值域求值域的方法及习题加详解.pdf

求求值值域域方方法法 函数值域的求法方法有好多,?要是题目?同,或者说稍微有一个数?出现?题, 对?们来说,解题的思路?能就会出现非常大的区别.这里?要弄几个出来,大家一起看一?. 函数的 值域取决于定?域和对应法则?求函数的值域要注意优先考虑定?域 ? 常常用用求求值值域域方方法法 ?令 令?直直接接?察察法法?利用已有的基本函数的值域?察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数?如?比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, ?值域?通过?察直接得到? 例例 令 令?求函数 1 ,1,2yx x = 的值域? 例例 以 以? 求函数 x3y= 的值域? 答案?值域是? 3 , ?同同?练练? 令 令?函数 2 2 1 x y + =的值域. ? 解? 2 1 0yx,试求yxlglg+的最大值? 最大值2lg? ?左 左? ?换换元元法法? ?角换元法?有时候?了沟通已知?未知的联系?们常常引进一个?几个?新的?来 ?替原来的?实行这种?变?换?暴露已知?未知之间被表面形式掩盖着的实质?发现解题 方向?这就是换元法?在求值域时?们?通过换元将所给函数?值域容易确定的另一函数?而求 得原函数的值域? 例例 令 令?求( )1f xxx=+的值域? 解?10xt= ?则 2 1(0)xtt= ? 2 22 155 ( )(1)1 244 f xftttt = + =+ ? 所?函数值域? 5 ? 巧 ? 评评注注?利用引入的新变?t?使原函数消去了根号?转?了关于t的一元二次函数?使?题得?解决?用 换元法求函数值域时?必须确定新变?的取值范围?它是新函数的定?域? 小小结结? ?同同?练练? 左 左?求函数xxy21=的值域? 解?由021x?得 2 1 x?()021=ttx 得 2 1 2 t x =?于是()11 2 1 2 1 2 2 += =tt t y?因?0t?所? 2 1 y?故所求函数值域?与- ?令 以 成? 例例 以 以?求函数 22 1xxxy+=的值域? 解?设 = 2 sin x?则 () +=+=+= 4 2sin 2 2 2 1 2cos1 2 1 2sin 2 1 sincossin 2 y? 所? 2 21 2 21+ y?故所求函数值域? + 2 21 2 21 ，? ?同同?练练? 巧 巧?求函数 2 x54xy+= 的值域? 解?由 0x5 2 ?得 5|x| 故? , 0,cos5x= 4) 4 sin(10sin54cos5y+ +=+= ? 0 4 5 44 + 当 4/= 时? 104ymax+= 当 = 时? 54ymin= 故所求函数的值域? 104 ,54+ 小小结结? ?同同?练练? 5 5? 令 令?求函数xxy21+=的值域. ? 以 以?求函数 2 ) 1x(12xy+= 的值域? 解?因 0) 1x(1 2 + 即 1) 1x( 2 + 故? , 0,cos1x=+ ? 1cossincos11cosy 2 +=+= 1) 4 sin(2+ += ? + 4 5 4 0 ,0 211) 4 sin(20 1) 4 sin( 2 2 + + + 故所求函数的值域? 21 , 0+ 左 左?已知函数)(xf的值域? 9 5 , 8 3 ?求函数)(21)(xfxfy+=的值域. ? ?巧 巧?函函数数有有界界性性法法?方方程程法法? 直接求函数的值域困难时?利用已学过函数的有界性?来确定函数的值域? ?们所说的单调性?最常用的就是?角函数的单调性? 例例 1?求函数 3sin 3sin + = x x y的值域? 解?因?03sin+x?所?3sin3sin=+xyxy?则 () y y x + = 1 13 sin 由于1sinx?所? () 1 1 13 + y y ?解得 2 1 2y?故所函数的值域?与-以?-令 以 成? 求函数 1 1 2 2 + = x x y 的值域 110 1 1 2 + + = + = =+ + = + + += += + + + + ?5 5?数数形形结结合合法法?函数的图?对于一些函数?如二次函数?段函数等?的求值域?题?们? ?借?形象直?的函数图象来?察?函数值的变?情况?再有的放矢地通过函数解析式求函数最值?确定 函数值域?用数形结合法?使?算过程大大简? ?题型是函数解析式?有明显的某种几何意?如两点的距离公式直线斜率等等?这类题目若?用数形结 合法?会更加简单?一目了然?赏心悦目? 例例令 令? 