广西大学现代控制理论期末考试题库之计算题含答案.pdf

第一类分析与计算题： 1-1、根据机理建立系统模型并进行分析、设计(46 分) 如图，RLC 电路(为计算方便，取 R=1.5，C=1F，L=0.5H)，u是输入电源电压， c u是 C 两端电压，i 是流经 L 的电流。以u为输入， c u为输出。完成以下工作： (1)建立状态变量表达的状态空间模型。(5 分) (2)画出模拟结构图。(3 分) (3)写出系统的传递函数。(3 分) (4)引入变换阵，将建立的状态空间模型转化成能最简耦合形。(5 分) (5)设输入为单位阶跃信号，求系统的状态响应与输出响应。(7 分) (6)求平衡点，并利用 Lyapunov 第二法判定其稳定性。(7 分) (7) 判定系统的能控性，若能控，利用状态反馈，将系统的极点配置到-2 和-3。(8 分) (8) 判定系统的能观性，若能观，设计全维观测器，观测器的极点为-6 和-8。(8 分) R C L i uc + - u 解：(1)根据 VAR 和 KVL 可以建立模型： C d (VAR) d u Ci t (1 分) C d (KVL) d i LRiuu t (1 分) 选择 1C2 ,xuxi 11 22 1 2 010 11 10 xxC u xxLR LL x y x (2 分) 代入 R=1.5，C=1F，L=0.5H，得 11 22 1 2 010 232 10 xx u xx x y x (1 分) (2) 画出模拟结构图为 -3 -2 + + + u 1 x 2 xy 2 (3 分) (3)第一种方法，根据(1)中建立的微分方程，可得 CCC 11R uuuu LLCLC 拉氏变换，并代入 R=1，C=1F，L=1H，得到 C 22 ( )1/2 ( ) ( )(/)1/32 usLC G s u ssR L sLCss (3 分) 第二种方法：由(1)中建立的状态空间模型，得 1 2 2 ( )() 32 G ss ss cAbI(3 分) (4)定出系统特征值和特征向量。系统的特征值为 12 = 1=2(1 分) 可定出一组特征向量为 12 11 = 12 ，(1 分) 构造变换阵并求逆 1 12 112 1 1211 PP(1 分) 计算变换后系数矩阵 11 102 11 022 APAPbPbccP，(2 分) 最简耦合形 11 22 1 2 102 022 11 xx u xx x y x (5)先求( ) t 22 1 222 02 ( )= 0222 ttttt t ttttt eeeee te eeeee A PP(3 分) 设初始条件为零，初始时刻 0 0t ，输入为单位阶跃信号时，则系统的状态响应为 0 ( )( ) (0)( )( ) t tttudxxb 22()2() 1 22()2()0 2 22 12 22 12 (0)222 ( ) (0) 22224 (2)(0)()(0)12 ( 22)(0)(2)(0) tttttt t tttttt tttt tttt xeeeeee td x eeeeee eexeexe eexeex x 2 2 22 tt tt e ee (2 分) 初始条件为零，即(0)0x，则系统的状态响应仅取决于控制作用的激励部分，即 2 1 2 2 ( )12 ( ) ( ) 22 tt tt tee t t ee x x x (2 分) 系统的输出响应为 2 2 2 12 ( )( )1012 22 tt tt tt ee y ttee ee cx(2 分) (6)齐次方程为： 12212 =-23xxxxx，。易知，原点0 e x 是系统唯一的平衡状态(1 分)，选取标准二次型函 数为李亚普诺夫函数，即 22 12 ( )20V xxx(1 分) 则有 2 1 12 22 ( )42=-6V xx xx xx(1 分) 当 12 =0=0( )0xxV x ，； 当 12 0=0( )0xxV x， 因此( )V x为半负定， 同时( )V x在状轨线上不总为 0(2 分)。根据 Lyapunov 判据，可知该系统在李亚普诺夫意义下是稳定的(1 分)。又因为 12 0=0( )xxV x ，恒 为零，且x 时，有( )V x ，故系统在原点大范围渐进稳定。(1 分) (7)用约旦标准形来判别能控性 102 022 Ab， 所以系统能控。(2 分) 用判别矩阵来判别能控性 0202 = 2626 bAbMM，rank()=2 所以系统能控。(2 分) 系统能控，所以可以通过状态反馈任意配置极点。