于第二种方法还得到额外收益由无套利原理原理有 F0 1 + rF d + (b) 令状态价格向量为 = a;b那么有 a+ b= 1 1 + rF (u + )Sa+ (d + )Sb= S 求解方程组可得状态价格为 a= 1 1 + rF (1 + rF) (d + ) u d b= 1 1 + rF (u + ) (1 + rF) u d 因而期权的价格为 c = auS K+bdS K+= 0uS 0比较两只期权的支付。当 1 期价格 S 大于 K + 或者小于 K 时两者的支付都为 0当 S K 1,K 0 时 X1= S (K 1) X0= 0 当 S K 0,K) 时 X1= S (K 1) S (K 0) = X0当 S K,K + 0) 时 X1= S + (K + 1) S + (K + 0) = X0当 S K + 0,K + 1 时 X1= S + (K + 1) 0 = X0根据无套利原理 较高的期权价格较高。 5.4 对于参数为 K 和 的蝴蝶头寸给出它的价格的一个上界和下界。 解解解. 一个上界是 S (K )+ S (K + )+因为期权的支付是非负的因而 0 是它的一个下界。 5.5 股票价格具有如下形式的二叉树结构 10 12 8 两个可能结果的发生概率相等无风险利率是 10%。 c 王江 金融经济学 21 (a) 为一个以此股票为标的资产、执行价格为 9 的看跌期权定价。 (b) 假设你得到一个新的利好信息股票价格上升到 12 的概率大于 1/2而股票价 格仍然是 10。你愿意支付的看跌期权的价格是上涨还是下跌解释原因。 解解解. (a) 由第 1 题中公式可以得到状态价格为 = 15 22, 5 22因而看跌期权的价格为 5 22 9 8 = 5 22 (b) 由于股价不变状态价格也不会变化因而看跌期权的价格是不变的。 5.6 二叉树模型可以拓展到多于两个时期的情形。考虑拓展到三个时期 012 的情 况。股票价格服从如下的二叉树过程 10 12 14.4 9.6 8 9.6 6.4 每一期间即从 0 期到 1 期或从 1 期到 2 期的利率都是 10%。考虑一份在 2 期 到期、执行价格为 9 的看涨期权。 (a) 描述这份看涨期权在 2 期的支付。 (b) 求解看涨期权在 1 期、股票价格分别为 12 或 8 时的价格。 (c) 求解看涨期权在 0 期的价格。 (d) 如果是美式看涨期权它在 0 期的价格是多少 解解解. (a) 支付是 5.4 0.6 0.6 0 (b) 可以求得每个节点的状态价格都和第 5 题中的一样。当股价为 12 时期权价 格为 15 22 5.4 + 5 22 0.6 = 3.82当股价为 8 时期权价格为 5 22 0.6 = 0.41 (c) 看涨期权的 0 期价格为 15 22 3.82 + 5 22 0.41 = 2.70 (d) 因为没有股利美式看涨期权不会提前执行价格也是 2.70。 5.7* 在练习 5.6 描述的经济中考虑一份以股票为标的资产、在 2 期到期、执行价格为 14 的看跌期权。 金融经济学c 王江 22第 5 章 期权: 一个套利定价的例子 (a) 如果它是欧式期权求解它的 0 期价格。 (b) 如果它是美式期权求解它的 0 期价格。 解解解. (a) 期权的 2 期支付是 0 4.4 4.4 7.6 在 1 期当股价为 12 时期权价格为 5 22 4.4 = 1当股价为 8 时期权价格为 15 22 4.4 + 5 22 7.6 = 4.73因而期权的 0 期价 格为 15 22 1 + 5 22 4.73 = 1.76。 (b) 期权的 2 期支付是 0 4.4 4.4 7.6 在 1 期如果不提前执行当股价为 12 时期权价 格为 5 22 4.4 = 1当股价为 8 时期权价格为 15 22 4.4 + 5 22 7.6 = 4.73 而如果在 1 期提前执行那么期权的支付分别为 2 和 6因而参与者会提前 执行期权在 1 期的支付为 2;6如果在 0 期不提前执行期权的价格为 15 22 2+ 5 22 6 = 2.73而如果在 0 期提前执行参与者的收益是 4因此参与 者在 0 期就执行期权期权在 0 期的价格是 4。 5.8* 这里的经济与练习 5.6 描述的经济一样只是这里的参数更具一般性 S uS u2S udS dS duS d2S 每一期间的利率都是 rF且 0 0 为任意正实数令 a= a+;0;0;.;0 b 由强凸性有 a+ (1)b b即 u0(ca 0+ (1 )c b 0+ ) + u1(ca 1+ (1 )c b 1) u0(c b 0) + u1(cb 1) 由于 是任意实数并且 u0是连续函数因此 u0(ca 0+ (1 )c b 0) + u1(ca 1+ (1 )c b 1) u0(c b 0) + u1(cb 1) 即 a + (1)b b 成立命题得证。 