数学分析简明教程答案尹小玲邓东皋第三章.pdf

- 1 - 第三章第三章 极限与函数的连续性极限与函数的连续性 第一节第一节 极限问题的提出极限问题的提出 第二节第二节 数列的极限数列的极限 2 22 2 1. 1 (1)lim 1 2 0, 1, 12222 . 2 1 1 lim0. 1 n n n n NnN nn nnnN n n 用定义证明下列极限为零： 证明：对于取则对于总有 因此有 sin (2).lim; 1 0, 1, sin111 . 1 sin lim0. n n n n NnN n nnN n n 证明：对于取则对于总有 于是可知 1 (3).lim; ! 11111 0, 1,. 1 ! 1 lim0. ! n n n NnN nnN n 证明：对于取则对于总有 于是可知 2 2 2 22 2 2 ( 1) (4).lim; 1 2 0, 2, ( 1)222 . 2 11 1 ( 1) lim0. 1 n n n n NnN nn nnnn n n 证明：对于取则对于总有 于是可知 - 2 - 2 2 (5).lim(1); 11 lim(1)lim0, 1, 1 1111 . 11 1 lim(1)lim0. 1 n nn nn nn nnNnN nn nnnN nn nn 证明：,对于取则对于总有 于是可知 10 10 (6).lim; ! 101010 10 101010 ,limlim.0, 1, 10!11 12 13 1010 10 1010101010 ,.lim0. 10 !11 12 13! n n n nn nn n n M MMN nn nNMMM M nnnn ? ? ? ? 证明：取则那么对于取 则对于总有因此 22 2 2 22 2 (7).lim(1); 11 1(0),(1)1(1)(1); 22 2 0,2, 22 . 12 (1) (1) 2 lim0. n n nnn nn n n n a a aann nn n NnN nnn aan n n n a 证明：令则那么 对于取则对于总有 因此 ! (8).lim; !123111 ,;0, 1, , !111 . 1 ! lim0. n n n n n n n n nnn nN nnnnnnn nN n nnN n n ? ?证明：对于总有因此对于取则对于 总有 因此 - 3 - 3 3322 3 3 123 (9).lim; 1 1231211 2 ,;0, 1, 22 , 123111 . 1 123 lim0. n n n n n n nnn nN nnnnn nN n nnN n n 证明：对于总有因此对取 则对于总有 因此 112 12 1 (10).lim(),1. 11 (7)110, 2 2,max(,), 11122 . 2 1 lim()0. n n nn n n n aa n n NnNN aan NN NnN a nnnn a n 证明：由可知对于，,当时，有，即；因此对取 则对于总有 因此 2 2 22 2 22222 2 2 2 2 2. 33 (1).lim; 212 33 33 3323 22 , 21221212 33333 , 1,. 3 212 33 lim. 212 n n nn n nnnn nnnn n nnnnnn nn NnN nn nn n 用定义证明： 证明：对于都有 那么对于取对于总有 因此可知 - 4 - 2 22 22 2 2 (2).lim1; 11 1, () 111 , 1,1. 1 lim1. n n nn n nnnnnn n nnn nnn nnnn nn NnN nn nn n 证明：对于都有 那么对于取对于总有 因此可知 1 (3).lim1,. 1 1111 ,11.0, 1, 111 1.lim1. 1 nn n n nn n n n n xx n n n n nxNnN nnn xx nN 为偶数 其中 为奇数 证明：对于都有则对于取当时总有 于是有 3 3 31 (4).lim3, 31 (1,2,). 1 2 32 3 33330 3111 3133 1 3232 nn n n n n nk n xxnkk n n nk nn nkx n nkx nnn nkx 其中 证明：当时，； 当时，； 当时， 2323 2 132 3 333 441 . (3)(2)6 11 0, 1, 1,max(,), 11 .33330; .313 nn nnnnn nnnnnn nnn nnnnnn nn nn NNNNNnN inkxiinkx nN 那么对于分别取于是当时有 当时，当时，;.32 11 3.,3;lim3. nnn n iiink xnNxx nN 当时，有 即对任意都有故有 - 5 - 11 11 3. (1).lim,lim; lim,0,. ,0,. lim. nn k nn nn n n k n k n aakaa aaNnNaa NNkNnkNNkaa aa 用定义证明: 若则对任一个正整数总有 证明：由于那么由定义可以知道：对当时有 那么取则对当时有 因此 (2).lim,lim; lim,0,. (1),0, lim. ( 1) ,l nn nn nn n nn nn n n n n aaaa aaNnNaa aaaaNnN aaaa aa a 若则反之是否成立？ 