加入状态反馈阵 01 kkK，闭环系统特征多项 式为 2 10 det3222fkk IAbK(2 分) 根据给定的极点值，得到期望特征多项式 *2 (2)(3)56f(2 分) 比较 * ff与各项对应系数，可解得 01 =-2= 1kk，。(2 分) (8) 用约旦标准形来判别能观性 10 ,11 02 Ac，对应输出矩阵没有全零列，所以系统能观。(2 分) 用判别矩阵来判别能观性。 10 10 ,= 0 1 , 01 ccANNrank()=2所以系统能观。(2 分) 系统能控，所以可以构造观测器。 引入反馈阵 1 2 g g G，得到观测器特征多项式 2 112 det323fggg IAGc(2 分) 根据期望极点得到期望特征式 *2 (6)(8)1448f(1 分) 比较 * ff与得 12 =11=13gg，。(2 分) 观测器方程为 111011 153213 uy uy xAGc xbG x (1 分) 1-2、根据机理建立系统模型并进行分析、设计(46 分) 如下图所示的 RLC 网络(为计算方便，取 R=1/3，C=1F，L=0.5H)。选 1C xu和 2L xi为两个状态变 量，分别选 u 和 R u为输入和输出变量。完成以下工作： (1)建立状态变量表达的状态空间模型。(5 分) (2)画出模拟结构图。(3 分) (3)写出系统的传递函数。(3 分) (4)引入变换阵，将建立的状态空间模型转化成能最简耦合形。(5 分) (5)设输入为单位阶跃信号，求系统的状态响应与输出响应。(7 分) (6)求平衡点，并利用 Lyapunov 第二法判定其稳定性。(7 分) (7) 判定系统的能控性，若能控，利用状态反馈，将系统的极点配置到-2 和-3。(8 分) (8) 判定系统的能观性，若能观，设计全维观测器，观测器的极点为-6 和-8。(8 分) C L + - + uc - uR iL + uR - 解：解： （1） 112 21 1 () / R CxuxRx Lxux uux ，即 111 222 1/1/1/ ,10 1/01/ R xxxRCCRC uuu LxxLx 代入数据可得 11 22 1 2 313 202 10 R xx u xx x uu x （2） 1 3 2 2 3 u 1 x1 x 2 x 2 x R u （3） 1 2 32 32 s G ss ss cIAb （4）定出系统特征值和特征向量。系统的特征值为 12 =2= 1 可定出一组特征向量为 11 = 1 2 P， 1 2-1 -1 1 P 11 204 -1-1 011 APAPbPbccP， 最简耦合形为 11 22 1 2 204 011 11 xx u xx x y x （5） 0 222 11 0 2222 22 0d 0003 0d 2 000 2022 0 22201 t tt tt t tt tttttt tttttt teee eee eee eeeeee eeeeee AAA xxbu PPxPP xP 222 222 212 0 22222 tttttt tttttt eeeeee eeeeee x 初始条件为零，即(0)0x，则系统的状态响应仅取决于控制作用的激励部分，即 2 2 2 12 ( )( )1012 22 tt tt tt ee y ttee ee cx （6）其次方程为 112 21 3 2 xxx xx 显然远点为系统的唯一平衡点。选李雅普诺夫函数： 22 12 20Vxxx 则有 2 1 12 21 42120Vx xx xx x且不恒等于零， 故平衡状态是渐近稳定的。 又x 时， Vx， 故系统是大范围渐近稳定的。 （7）因为 3737 , rank2 2626 bAbMM，故系统可控。 1 37 24 13 24 M，取其第二行， T 2 13 24 M，所以 T 2 T 2 13 24 1 0 2 M P MA ， A的特征式为 2 det32sssIA 期望特征多项式为 2 2356ssss 求k，42k，则 13 24 4223 1 0 2 kkP （8） 10 10 ,31 , rank2 31 ccANN，故系统能观。 引入反馈阵 1 2 g g G，得到观测器特征多项式 12 12 2 31 320 2 g gg g IAGc 要求观测器特征方程为 2 14480 所以， 12 11,46gg 因此观测器方程为 111311 480246 uy uy xAGc xbG x 第二类第二类分析与计算题： 2-1、系统的结构特性分析与可综合性分析(18 分) 已知线性定常系统： 1100 0102,01 1 0021 uy xxx (1) 分析判别其能控性和能观性。