6.4* 假设定义在随机支付上的效用函数具有练习 6.1 中的形式其中 是任意的状态空 间而 P 是相应的概率测度。如果它还满足弱凸性那么 u0() 和 u1() 都是凹的。 解解解. 只能证明 c C : c b 是凸的即 u 是拟凹的不能证明是凹的。 c 王江 金融经济学 第第第 7 章章章 风风风险险险厌厌厌恶恶恶 7.1* 令 R(w) wu(w)/u(w) 而 a(w) = ArgMax Eu(w + a r) 为相对于效用函数 u() 的最优投资选择。假设 w 0、u() 0、u() 0 且 E r 0。证明以下命题 (a) 如果 1给定效用函数 u() 且 R(w) 0。定义 u1(w) u(w),u2 u(w). 那么 R1(w) R2(w)。 (b) 给定以上结论我们有 a1(w) a2(w), 其中 a1(w) 和 a2(w) 分别是相对于己于 u1和 u2的最优投资选择。 (c) 定义 a(w) a(w)/w。那么对于 w1 w2有 a(w1) a(w2)。提示令 = w2/w1。 最后一个结论说的是对于具有单调递增的相对风险厌恶的投资者他在风险资产 上的投资额占他财富的比例随着财富的增加而减少。 解解解. (a) u1(w) = u(w), u 1(w) = 2u(w) 由此以及 R(w) 0 可得 R1(w) = wu 1(w) u1(w) = 2wu(w) u(w) = (w)u(w) u(w) = R(w) R(w) = R2(w); (b) 参与者优化的一阶条件是 EU (W + a r) r = 0因为 E r 0从而有 a 0。一阶条件的两边对 求导得 Eu (w + a r)(w + a r + a r) r = 0 28第 7 章 风险厌恶 2aEu ( w) r2 = EU( w) w r = Eu( w)( w) r = Eu( w)R( w) r sign(a) = sign(Eu( w)R( w) r) 因为 Eu( w)R( w) r Eu( w)R(w) r = R(w)Eu( w) r = 0 最后一个等式是因为一阶条件因此 a 0 a(w) a(w), 1 a1(w) a2(w) (c) 令 = w2 w1令 u1(w) = u(w), u2(w) = u(w)那么由a和b有 a(w2) a(w1)即 a(w1) a(w2)。 7.2 参与者的初始财富为 w 且他的绝对风险厌恶系数为常数 a。现在他必须承担风险 g g 是一公平赌博即他的财富变成 w + g。当 g 具有如下分布时计算确定性 等价 (a) 取值为 b 和 b 的二项分布 (b) 区间 c, c 上的均匀分布 (c) 均值为 0、标准差为 的正态分布。 (d) 讨论在以上情形下确定性等价如何依赖于初始财富 w。从中你能得到什么结 论并解释你的结论。 解解解. 为简便起见假设效用函数为 U(w) = eaw (a) 由定义有 U(1+ w)=ea(w+1)EU(w + g) = 1 2U(w + b) + 1 2U(w b) =1 2e a(w+b) 1 2e a(wb) 1= 1 a log(1 2e ab + 1 2e ab) (b) 由定义有 U(w + 2)=ea(w+2)= EU(w + g) = 1 2c c c ea(w+x)dx = 1 2ace aw(eac eac) 2= 1 a log(e ac eac 2ac ) c 王江 金融经济学 29 (c) 由定义有 U(w + 3)=ea(w+3)= EU(w + g) = ea(w+x) 1 2exp( x2 22 )dx =eaw+ a22 2 3= a 2 2 (d) 在以上各种情形下确定性等价都不依赖于初始财富 w也就是说参与者对 待公平赌博的态度与财富无关。 7.3 参与者的初始财富为 w 且他的绝对风险厌恶系数为 1。现在他必须承担与他的财富 成比例的风险 w gw g 是一公平赌博。当 g 具有如下分布时计算确定性等价占初 始财富的比例-即相对确定性等价 (a) 取值为 b 和 b 的二项分布其中 0 0 时记风险资产的最优头寸为 a 。a 是大于 还是小于 a 0 c 王江 金融经济学 33 (c) 假设 y = c( r r) + e 以及 E e| r = 0。因此如果 c = 0 y 和 r 是相关的。当 极小时他持有的股票头寸如何随着 w 变化而变化解释所得到的结论。 