证明：由于那么由定义可以知道：对当时有 由于第二章第二节习题那么可以知道对当时有 于是有 反之不成立，例如有 im1,lim1(). nn nn aa 而极限不存在 111 (3).lim,; lim0,. ,2. nn n nn n nn aaabNnNab aaNnNaa abNnNaaabbaab 若且则存在当时,有 证明：由于,那么由极限的定义可以知道:对于当时有 我们取可知存在当时有即得证。 0 (4).lim,0,lim. lim0,. 0,. lim. n nnn nn nn n a n n n n n n aaaaa aaNnNaa aaaa NnNaa aaaaa aa 若且则 证明：由于,那么由极限的定义可以知道:对于当时有 那么对于当时有： 因此有成立 4.() (1)0,0,; (2)0,0,; (3)0,0,(). n n n NnNxa NnNxa NnNxaMM MM 极限的定义是否可以改成下面的形式？其中“ ”是逻辑符号，表示“存在” 当时,有 当时,有 当时,有为常数 答：这三种都是可以的，它们都是可以很容易的推导出课本中给的定义，也很容易用课 本中的定义推导出这三者。不过第三个里面的“为常数”，最好改为“为正常数”。 5. ( 2) ,( 1) ,limlim( 2) ( 1)2limlim nnnn nnnn nnnnnn nnnn x yxy xyx yxy ? 若收敛，能否断定，也收敛？ 答：不能； 例如：显然，而与不存在。 - 6 - 6.(1,2,),lim()0,limlim. 0,0; , ; lim nnnnnn nnn nnnn nnnnnn nnnnnn n xay nyxyxa xayaxya yayayaaxyx xaaxaxyayx 设且求证： 证明：由于，因此有于是有 又因为()00,; 0, , ; limlim. nnnnnn nnnnn nnnnn nn nn yxNnNyxyx NnN yayxyx xayxyx yxa ，即对于当时,有那么对于 当时,有 于是得 7.利用极限的四则运算法则求极限： 32 32 32 3232 3232 321 (1)lim 232 32 limlim 232232 1 limlim 232232 33 000 22 n nn nn nnn nn nn nnnn n nnnn 11 11 11 ( 2)3 (2)lim ( 2)3 23 ()( ) 33 lim 23 3 ()3 ( ) 33 23 lim()lim( ) 33 23 lim3 ()lim3 ( ) 33 0 11 . 033 nn nn n nn n nn nn nn nn nn ? ? 2 2 111 1 222 (3)lim 111 1 444 11 1 (1)1 (1) 22 lim 11 11 22 lim 11 1 (1)1 (1) 44 lim 11 11 44 23 . 4 2 3 n n n nn n n nn n ? ? 1010 11 (4)lim( 12310) lim110 nnnn n n n ii i 8.求下列极限： - 7 - 111 (1)lim 1 22 3(1) 11111 lim(1)()() 2231 1 lim(1)1 1 n n n n n nn n ? 222 222222 2222 222 111 (2)lim (1)(2 ) 111111 0 (1)(2 ) 1111 limlimlim0 111 lim0 (1)(2 ) n n nnn n n nnn nnnnnn n nnnnn nnn 个 个 解：由于 ； 而 于是有 222 22222 22222 111 (3)lim() 12 111 112 111 limlim1,lim()1. 112 n nnn nnnn nn nnnnnnn nn nnnnnnn 解：由于 容易证得于是有 2 232341 21 2311 21 1321 (4).lim() 222 1352111352321 , 2222222222 11 (1) 11122221121 22 ()2 1 222222222 1 2 11 (1) 21 22 14 1 2 1 2 n n nnn n nnn n n n nnn SS nn SSS n S 解：令那么；于是 因此 21 2 , 11 (1) 132121 22 lim()limlim14123 1 2222 1 2 n nn nnn nn S 故 1 (5).lim(1)cos 2 11111 (1)( 1)(1)cos(1)lim(1)( 1)lim(1)0 22222 1 lim(1)cos0. 2 n n nnnnn nn n n n n n 解：由于，而 因此 11 (6).lim 11 lim1 01. nn nn - 8 - 842 11 (1) 2 2 11 11 1 1 24 8 22 11 (1) 2 2 lim 1 1 lim (1) 1 22 (7).lim( 2 2 22) lim2lim2 222 n n n n n n n n nn 11 11 11 (8).lim(1),01 0110,(1); (1)(1) 0(1),10lim0, lim(1)0. n n n nn nn nnnnn nnnn nn 解：由可知于是有则 于是由知故 1 321 (9).lim 2 42 2121 2(21)(21), 2 1 321135211 0 2 421 33 55 7(21)(21)(21) 11 321 lim0,lim0. 