(4 分) (2) 若系统不能控按能控性分解；若系统不能观，按能观性分解。并在表达式中画线标注。(5 分) (3) 写出该系统的对偶系统，该对偶系统的能控性与能观性如何？(3 分) (4) 分析该系统能否采用状态反馈实现系统镇定。(3 分) (5) 分析该系统是否可以设计观测器。(3 分) 解：(1) 可以采用两种方法判定稳定性 第一种方法据 Jordan 形判据直接判定： 显然 A 矩阵是 Jordan 块形式， 系统有两个特征值-1 和-2， 根据 Jordan 标准型系统的能控性和能观性判别准则： i.由于与-1 特征值对应的 Jordan 块最后一行相对应，B 矩阵中的行不为 0，所以给定的线性系统是能 控的。(2 分) ii.而由于与-2 特征值对应的 Jordan 块第一列相对应，C 矩阵中的列为 0，所以给定的线性系统是不能 观的。(2 分) 所以该系统能控不能观。 第二种方法据矩阵秩判据： 2 co 2 024011 rank()rankrank 2223,rank()rankrank 0122 124014 C QBABA BQCA CA 所以该 系统能控不能观。(4 分) (2)按能观性进行分解 引入变换xRx，构造变换阵： 1 011001 012 ,210 100110 RR (2 分) 由此，得 11 0103 230 ,4 ,100 2110 ARARBR BCCR (3 分) 给定系统分解为二维能观子系统和一维不能观子系统，在表达式中划线。(1 分分) (3)该系统的对偶系统为 TTT ddd ,AABCCB(2 分)。由对偶原理，知对偶系统是不能控能观的。(1 分) (4) 该系统是完全能控的，因此能采用状态反馈来实现闭环系统极点的任意配置，所以一定能采用状态反 馈实现系统镇定。(3 分) (5)由于该系统不可观的部分是渐近稳定的，所以该系统的观测器是存在的。(3 分) 2-2、系统的结构特性分析与可综合性分析(18 分) 已知线性定常系统： 0011 1031,011 0130 uy xxx (1) 判别其能控性和能观性。(4 分) (2) 若系统不能控按能控性分解；若系统不能观，按能观性分解。并在表达式中画线标注。(5 分) (3) 写出该系统的对偶系统，该对偶系统的能控性与能观性如何？(3 分) (4) 分析该系统能否采用状态反馈实现系统镇定。(3 分) (5) 分析该系统是否可以设计观测器。(3 分) 解：(1)据矩阵秩判据： 2 co 2 101011 rank()rankrank 1132,rank()rankrank1103 012102 C QBABA BQCA CA 所以该系统不能控能观。(4 分) (2)系统按能控性分解 引入变换xRx，构造变换阵： 100 110 011 R， 1 100 110 111 R(2 分) 由此，得 1 011 122 001 ARAR， 1 1 0 0 BR B， 101CCR(2 分) 给定系统分解为二维能控子系统和一维不能控子系统，在表达式中划线。(1 分分) (3)该系统的对偶系统为 TTT ddd ,AABCCB(2 分)。由对偶原理，知对偶系统是能控不能观的。(1 分) (4) 该系统是不完全能控的，但由于该系统的特征值均是-1，故不能控的部分是渐近稳定的。 因此能采用状态反馈实现系统镇定。(3 分) (5)由于该系统是可观的，所以其观测器一定存在。(3 分) 2-3、系统的结构特性分析与可综合性分析(18 分) 已知线性定常系统： 2101 0202,021 0034 uy xxx (1) 判别其能控性和能观性。(4 分) (2) 若系统不能控按能控性分解；若系统不能观，按能观性分解。并在表达式中画线标注。(5 分) (3) 写出该系统的对偶系统，该对偶系统的能控性与能观性如何？(3 分) (4) 分析该系统能否采用状态反馈实现系统镇定。(3 分) (5) 分析该系统是否可以设计观测器。(3 分) 解(1)判别方法 1：显然 A 矩阵是 Jordan 块形式，系统有两个特征值-2 和 3，根据 Jordan 标准型系统的能 控性和能观性判别准则： i.由于与-2 特征值对应的 Jordan 块最后一行相对应，B 矩阵中的行不为 0，所以给定的线性系统是能 控的。(2 分) ii.而由于与-2 特征值对应的 Jordan 块第一列相对应，C 矩阵中的列为 0，所以给定的线性系统是不能 观的。