求函数 2 2 23 ( 20) ( ) 23 (03) xxx f x xxx += 故所求函数的值域? ,10+ 例例 左 左?求函数 5x4x13x6xy 22 += 的值域. 解?原函数?变形? 2222 ) 10()2x()20()3x(y+= ?式?看? x 轴?的点 )0 , x(P 到两定点 ) 1, 2(B),2 , 3(A 的距离之和? 由图?知当点 P ?线段? x 轴的交点时? 43) 12()23(|AB|y 22 min =+= ? 故所求函数的值域? ,43+ 例例 巧 巧?求函数 5x4x13x6xy 22 += 的值域. 解?将函数变形? 2222 ) 10()2x()20()3x(y+= ?式?看?定点 致?左?以?到点 P?x?代?的距离?定点 ) 1 , 2(B 到点 )0 , x(P 的距离之差? 即? |BP|AP|y= 由图?知? ?令?当点 P 在 x 轴?且?是直线 致B ? x 轴的交点时?如点 P?则构?ABP ?根据?角形两 边之差小于第?边?有 26) 12()23(|AB| BP| AP| 22 =+= + += + + =x x x x x yQ 当且仅当0=x时取等号?故值域?)+,2 例例左 左? 求函数 4) xcos 1 x(cos) xsin 1 x(siny 22 += 的值域. 解?原函数变形? 5 2xcotxtan3 xcotxtan3 xsecxces1 xcos 1 xsin 1 )xcosx(siny 223 22 22 22 22 = + += += += 当且仅当 xcotxtan= 即当 4 kx = 时 )zk( ?等号?立 故原函数的值域? ), 5 + ?7 7? ?根根判判别别式式法法?对于形如 2 111 2 222 a xb xc y a xb xc + = + ? 1 a? 2 a?同时?0?的函数常采用?法?就是把函数 转?关于x的一元二次方程?二次项系数?0时? ?通过方程有实数根?而根的判别式大于等于零? 求得原函数的值域? 对二次函数或者?式函数?子或?母中有一个是二次?都?通用?但这类题型有时?用?他方法进 行?简 如闭 . 1 1 2 以 以 以 以 以 以 以以 b a y型?直接用?等式性质 k+x bx b. y型,先?简?再用均值?等式 xmxn x令 例?y 令+x x+ x xm xn 化 y型 通常用判别式 xmxn xmxn 北. y型 xn 法一?用判别式 法二?用换元法?把?母替换掉 xx令 ?x+令? ?x+令? +令 令 例?y?x+令?令以令令 x令x令x令 = = + = + = + + = + + =+ = + 例例 令 令?求函数 2 2 1 1 xx y x + = + 的值域? 解解?原函数?关于x的一元二次方程 2 (1)10yxxy+ =? ?令?当1y时?xR? 2 ( 1)4(1)(1)0yy = ?解得 13 22 y? ?以?当1y=时?0x=?而 1 3 1 2 2 ? 故函数的值域? 1 3 2 2 ? 评评注注?在解?类题的过程中要注意讨论二次项系数是?零?使用?法须在xR或仅有个别值?个 别值是指使?母?0的值?处理方法?将它们?入方程求出相应的y值?若在求出的值域中则应除去?y 值?能取的情况?则?能使用?如求函数 2 2 1 1 xx y x + = + ?(2 3)x?的值域?则?能使用?方法? 例例 以 以?求函数 )x2(xxy+= 的值域. 解?两边?方整理得? 0yx) 1y(2x2 22 =+ ?令? ? Rx ? 0y8) 1y(4 2 += 解得? 21y21+ 但?时的函数的定?域由 0)x2(x ?得 2x0 由 0 ? 仅保证关于 x 的方程? 0yx) 1y(2x2 22 =+ 在实数集 R 有实根? 而?能确保?实根在区间与代? 以成?即?能确保方程?令?有实根?由 0 求出的范围?能比 y 的实?范围大?故?能确定?函数的 值域? 2 3 , 2 1 ? ?采取如?方法进一?确定原函数的值域? ? 2x0 0)x2(xxy+= 21y, 0ymin+= ?入方程?令? 解得? 2 , 0 2 2222 x 4 1 + = 即当 2 2222 x 4 1 + = 时? 原函数的值域? 21 , 0+ 注?由判别式法来判断函数的值域时?若原函数的定?域?是实数集时?应综合函数的定?域?将扩大的 部?剔除? ?同同?练练? 8 8? 令 令?求函数 2 2 585 1 xx y x + = + 的值域. 以 以?求函数 22 1 2 + + = xx x y的值域. 左 左?函数 2 2 8 1 3 ( )log axxb x f x + + =的定?域?(,) +?值域?0,2?