解解解. (a) 当 = 0 时优化的一阶条件是 Eu(w + a 0 r) r = 0 两边对 w 求导可得 da 0 dw = Eu( w) r Eu( w) r2 又 Eu( w) r=Eu( w)R( w) r Eu( w)R(w) r =R(w)Eu( w) r =0 故 da 0 dw 0即最优头寸随着 w 的增加而增加 (b) 参与者优化的一阶条件是 Eu(w + a r + y) r = 0 两边对 求导可得 da d = Eu( w) r y Eu( w) r2 记 K(w + a r) = ER( w) y | r可以证明 K() 0, K () 0因此 Eu( w) r y = ER( w)u( w) r y = EK(w + a r)u ( w) r K(w)Eu( w) r = 0 最后一个等式是因为一阶条件因此da d 0故 a a 0 (c) 由a有 da 0 dw = Eu( w) r Eu( w) r2 = Eu( w)R( w) r Eu( w) r2 而 Eu( w)R( w) r = ER(w + a r)u( w) r + ER(w + a r)u( w) r y + o(2) 由a知道 ER(w + a r)u( w) r 0另外 又极小因此 Eu( w)R( w) r 0, da dw 0 即最优头寸随着初始财富 w 的增加而增加。这是因为 极小因而不可交易收 入不会改变a中的结论。 金融经济学c 王江 34第 8 章 组合选择一 8.5* 假设你是对冲基金中交易政府债的交易员。你有 w 的现金额度。 在 0 期当美联储拍卖新债券时你可以提交报价而买入政府债。在 1 期你 可以在二级市场上以价格 v 再把它们卖掉其中 v = v+ v 0 且 E = 0。 假设无风险收益率为零。 你购买债券的报价是 p。你购买到的数量 x(p) 是 p 的递增函数且 x(0) = 0。选 择 p 以最大化你的期望效用函数 V (p) Eu( w), w = w + x(p)( v + p). 假设你是不满足的且严格风险厌恶的。为简单起见假设 V (p) 是严格凹的。 (a) 写出关于最优报价 p的一阶条件。 (b) 证明 0 w0当 w = w0时优化问题的一阶条件为 Eu(w0+ x(p0)( v + p0)(x(p0)( v + p0) x(p0) = 0 等式两边对 w0求导可得 Eu( w0)(x(p0)( v + p0) x(p0) = ER( w0)u( w0)(x(p0)( v + p0) x(p0) 0 因此 Eu(w1+ x(p0)( v + p0)(x(p0)( v + p0) x(p0) 0 而 V (p) 又是凹的因此 p1 p0即初始财富增加报价也会增加。 金融经济学c 王江 36第 8 章 组合选择一 c 王江 金融经济学 第第第 9 章章章 组组组合合合选选选择择择二二二 9.1 假设有四个等概率的可能状态。状态空间是 = 1, ,4。考虑风险资产 A 和 B它们的收益率如下 1234 rA0.50.50.70.7 rB0.90.80.40.3 在随机占优的意义上你能为它们排序吗 解解解. FA(x) = 00 x 0 故a 1 2同样的方法可以验证 a a 1 2。 9.3 证券市场最初由 N 只证券构成。证明当把另外 M 只证券添加到市场中去时如 果投资者的最优投资组合中包含新证券那么他的福利即他的期望效用会增加 也就是说更多选择总是好的。 c 王江 金融经济学 39 解解解. 因为在添加了新证券以后投资者总是可以选择原来的最优组合只有当他的 效用增加时他才会选择新的证券去构成新的组合。 9.4 假设有 N 只证券它们的供给都是无限的、收益率为 rii = 1, ,N。经济中的 参与者都是不满足的、风险中性的且具有正的禀赋。市场不允许卖空。在什么条件 下 K 基金分离成立K ( ( ( ( Cb。假设市场上交易的 Arrow-Debreu 状态或有要 求权的集合是完全的。令 a和 b分别是状态 a 和状态 b 的状态价格。 (a) 定义这个经济的均衡。简要讨论均衡的存在性和唯一性。 (b) 令代表性参与者的间接期望效用函数为 u(C0) + au(Ca) + bu(Cb) 且 u() 0, u Cb现在 Ca上 升、Cb下降使得 aCa+ bCb= C 保持不变。考虑 au(Ca) + bu(Cb) = au(Ca)+bu( CaCa b )对 Ca求导可得 au(Ca)u(Cb)因为 u 0, u 1(x) = kuk,1(fk(x)f k(x) 0。 金融经济学c 王江 46第 10 章 完全市场中的资源配置与资产价格 (a) 证明证券市场是完全的。 (b) 求解每一参与者的最优消费/投资选择。 (c) 求解均衡证券价格。 (d) 将价格过程与期权定价中的二叉树模型相比较你能得到什么结论 解解解. (a) 市场上有两只支付独立的证券而状态数目恰为 2因而市场是完全的。 (b) 参与者 k 面临的问题是 max ck,0,ck,1a,ck,1b logck,0+ logck,1a+ (1 )logck,1b s.t. ck,0+ ack,1a+ bck,1b= SkC(1 + au + bd) 可以求得 ck,0= SkC(1 + au + bd) 1 + ck,1a= SkC(1 + au + bd) a(1 + ) ck,1b= (1 )SkC(1 + au + bd) b(1 + ) 当市场达到均衡时 ck,0= SkC = C ck,1a= SkuC = uC ck,1b= SkdC = dC 因此求得 a= u , b= (1 ) d ck,0=SkC, ck,1a= SkuC, ck,1b= SkdC (c) 债券价格为 u + (1) d 股票价格为 C。 (d) 在二叉树模型中债券、股票的价格都是给定的因而状态价格只由债券、股 票的支付给定得到是部分均衡的结果在这个模型中接个是通过市场均衡 求得的因而状态价格还与参与者的效用函数、时间偏好系数、状态发生的概 率有关得到的是一般均衡的结果。 10.4* 继续考虑练习 10.3 定义的经济 (a) 构建代表性参与者。 c 王江 金融经济学 47 (b) 计算在代表性参与者即中央计划者的效用函数中每个参与者的权重。它依 赖于什么为什么 (c) 证明代表性参与者的偏好与禀赋在参与者之间的分布无关。 (d) 用基于消费的 CAPM 为两只证券定价。 (e) 计算无风险收益和股票的风险溢价。 (f) 利率和股票的风险溢价依赖于什么解释它们对经济原生变量当前消费水 平、消费增长率的期望值 EC1/C0、消费增长率的波动率 VarC1/C0 以及时 间折现系数 的依赖性 解解解. (a) 由第二题我们知道代表性参与者的效用函数满足 u0(C) = kuk,0(ck) = k ck = k SkC , k 因此 k= Sk, u0(C) = 1 C, u0(C) = logC同样地u1(C) = C因而代表性 参与者的效用函数为 logC0+ logC1a+ (1 )logC1b (b) 参与者 k 的权重为 Sk即他的禀赋占总禀赋的比例。如果参与者拥有的资源 愈多在均衡条件下他的消费越多权重也越大 (c) 代表性参与者的偏好与 Sk无关即与禀赋在参与者之间的分布无关 (d) 由10.16式我们有 债券价格为 C uC + (1 )C dC = u + 1 d 股票价格为 C uC uC + (1 )C dC dC = C (e) 无风险收益率为 rF= 1/( u + 1 d ) 1 风险溢价为 p = ( u + 1 d )/ 1/( u + 1 d ) (f) 如果 u, d 与 1 的距离很小我们可以把风险溢价写成 p = EC1/C0 rF其 中 rF= 1/(VarC1/C0 2EC1/C0 + 3)。无风险利率依赖于时间偏好系数 、消费增长率的波动率 VarC1/C0、以及消费增长率的期望值 EC1/C0。当 金融经济学c 王江 48第 10 章 完全市场中的资源配置与资产价格 减小时参与者偏好于当前消费而为了吸引投资者储蓄以平衡当前消费和 未来消费利率 rF应该上升当未来消费的风险上升时为规避未来消费的 风险参与者对债券的需求上升其价格上升、利率下降当 EC1/C0 上升 时人们倾向于在时间上平滑消费水平即增加当前消费为吸引投资利率 上升。至于风险溢价当 上升时参与者倾向于未来消费因而债券、股票 的需求量都会上升利率和股票收益率都减小而且对两者的影响相对一样 因而风险溢价变小风险溢价一般都是正的。当 EC1/C0 变大时参与者 倾向于增加当前消费因而对债券和股票的需求量都减小两者的价格都下 降、收益率都上升对风险溢价的影响是不确定的但当 EC1/C0 较小时 利率上升更快风险溢价会变小。当 VarC1/C0 变大时因为股票的风险和 禀赋的风险完全一致为了减少未来消费的波动人们对债券的需求增加而对 股票的需求减少因而债券收益率下降而股票收益上升风险溢价上升。 10.5 继续前面练习中的经济。 (a) 求解以证券 2 为标的资产、执行价格为 K 的看涨期权的价格。 (b) 证明基于消费的 CAPM 也适用于期权。 解解解. (a) 不失一般性假设 dC K uC期权的支付为 uC K;0用复制的方法 可以求得期权的价格为 u (uC K) (b) 而用 CCAPM 定价期权的价格为 C uC uC K+ (1 )C dC dC K+= u (uC K) 因而 CCAPM 成立。 10.6* 在 1 期经济有两个可能状态 a 和 b。它们的发生概率分别为 和 1。市场有两 只交易证券证券 1 和 2支付如下 1: 1 1 2: C1a C1b 其中 C 0 且 0 0。 c 王江 金融经济学