(2 分) 判别方法 2：利用能控和能观矩阵秩判所据： 2 co 2 104021 rank()rankrank 2483,rank()rankrank 0432 41236089 C QBABA BQCA CA 所以该系统能控不能观。(4 分) (2)按能观性分解 引入变换xRx，构造变换阵： 1 021 043 100 R， 001 0.30.10 0.40.20 R (2 分) 由此，得 1 010 610 0.30.12 ARAR， 1 8 4 1 BR B，100CCR(2 分) 给定系统分解为二维能观子系统和一维不能观子系统，在表达式中划线。(1 分) (3) 该系统的对偶系统为 TTT ddd ,AABCCB(2 分)。由对偶原理，知对偶系统是不能控能观的。(1 分) (4)该系统是完全能控的，因此能采用状态反馈来实现闭环系统极点的任意配置，所以一定能采用状态反馈 实现系统镇定。(3 分) (5)由于该系统不可观的部分是渐近稳定的，所以该系统的观测器是存在的。(3 分) 2-4、系统的结构特性分析与可综合性分析(18 分) 已知线性定常系统： 2101 0200,101 0034 uy xxx (1) 判别其能控性和能观性。(4 分) (2) 若系统不能控按能控性分解；若系统不能观，按能观性分解。并在表达式中画线标注。(5 分) (3) 写出该系统的对偶系统，该对偶系统的能控性与能观性如何？(3 分) (4) 分析该系统能否采用状态反馈实现系统镇定。(3 分) (5) 分析该系统是否可以设计观测器。(3 分) 解：(1)判别方法 1：显然 A 矩阵是 Jordan 块形式，系统有两个特征值-2 和 3，根据 Jordan 标准型系统的 能控性和能观性判别准则： i.由于与-2 特征值对应的 Jordan 块最后一行相对应，B 矩阵中的行为 0，所以给定的线性系统是不能 控的。(2 分) ii.而由于与-2 特征值对应的 Jordan 块第一列相对应，C 矩阵中的列不为 0，所以给定的线性系统是能 观的。(2 分) 判别方法 2：利用能控和能观矩阵秩判所据： 2 co 2 124101 rank()rankrank 0002,rank()rankrank2133 41236449 C QBABA BQCA CA 所以给定线性系统不能控能观。(4 分) (2)按能控性分解 引入变换xRx，构造变换阵： 120 001 4120 R， 1 0.600.1 0.200.05 010 R (2 分) 由此，得 1 060.6 11-0.2 00-2 ARAR， 1 1 0 0 BR B，5 100CCR(2 分) 给定系统分解为二维能控子系统和一维不能控子系统，在表达式中划线。(1 分) (3) 该系统的对偶系统为 TTT ddd ,AABCCB(2 分)。由对偶原理，知对偶系统是能控不能观的。(1 分) (4)该系统是完全能控的，因此能采用状态反馈来实现闭环系统极点的任意配置，所以一定能采用状态反馈 实现系统镇定。(3 分) (5)由于该系统不可观的部分是渐近稳定的，所以该系统的观测器是存在的。(3 分) 第三类第三类分析与计算题： 3-1、判别稳定性并分析稳定域(9 分) 已知非线性系统状态方程： 12 2 2112 () xx xxx x (1)平衡点的含义是什么？如何确定该系统的平衡点？并求出平衡点。(3 分) (2)用李雅普诺夫第二法分析平衡点的稳定性，并给出是否大范围稳定的结论。(6 分) 解：(1) 平衡点指静态工作点，它是随着时间的变化保持不变的点(1 分)。依此令 2 2 112 0 ()0 x xx x (1 分) 解得，原点是唯一的平衡点。(1 分) (2)初选 22 12 ( )Vxxx是正定的，(1 分)则有 22 12 ( )2Vx x x是半负定的。(1 分)由于( )V x沿系统的任意非零 解不恒为 0(1 分)， 因此( )V x是李雅普诺夫函数， 即系统是渐近稳定的。 (1 分)而且当x 时， 有( )V x ， 所以系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。(2 分) 3-2、判别稳定性并分析稳定域(9 分) 已知系统状态空间表达式： 21 23 xx (1) 平衡点的含义是什么？如何确定该系统的平衡点？并求出平衡点。(3 分) (2) 用李雅普诺夫第二法判定平衡点的稳定性，并给出是否大范围稳定的结论。(6 分) 解：(1) 平衡点指静态工作点，它是随着时间的变化保持不变的点(1 分)。