自动控制原理第2章课后习题及解答.pdf

- 12 - 第 2 章习题及解答 2-1 建立图 2-32 所示各机械系统的微分方程 （其中)(tF为外力，)(tx、)(ty为位移； k为弹性系数，f为阻尼系数，m为质量；忽略重力影响及滑块与地面的摩擦） 。 图 2-32 系统原理图 解. （a）以平衡状态为基点，对质块m进行受力分析（不再 考虑重力影响） ，如图解 2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 2 2 )()( dt yd m dt dy ftkytF= 整理得 )( 1 )( )()( 2 2 tF m ty m k dt tdy m f dt tyd =+ （b）如图解 2-1(b)所示， 取 A,B 两点分别进行 受力分析。对 A 点有 )()( 1 11 dt dy dt dx fxxk= （1） 对 B 点有 yk dt dy dt dx f 2 1 )(= （2） 联立式（1） 、 （2）可得： dt dx kk k y kkf kk dt dy 21 1 21 21 )(+ = + + (c) 如图解 2-1(c)所示，取 A,B 两点分别进行受力分析。对 A 点有 2 2 )()( dt xd myxktF= (3) - 13 - 对 B 点有 2 2 )( dt yd myxk= （4） 联立式（3） 、 （4）消去中间变量x可得 42 422 2 ( ) d yK d yK F t dtm dtm += 2-2 应用复数阻抗方法求图 2-33 所示各无源网络的传递函数。 R1 C R2ur(t)uc(t) R C ur(t)uc(t) C R R2 R1 C L ur(t)uc(t) （a） （b） （c） 图 2-33 无源网络 解.(a) 应用复数阻抗概念可写出 )()( 1 1 )( 1 1 sUsI cs R cs R sU cr + + = （1） 2 ( ) ( ) c Us I s R = （2） 联立式（1） 、式（2） ，可解得 CsRRRR CsRR sU sU r c 2121 12 )1 ( )( )( + + = 微分方程为 r r c c u CRdt du u RCR RR dt du 121 21 1 += + + (b) 由图解 2-2（b）可写出 1 ( )( )( )( ) rRRC UsRIsIsIs Cs =+ （3） 1 ( )( )( ) CRC IsRIsRIs Cs = （4） 1 ( )( )( )( ) CcRC UsIs RIsIs Cs =+ （5） 图解 2-1(c) 图解 2-2（b） - 14 - 联立式（3） 、式（4） 、式（5） ，消去中间变量)(sIC和)(sIR，可得 13 12 )( )( 222 222 + + = RCssCR RCssCR sU sU r c 微分方程为 r rr c cc u RCdt du CRdt du u RCdt du CRdt du 222 2 222 2 1213 +=+ (c) 由图解 2-2（c）可写出 11222 ( )( )( )()( ) r UsR I sIsLsR Is=+ (6) )()()( 1 221 sIRLssI Cs += (7) )()( 22 sIRsUc= (8) 联立式（6） 、 （7） 、 （8） ，消去中间变量)( 1 sI和)( 2 sI，可得 )()()( )( 2121 2 1 2 RRsCRRLLCsR R sU sU r c + = 微分方程为 2 12122 2 111 cc cr duduLR R CRRR uu dtR LCdtR LCR LC + += 2-3 证明图 2-34 (a) 所示的力学系统和图 2-34 (b) 所示的电路系统是相似系统 （即 有相同形式的数学模型） 。 图 2-34 系统原理图 解 (a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图解2-3(a)所示。对A点有 )()()( 1122 yyfyxfyxk=+ (1) 图解 2-2(c) - 15 - 对 B 点有 1111 )(ykyyf= (2) 对式（1） 、式（2）分别取拉普拉斯变换， 消去中间变量 1 y，整理后得 )( )( sX sY = 1)( 1)( 1 2 2 2 1 12 21 21 2 2 1 12 21 21 + + s k f k f k f s kk ff s k f k f s kk ff (b) 由图可写出 sC R sUc 2 2 1 )( + = 1 1 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 r Us R C s R C s R C s + + 整理得 )( )( sU sU r c = 1)( 1)( 212211 2 2121 2211 2 2121 + + sCRCRCRsCCRR sCRCRsCCRR 比较两系统的传递函数，如果设 11 1 kR =， 22 1 kR =， 11 fC =， 22 fC =，则两系统 的传递函数相同，所以两系统是相似的。 