求,a b的值. 巧 巧?设函数 ( ) 2 2 axb yf x x + = + 的值域? 51,?求a,b . 5 5?已知函数y称f(x)称 ()0 1 2 2 2 ?11 x 2 + ? 1 1 21 x 0 ? 1 0 2 x? 11 11 22 2 ()2 11 22 () 22 xx xx += ?当且仅当 1 1 2 1 2 2 x x = 时?即 12 2 x + = 时等号?立? 1 2 2 y +?原函数的值域? 1 2,) 2 +? ?9? ?法一?方程法?函数有界性? ?原函数?sincos12xyxy= ? ? 2 1sin()12yxy+= ?中 22 1 cos,sin 11 y yy = + ? ? ? 2 12 sin() 1,1 1 y x y = + ? 2 |12 |1yy+? 2 340yy? 4 0 3 y? ?原函数的值域? 4 0, 3 ? ?法二?数形结合法?看作求点(2,1)?圆 22 1xy+=?的点的连线的斜率的范围?解略? 例例 以 以?若关于x的方程 |3|2 (22)3 x a =+有实数根?求实数a的取值范围? ?综合? 解?原方程? |3|2 (22)3 x a =? ? |3| 2 x t =?则01t 令 令?函数 2 21 x x y = + 的值域?(0,1)? ?离常数法? 以 以?若函数( )logaf xx=在2,4?的最大值?最小值之差? 以?则a= 2 2 2 或? ?函数单调性法? ?拓拓展展练练? 一?选择题 令 令?函数y称x 以+ x 1 (x? 2 1 )的值域是( )?函数单调性法? 致.(?,? 4 7 B.? 4 7 ,+) C. 2 233 ,+) .(?,? 3 2 2 3 以 以?函数y称x+x21的值域是( )?换元法? ?配方法? 致.(?,令 B.(?,?令 C.R .令,+) 令 令?函数 f(x)?a x+log a(x+令)在代,令?的最大值和最小值之和? a,则 a 的值?( )? 致. 4 1 B. 2 1 C.以 .巧 以 以?函数 y?log以x+logx(以x)的值域是( ) ? 致.(-,-令 B.左,+) C.-令,左 .(-,-令?左,+) 左 左?已知 f(x)是奇函数,且当 x?代 时,f(x)?x 以+左x+以.若当 x令,左时,n?f(x)?m 恒?立,则 m-n 的最 小值?( ) 致. 4 9 B.以 C. 4 3 . 4 1 巧 巧?把长? 令以 化m 的细铁?截?两段,各自围?一个?角形,那?这两个?角形面?之和的最小值是 ( ) 致. 2 33 化m 以 B.巧 化m以 C. 23 化m 以 . 32 化m 以 5 5?在区间令.5,左?,函数 f(x)?x 以+bx+化 ?函数 1 1 )( += x xxg同时取到相同的最小值,则函数 f(x) 在区间令.5,左?的最大值?( ) 致.8 B.6 C.5 .巧 6 6?若方程 x 以+ax+b?代 有?小于 以 的实根,则 a以+b以的最小值?( ) 致.左 B. 5 16 C. 5 17 . 5 18 7 7?函数 = = 19 1 |)( n nxxf的最小值?( ) 致.令9代 B.令7令 C.9代 .巧5 8 8?设 a?令,函数 f(x)?logax 在区间a,以a?的最大值?最小值之差? 2 1 ,则 a 等于( ) 致.2 B.以 C.22 .巧 9 9?设 a?bR,a 以+以b以?6,则 a+b 的最小值是( ) 致.22 B. 3 35 C.-左 . 2 7 令 令代 代?若?点(x,y)在曲线1 4 2 22 =+ b yx (b?代)?变?,则 x 以+以y 的最大值?( ) 致. + =x x x y ?y称|x+5|+|x-6| ?24 2 +=xxy ?xxy21+= ? 42 2 + = xx x y 令代?设函数 4 1 )( 2 +=xxxf. ?若定?域限制?与代?左成?求)(xf的值域? ?若定?域限制? 1,+aa时?)(xf的值域? 16 1 , 2 1 ?求a的值. 令令?若函数 1 2 )( 2 2 + + = xx axx xf的值域?与?以?以成?求a的值. 一?选择题 令?若函数y?以 x的定?域是 P?令,以,左?则该函数的值域是 ( ) 致?以,巧,6 B?以,巧,8 C?令,以?log左以 ?令,以?log以左 以?定?在 R ?的函数y?f(x)的值域?与a?b成?则y?f(x?令)的值域? ( ) 致?与a?b成 B?与a?令?b?令成 C?与a?令?b?令成 ?无法确定 左?函数y? x x 以?x?令(x代)的值域是 ( ) 致?(代?) B?(代?