依此令 21 23 x0(1 分) 解得，原点是唯一的平衡点。(1 分) (2) 取QI，令 ab bc P，李雅普诺夫方程为 T A PPAQ。(1 分)比较矩阵元素得： 44117 / 40 5207 / 40 2619/ 40 aba abcb bcc (3 分) 由于 12 17 400,104/16000 ，根据希尔维斯特判椐知 P 正定，该系统在平衡点处是渐近稳定的(1 分)。又由于系统是线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。(1 分) 3-3、判别稳定性并分析稳定域(9 分) 已知系统状态空间表达式： 11 53 xx (1) 平衡点的含义是什么？如何确定该系统的平衡点？并求出平衡点。(3 分) (2) 用李雅普诺夫第二法判定平衡点的稳定性，并给出是否大范围稳定的结论。(6 分) 解：(1)平衡点指静态工作点，它是随着时间的变化保持不变的点(1 分)。依此令 12 12 0 530 xx xx (1 分) 解得，原点是唯一的平衡点。(1 分) (2)取QI，令 ab bc P，李雅普诺夫方程为 T A PPAQ。(1 分)比较矩阵元素得： 210109/ 2 2501 26101/ 2 aba abcb bcc (3 分) 由于 1 9/ 20 ， 2 5/ 40 ， 根据希尔维斯特判椐知 P 正定， 该系统在平衡点处是渐近稳定的(1 分)。 又由于系统是线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。(1 分) 3-4、判别稳定性并分析稳定域(9 分) 针对下面非线性系统： 1 3 1121 2 212 23 e1 x xxxx x xxx (1)依题及图，分析系统有唯一的平衡点 12 0xx。(3 分) (2)利用 Jacobian 矩阵法判定稳定性， 并说明是否为大范围 稳定。(6 分) 解：(1) 平衡点指静态工作点，它是随着时间的变化保持不变 的点(1 分)。依此令 1 3 121 2 12 230 e10 x xxx x xx (1 分) 由图知，原点是唯一的平衡点。(1 分) (2)计算 Jacobian 矩阵 4 2 21 115x J (1 分) 取 P=I，得 444 222 212142 ( ) 1151152210 T xxx Q xJJ 所以 -15-10-505 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 x1 x2 1 12 e10 x xx 3 121 2 230xxx x 4 2 42 ( ) 2210x Q x(1 分) 由于 1 40 ， 4 22 4400x ，根据希尔维斯特判椐知Q正定(1 分)。因此，系统是渐近稳定的。(1 分)。其 Lyapunov 函数为 1 3 22 121 212 ( )( 23)(e1) x Vxxx xxx x(1 分) 而且经分析(取各种情况的x 的情况，写出相应分析过程)当x 时，有( )V x ，所以系统在坐 标原点处为大范围渐近稳定。(2 分) 3-5、判别稳定性并分析稳定域(9 分) 针对下面非线性系统： 22 11122 22 22121 1 1 xxxxx xxxxx (1)分析系统有唯一的平衡点 12 0xx。(3 分) (2)求系统渐近稳定的稳定域，并在直角坐标系中画出。(6 分) 解：(1)平衡点指静态工作点，它是随着时间的变化保持不变的点(1 分)。依此令 22 1122 22 2121 10 10 xxxx xxxx (1 分) 经分析，解得，原点是唯一的平衡点。(1 分) (2)初选 22 12 ( )Vxxx，(1 分)对其求导，得 2222 1212 21Vxxxx(2 分) 系统渐近稳定， 必有0 V ， 这等价于 22 12 1xx， (2 分)所以系统的稳定域在单位圆内， 如下图所示(1 分)。 1 1 -1 -1 第四类第四类分析与计算题： 4-1、模型分析与求解(10 分) 已知系统的状态空间表达式为 000 01 10 u t y xx x (1)利用基本解理论，分别求两个基本解，并分别对应的计算状态转移矩阵 0 ( , )t t，你发现的什么？(6 分) (2)当T(0)1 1,0xut t时，系统的输出( )y t。