2-4 如图 2-35 所示，二极管是一个非线性元件，其电流 d i和电压 d u之间的关系为 14 0.026 10(1) d u d ie =，假设电路在工作点(0)2.39uV=， 3 (0)2.19 10iA =处做微小变 化，试推导() dd if u=的线性化方程。 解 将 3 (0)2.19 10iA =代入) 1(10 026. 0/14 = d u d ei 解得 Vud679 . 0 0 = 将) 1(10 026 . 0 /14 = d u d ei在( 0d u， 0 i)处展开为泰勒级数， 并取一次近似，有 d u dd ueiiii d +=+= 026 . 0 /14 00 0 026 . 0 1 10 0/0.026 14 1 100.085 0.026 d u ddd ieuu = 图解 2-3(a) 图 2-35 二极管电路 - 16 - 即在( 0d u， 0 i)附近)( dd ufi =的线性化方程为0.085 dd iu=。 2-5 假设某容器的液位高度h与液体流入量 r Q满足方程 r Q S h Sdt dh1 =+ ，式中S 为液位容器的横截面积，为常数。若h与 r Q在其工作点),( 00 hQr附近做微量变化，试 导出h关于 r Q的线性化方程。 解 将h在 0 h处展开为泰勒级数并取一次近似 h h hh dt hd hh h +=+= 0 00 2 1 | 0 （1） 代入原方程可得 )( 1 ) 2 1 ( )( 0 0 0 0 rr QQ S h h h Sdt hhd +=+ + （2） 在平衡工作点处系统满足 0 00r dh ShQ dt += （3） 式(2） ，(3)相减可得h的线性化方程 r Qh hdt hd S=+ 0 2 2-6 图 2-36 是一个单摆运动的示意图。图中，l为摆杆长 度，为摆角，摆锤质量为m。试建立单摆系统的微分方程，并 将其线性化。 解 由图 2-36，根据牛顿定律，在不施加外力的情况下，可写 出单摆的运动方程： 2 2 2 sin0 d mlmgl dt +=，即 2 2 sin0 dg dtl += 将上式中非线性项sin在平衡点0 0 =附近进行泰勒级数展开， 取一次近似有 0 000 sin sinsin|sincos d dt =+=+ 将0 0 =代入上式，得： 0 sinsin= 。代入原方程可得线性化后的单摆方程 图 2-36 单摆系统 - 17 - 2 2 0 dg dtl += 2-7 求图 2-37 所示各信号)(tx的像函数)(sX。 图 2-37 信号图 解 （a） )(2)( 0 tttx+= )(sX= st e ss 0 2 12 + （b） 11 ( )1 1(1)(1)2 1(3)(3) 22 x ttttt= + 3 22 11 ( )()(2) 22 ss ee X sss ss =+ （c） )()()()( 321 ttcttcbttabatx+= )(sX= )()( 1 321 ststst ceecbeaba s + （d） )(tx= )( 4 ) 2 ( 4 ) 2 ( 44 2222 Tt T T t T T t T t T + )21 ( 4 )( 2 22 Ts s T ee sT sX += 2-8 求下列各拉普拉斯变换式的原函数。 (1) 1 )( = s e sX s (2) 2 2 ( ) 9 X s s = + - 18 - (3) )3()2( 1 )( 3 + = sss sX (4) )22( 1 )( 2 + + = sss s sX 解 (1) 1 )( = t etx (2) 原式 = 22 23 33s + ttx3sin 3 2 )(= (3) 原式 32 11311 2(2)4(2)8(2)243(3)sssss + + x（t） 24 1 3 1 8 3 44 3222 2 + tttt eee t e t (4) 原式 1) 1( 1 2 1 1) 1( 1 2 1 2 1 22 2 1 2 1 222 + + + + = + ss s sss s s )(tx )cos(sin 2 1 2 1 tte t + 2-9 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 tt eetc += 2 21)(，试求系统 的传递函数和脉冲响应。 解 单位阶跃输入时，有 s sR 1 )(=，依题意 sss s sss sC 1 )2)(1( 23 1 1 2 21 )( + + = + + + = )2)(1( 23 )( )( )( + + = ss s sR sC sG tt ee ss LsGLtk = + + + = 211 4 2 4 1 1 )()( - 19 - 2-10 已知系统传递函数 23 2 )( )( 2 + = sssR sC ， 且初始条件为1)0(=c，0)0(= c ， 试求系统在输入)( 1)(ttr=作用下的输出)(tc。 解 系统的微分方程为 )(2)(2 )( 3 )( 2 2 trtc dt tdc dt tcd =+ （1） 考虑初始条件，对式（1）进行拉普拉斯变换，得 s sCssCssCs 2 )(23)(3)( 2 =+ （2） 2 2 1 41 )23( 23 )( 2 2 + + + = + + = ssssss ss sC tt eetc 2 241)( += 2-11 求图 2-38 所示各有源网络的传递函数 )( )( sU sU r c 。 