令 左) C?(代?令 左成 ?与令 左?) 巧?函数y?x 以?以x?左 在区间与代?m成?有最大值 左?最小值 以?则 m的取值范围是( ) 致?与令?) B?与代,以成 C?(?以成 ?与令,以成 5?若函数y?f(x)的值域是与令 以?左成?则函数 F(x)?f(x)? 令 f(x)的值域是( ) 致?与令 以?左成 B?与以?令代 左 成 C?与5 以? 令代 左 成 ?与左?令代 左 成 6?(以代代9海南/宁夏高考)用 m东na?b?化表示a?b?化?个数中的最小值?设f(x)?m东n以 x?x?以,令代 ?x(x?代)?则f(x)的最大值? ( ) 致?巧 B?5 C?6 ?7 二?填空题(?小题 5 ?共 以代 ?) 7?函数y?以x?5 x?左 的值域是y|y?代 或y?巧?则?函数的定?域? 8?已知f(x)的值域是与左 8? 巧 9成?g(x)?f(x)? 令?以f(x)?则 y?g(x)的值域是? 9?函数f(x)?x 以?以x?以 x 以?5x?巧的最小值? 令代?(以代代9泉州质检)在实数的?算法则中?们补充定?一种新?算?“?如?当a?b时?a“b?a? 当a积b时?a“b?b 以?则函数 f(x)?(令“x)x?(以“x)?(x与?以,以成)的最大值是? ?答答案案? 令?解析?由题意得?当x?令 时?以 x?以?当 x?以 时?以 x?巧?当 x?左 时?以 x?8?即函数的值域?以,巧,8? 故应选 B. 答案?B 以?解析?函数y?f(x?令)的图象是由函数y?f(x)的图象向?移 令 个单位得到的?值域?改变? ?值域? 与a?b成?故应选 致. 答案?致 左? 解析? 由y? x x 以?x?令(x代)得 代积y? x x 以?x?令? 令 x?令 x?令 ? 令 以x令 x?令 ?令 左? 因?该函数的值域是(代? 令 左成? 选 C. 巧?解析?x?令 时?y取最小值 以?y?左?得x?代 或x?以.故 令?m?以. 答案? 5?解析?吧?f(x)?则吧与令 以?左成?F(吧)?吧? 令 吧?根据?图象? 知? 当吧?令 时?F(x)m东n?F(吧)m东n?F(令)?以? 当吧?左 时?F(x)max?F(吧)max?F(左)?令代 左 ? 故?值域?与以?令代 左 成? 答案?B 6?解析? 以 x?x?以x 令积代(舍)或x以?以? ? 以 x?令代?x 即 以 x?x?令代?则 以积x积左. 则?知f(x)的大?图象如图 以 所示? 故f(x)?6?即选 C. 答案?C 7?解析?y?以x?5 x?左 ?以? 令 x?左? 即 令 x?左?以 或 令 x?左?以? 由 令 x?左?以 5 以?x积左? 由 令 x?左?以左积x? 7 以. 答案?与 5 以?左)?(左? 7 以成 8?解析?f(x)与左 8? 巧 9成?则 以f(x)与 左 巧? 8 9成? 令?以f(x)与令 9? 令 巧成? ?吧? 令?以f(x)与令 左? 令 以成? 则f(x)?令?吧 以 以 ?g(x)?令?吧 以 以 ?吧? 即g(x)?吧 以?以吧?令 以 ?对?轴吧?令? g(x)在吧与令 左? 令 以成?单调递增?g(x)与 7 9? 7 8成?答案?与 7 9? 7 8成 9?解析?由 x 以?以x?代 x 以?5x?巧?代 x?以或x?代? x?巧或x?令? ?x?巧 或x?代. 又x与巧? ?)时?f(x)单调递增f(x)?f(巧)?令?以 以? 而x(? 代成时?f(x)单调递?f(x)?f(代) ?代?巧?巧. 故最小值? 令?以 以. 答案?令?以 以 令代?解析? ?拓拓展展练练? 一?选择题 令.函数y?x 以?以x 的定?域?代,令,以,左?那?值域? ( ) 致. ?令,代,左 B.代,令,以,左 C.y|?令?y?左 .y|代?y?左 以.若函数f(x)?(a 以?以a?左)x以?(a?左)x?令 的定?域和值域都? R?则 a的取值范围是( ) 致.a?令 或a?左 B.a?令 C.a?左 .a?在 左.已知函数f(x)?lg(巧?x)的定?域?g(x)? 代.5 x?巧的定?域? ?则?( ) 致. B. C.x|以?x积巧 .x|?以?x积巧 巧.(以代代9江西高考)函数y? ?x 以?左x?巧 x 的定?域? ( ) 致.与?巧,令成 B.与?巧,代) C.(代,令成 .与?巧,代)?(代,令成 5.若函数f(x)的值域?与令 以?左成?则函数 F(x)?f(x)? 令 f(x)的值域是 ( ) 致.与令 以?左成 B.与以? 令代 左 成 C.与5 以? 令代 以 成 .与左?令代 左 成 6.(以代令代南通模拟)若函数y?f(x)的值域是与令,左成?则函数F(