(4 分) 解：(1)考虑零输入时的状态方程 1 21 0x xtx (1 分) 采用分离变量法求解，得 110 22 2100 1020 ( )( ) 0.5( )0.5( )( ) x tx t xt x tt x tx t (1 分) 取两组不同的初值T01和T20，可以得到两个线性无关解组成基本解阵 12 22 0 02 ( )( )( ) 1 ttt tt (1 分) 由状态转移矩阵的定义，得 1 00 22 0 10 ( ,)( )( ) 0.50.51 t ttt tt (1 分) 再取两组不同的初值T1 1和T21，又可以得两个线性无关解组成基本解阵 12 2222 00 12 ( )( )( ) 0.50.511 ttt tttt (1 分) 由状态转移矩阵的定义，得 1 00 22 0 10 ( ,)( )( ) 0.50.51 t ttt tt 。这说明状态转移矩阵与基本解阵的 选取无关，它是唯一的。(1 分) (2)依线性连续系统的响应表达式与输出表达式，得 0 22222 0 0 0 10101 10 ( ) 110.50.510.50.510.5 1 t t td tttt y x (4 分) 4-2、模型变换与求解(10 分) 已知定常线性系统 010 ,0 121 ttu tt xx (1)引入非奇异变换，将其变换成 Jordan 形。(5 分) (2)当 1 0,1 0 u tt x时，求状态响应。(5 分) 解：(1)系统的特征值为-1，其代数重数为 2，几何重数为 1。 (2) 1 1 ttt Att ttt etetett ee tt teete 0.5 42 分 (t s) 0 ( )e(0)(s)ds t t x txebu AA 1 22 分 1 0 1分 4-3、模型变换与求解(12 分) 已知如下线性连续定常系统 021 010 10 03 u y xx x (1)引入非奇异变换，将其变换成 Jordan 形。(5 分) (2) 设初始状态(0)1 1 T x，求单位阶跃状态响应和输出响应。(7 分) 解：(1) 2 |(1) 01 AI，特征根1, 0 21 设 01 e t A AI，则 1 2 01 1 01 2 e e t t ，得到 0 1 1 1 t e 100212(e1) e(e1) 0101 0e t tt t A (2) 0 0 ( )e(0)e()d 2e11 d 0 e 2e1 e t t t t t t t tu t t AA xxB (3) 2e1 ( )( ) 3e t t t y tt Cx 4-4、模型变换与求解(10 分) 已知某系统的系统框图如图所示，输入为 u，输出为 y。 3 + - + - U(s)Y(s) 2 3 s 2 2 s 4 (1) (1) 画出该系统的模拟结构图，并写出该系统的状态空间表达式。(5 分) (2) 计算状态转移矩阵。(5 分) 解：(1) 系统模拟结构图为(3 分) 2 3 4 3 2 2 u(t) + - + + - 1 x 1 x 2 x 2 x y(t) 0100 6020,100 12023 xxuyx (2 分) (2) 4-5、模型变换与求解(10 分) 已知系统结构如图示。 2 2 s3 3 s -1 2 x 3 x )(sU)(sY -2 1 x 1 2 s -3 (1) 画出该系统的模拟结构图，并写出该系统的状态空间表达式。(5 分) (2) 计算状态转移矩阵。(5 分) 解：(1) 系统模拟结构图为(3 分) -1 2 x 3 x )(ty -2 2 -2 3 -3 1 x )(tu 2 -1 -3 111 222 333 2206 2240,001 0360 xxx xxu yx xxx (2 分) (2) 4-6、建模、变换与求解(14 分) 已知电路如图所示。记电容上的电压 uC为 1 x，电感上的电流 iL为 2 x，T 12 xxx。选 ui和 uo为输 入和输出变量。 i u o u R1 R2 C + + - - L (1)建立系统的状态空间表达式。(6 分) (3)设系统参数为 1 1kR ， 2 2kR ，1FC ，0.5mHL ，初始状态T(0)12x，求系统的单位阶 跃状态响应与系统输出响应。(8 分) 解：(1)列出电路方程 iCC 1 L C2 L 2 L L o uudu Ci Rdt di uLR i dt uR i ，整理得到 CCLi 11 CL2 L oC2 L 0 duuiu dtR CCR C udiR i dtLL uuR i (3 分) 写成状态空间表达式 1 1i 2 2 11 1 1 0 0 RCC RC u R LL uR o xx x (3 分) (2)给定如题参数情况下，状态方程写成 i o 111 240 02 u u xx x 求该系统的特征值，由 2 11 |(1)(4)256(3)(2)0 24 AI 得系统的特征值为2,3。