图 2-38 有源网络 解 (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出 1 2 )( )( R R sU sU r c = (b) 2 21122 12 1 1 1 1 1 ( )(1)(1) 1 ( ) 1 c r R UsC sRC sR C s UsRC s R C s R C s + + = = + - 20 - (c) )1 ( 1 1 )( )( 21 2 1 2 2 CsRR R R Cs R Cs R sU sU r c + = + = 2-12 某位置随动系统原理框图如图 2-39 所示， 已知电位器最大工作角度 m Q330 0， 功率放大器放大系数为 3 k。 （1） 分别求出电位器的传递函数 0 k，第一级和第二级放大器的放大系数 1 k， 2 k； （2） 画出系统的结构图； （3） 求系统的闭环传递函数( )( ) cr Q sQ s。 图 2-39 系统原理框图 解 (1) 电位器的传递函数 0 0 0 30180 11 330 180 m E k Q = 根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为 3 1 3 30 10 3 10 10 k = = ， 3 2 3 20 10 2 10 10 k = = (2) 可画出系统结构如图解 2-12 所示： 图解 2-12 系统结构图 - 21 - (3) 0 123 230 123 ( )(1) ( ) 1 1(1) m cm mtm r mm k k k k k Q ss T s k k k kk k k k k Q s T ss T s + = + + 2 23 0 1230 123 1 1 1 mmt mm Tk k k k ss k k k k kk k k k k = + + 2-13 飞机俯仰角控制系统结构图如图 2-40 所示，试求闭环传递函数 )( )( sQ sQ r c 。 图 2-40 飞机俯仰角控制系统结构图 解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数 68 . 0 )42 . 0 18. 1 ()7 . 09 . 0( )6 . 0(7 . 0 )( )( 23 + + = sKsKs s sQ sQ r c 2-14 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数 )( )( sR sC 。 = = = = )()()( )()()()()( )()()()()( )()()()()()()( 34 3523 36122 87111 sXsGsC sGsGsCsXsX sXsGsXsGsX sCsGsGsGsRsGsX 解 系统结构图如图解 2-14 所示。 利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为 8432174321543632 4321 1)( )( GGGGGGGGGGGGGGGG GGGG sR sC + = - 22 - 图解 2-14 系统结构图 2-15 试用结构图等效化简的方法，求图 2-41 所示各系统的传递函数 )( )( sR sC 。 图 2-41 系统结构图 解 结构图的集效化简分别如图解 2-15（a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）所示。 （a） 所以 HG GG sR sC 2 21 1)( )( = - 23 - （b） 所以 3213221 321 1)( )( GGGGGGG GGG sR sC + = （c） 所以 2441321232121 41321 1)( )( HGGGGGGHGGHGG GGGGG sR sC + + = - 24 - （d） 所以 23212121 321 4 1)( )( HGGHGHGG GGG G sR sC + += 2-16 试绘制图 2-42 所示系统的信号流图，求传递函数 )( )( sR sC 。 图 2-42 系统结构图 解 系统的信号流如图解 2-16 所示。 图解 2-16 信号流图 1234 34123212343 ( ) ( )1 GG G GC s R sG G HG G HGG G G H = + - 25 - 2-17 绘制图 2-43 所示信号流图对应的系统结构图，求传递函数 5 1 ( ) ( ) Xs X s 。 图 2-43 系统信号流图 解 系统结构图如图解 2-17 所示。 图解 2-17 系统结构图 5122334451224451225344344 12332443443244332233244 ( )(1) ( )1 Xsa a a aa a aa aa aa X sa aaa aa a aa a a + = + 2-18 应用梅逊增益公式求题 2-15 中各结构图对应的闭环传递函数。 