(2 分) 用 Cayley-Hamilton 定理，设 01 ( )e t t A AI。于是 223 010 323 011 e23e2e e3ee ttt ttt (2 分)。 因此状态转移矩阵为 2323 234 2323 10112eeee ( )(3e2e)(ee) 0124 2e2ee2e tttt tttt tttt t (1 分) 系统的单位阶跃状态响应与系统输出响应分别为 0 23232323 232323230 323 323 ( )( ) (0)()d 2eeee12eeee1 d 20 2e2ee2e2e2ee2e e2ee 2e2e2e t tttttttt t tttttttt t t ttu t xx(B 23 3 30 23 0 23 23 1 ee e 3 d 2 2e ee 3 42 ee 33 81 ee 33 t t t t tt tt (2 分) 23 162 ( )02( )2ee 33 tt y tt x(1 分) 4-7、模型变换与求解(13 分) 1、已知系统结构如下图， 2 2 s6 1 s 3 2 x 1 x )(tu)(ty 1 (1)防画出相应的模拟结构图，记T 12 xxx，建立系统的状态空间表达式。(5 分) (2)设系统初始状态T(0)12x，如果输入为单位阶跃信号， ，求系统单位阶跃信号的状态响应和输出响 应。(8 分) 解：(1)模拟结构图(3 分) 3 2 x 1 x)(tu)(ty 2 -2 1 -6 1 112 212 ( 63) 2()2 xxx xxux 写成矩阵的形式 310 ,10 222 uy xxx(2 分) (2) 求该系统的特征值，由 2 31 |(3)(2)254(1)(4)0 22 AI 得系统的特征值为1,4。(2 分) 用 Cayley-Hamilton 定理，设 01 ( )e t t A AI。于是 4 0 01 4 4 01 1 41 ee e 33 11 e4 ee 33 tt t t tt 因此状态转移矩阵为 44 44 44 1211 eeee 10314111 3333 ( )( ee)( ee) 012222213333 eeee 3333 tttt tttt tttt t (2 分) 系统的单位阶跃状态响应与系统输出响应分别为 0 4444 0 4444 ( )( ) (0)( )()d 12111211 eeeeeeee 10 33333333 d 2221222212 eeeeeeee 33333333 22 e e 33 2e t tttt t tttt t t ttu t xxB 44 0 44 0 4 4 21 eee e 36 d 4241 2e eeee 3336 111 ee 362 213 ee 362 t t t t tt tt 4 111 ( )10( )ee 362 tt y tt x 4-8、模型变换与求解(12 分) 已知线性定常连续系统的状态方程为： 11 22 012 230 xx u xx (1)引入非奇异变换阵，将该系统转换成 Jordan 标准型。 (5 分) (2) 设T(0)0 1x，求系统在单位阶跃输入( )1( )u tt下的状态响应。(7 分) 解：(1) 1 23 s sIA s ， 1 2111 311 1212 () 22221(1)(2) 2121 s ssss sIA sss ssss ，(3 分) 22 22 2eee ( )e 2e2e2ee tttt At tttt e t 。(2 分) (2) 222 222 2eeee0ee ( ) (0) 1 2e2e2ee2ee tttttt tttttt t x，(2 分) ()2()()2() t 2()()2()()00 222 2220 2eeee2 (t- )( )d 0 222ee 4e2e34ee 4e4e24e2e tttt t tttt tttt t tttt ud ee d B (3 分) t 0 33e ( )( ) (0)( )()d 23e t t ttu t xxB (2 分)。 第五第五类类分析与分析与计算题计算题 5-1、系统分析与综合（18 分） 分析给定系统的可综合性，并按要求进行设计 设有二阶系统 111 ,01 230