解 （a）图中有 2 条前向通路，1 个回路 11122212 11PGPGLG H= = =， 1 1L= HG GGPP sR sC 2 212211 1)( )( = + = （b）图中有 1 条前向通路，3 个回路 ， 21113211 1GGLGGGP= 2233123123 1 ()LG GLGG GLLL= = = +， 则有 3213221 32111 1)( )( GGGGGGG GGGP sR sC + = = （c）图中有 2 条前向通路，5 个回路 ，11 241213211 =GGPGGGP ， 414321323221211 GGLGGGLHGGLHGGL= - 26 - 54212345 1 ()LG HLLLLL= = +， 则有 2441321232121 413212211 1)( )( HGGGGGGHGGHGG GGGGGPP sR sC + + = + = （d）图中有 2 条前向通路，3 个回路 ，= 24213211 1GPGGGP 11212213232123 1 ()LGG HLG HLG G HLLL= = = = +， 则有 23212121 321 4 11 2 211 1)( )( HGGHGHGG GGG G P P PP sR sC + += += + = 2-19 应用梅逊增益公式求图 2-44 中各系统的闭环传递函数。 图 2-44 系统结构图 解 （a）图中有 1 条前向通路，4 个回路 1 143211 =，GGGGP )(1 43212434 443213332121321 LLLLHGGL HGGGGLHGGGLHGGL += = ， ， 则有 243443213321132 432111 1)( )( HGGHGGGGHGGGHGG GGGGP sR sC + = = （b）图中有 2 条前向通路，3 个回路，有 1 对互不接触回路 ， 111243213211 111HGLGGPGGGP+= ， 3213213332111 HHHGGGLHGLHGL= - 27 - 12312 1 ()LLLL L = + 则有 33113213213311 11433212211 1 )1 ( )( )( HGHGHHHGGGHGHG HGGGGGGPP sR sC + + = + = （c）图中有 4 条前向通路，5 个回路 ， 1242321211 GGPGPGGPGP= ， 2151242321211 GGLGGLGLGGLGL= 12341234 11 ()LLLL = = = = = +， 则有 + = 44332211 )( )(PPPP sR sC 2121 2121 21122211 122211 31 2 1GGGG GGGG GGGGGGGG GGGGGG + + = + + = （d）图中有 2 条前向通路，5 个回路 ，11 2321211 =GPGGP ， 22135342132212121 HGHGLGLGGLHGGLHGL= 12345 1 ()LLLLL = + 则有 + = 2211 )( )(PP sR sC 221332122112 321 1HGHGGGGHGGHG GGG + + = 2-20 已知系统的结构图如图 2-45 所示，图中，)(sR为输入信号，)(sN为干扰信 号，求传递函数 )( )( sR sC ， )( )( sN sC 。 图 2-45 系统结构图 解（a）令0)(=sN，求 ( )( )C sR s。图中有 2 条前向通路,3 个回路，有 1 对互不接 - 28 - 触回路。 ，HGLGGPGGP 2123121211 111+= ， 31321221 GGLGGLHGL= 12313 1 ()LLLL L = + 则有 HGGGGGGGHG HGGGGGPP sR sC 32131212 231212211 1 )1 ( )( )( + + = + = 令0)(=sR，求 )( )( sN sC 。有 3 条前向通路，回路不变。 ，111 22142111 =GGGPLP ， 133143 1LGGGP= 12313 1 ()LLLL L = + 则有 HGGGGGGGHG HGGGGGGGHGPPP sN sC 32131212 23142142332211 1 )1 (1 )( )( + + = + = （b）令0)(0)( 21 =sNsN，求 )( )( sR sC 。图中有 1 条前向通路，1 个回路。 1111 2(1) 11 22 KsK s PLL ss + = = = + ， 则有 ) 1(2) 12()( )( 11 + = = KsK KsP sR sC 令0)(0)( 2 =sNsR，求 )( )( 1 sN sC 。图中有 1 条前向通路，回路不变。 11 1Ps= =， 则有 ) 1(2) 12( )2( )( )( 11 1 + + = = KsK ssP sN sC 令0)(0)( 1 =sNsR，求 )( )( 2 sN sC 。图中有 1 条前向通路，回路不变。 11 2 1 2 K P s = = + ， - 29 - 则有 ) 1(2) 12( 2 )( )( 11 2 + = = KsK KP sN sC （c）令0)(=sN，求 )( )( sR sC 。图中有 3 条前向通路，2 个回路。 ，111 3421324321421 =GGGPGGPGGP 12423412 1 ()LG GLG GLL= = = +， 则有 4342 4214342332211 1)( )( GGGG GGGGGGGPPP sR sC + + = + = 令0)(=