2 42(21) n nn n n nn nnn nn nnnn n nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解：由于于是 由于由两边夹法则可知 2 1 321 (10)lim 2 42 2121 2(21)(21), 2 11 3 5211 3 521 213 5 7212 4 62 1352111 211 33 55 7(21)(21)(21) lim1, n n nnn n nn n n n n nn nnn nn nnn n nnnn n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解：由于于是 我们已知于是 2 11 limlim1, 2121 1 321 lim1 2 42 nn nn n n nn n n ? ? ? 可得因此 111 11 11 ln()ln() 1 ! ln lim ! 11 ln(lnln )ln(ln) limlimlimln 11 lim(ln) ln lim(ln) lim ln l 1 (11).limlimlim ! n n nnn iii nnn nn nnn ii nn nnn n nnn n nnn iii n nnn ii nn nnnn eee n eee eee 1 0 1 0 nlim ln 1 lim ln lnlim ln 11 lim0 n n n xdxn n n xdxn e n e e ln(ln) ln( ln )ln( ln ) lim lnln(ln ) lim 0 (12).limlnlim lim 1 n n n nnn nn nnnn nn n nn n nne ee ee - 9 - 9., , ,(0) lim, ,lim(); limlim ( nnnn n nnn n nnn n nnnn n nn nn abab a a bb b aaaa b abbabb ba 证明：若中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则是发散数列；又 问是否也是发散数列？为什么？ 证明：不妨设是收敛于 的数列,即发散；使用反证法。 若收敛于 即则由极限的四则运算可知： 2 2 )lim()lim() 1 ,(0),(0) 2 1 ,(0,1,2,), 1 21 nnnnn nn nnn nn nnnnnnnn nn nn baababa bab aa a bbabn a bb bnb nnk abk nnk n 这与发散矛盾，故可知是发散数列。 此时不一定是发散数列：例如取都 是收敛于零的数列；若取此,(0) n nnn n a a bb b 时 都是发散数列。 0 0 10.( 1) , 9.4() ( 1)0,0,. 1,1,2(, ;11)2. ( n nn n nnm nmnm n xx xNnN mNxx NnNN mNNn m xxxx x 设证明发散。 证明：我们使用定理柯西收敛原理 利用反证法证明。 如果收敛，则对于当时有 我们取，对于取可以知道中必是一个为偶数， 另一个为奇数 那么 与一个为，另一个为，则矛盾。 故1)n发散。 123123123 1123 1 312 1112311 1111 11.,limmax(,). max(,),1(1,2,). ()()()() lim nnnn n mmm n i m nnnnnnnnnn m nn n m n a a aamaaaaa a aa a aa a aaim a aaaa aaaaaaaam aaaa 若为 个整数，证明： 证明：不妨设于是则 由于 111231123 ,limmax(,). nnnnn n mm n amaaaaaaa a aa 故可得 lim l ln 12.lim, (1).lim; (2).0,0,lim1. 111111 (1).,lim()lim(). lim. (2).limlim n n n n n n n n nn n nnn nnnn nn n n a n n nn aa na a n aaa nanana aaaaa nnnnnnn na a n aee 设证明： 若则 证明： 已知容易知道 于是有夹迫性可以知道 ln limn 0 1. n n n n a a n ee - 10 - 11 112 1 1 13.lim (1).2,2; .22 222; .2; .22. 2 lim,limlim n n nn kk kkk nn nn nnn x xxx i xxx iixx iiixxx xx xAx 利用单调有界原理证明存在，并求出它。 证明： 设 则 由数学归纳法可以知道，数列单调上升且以 为一个上界；因此数列有界限。 我们设那么 1 22 ,20. 2,lim2. n nn n xAAAA xx 于是可以解得或由题意容 易知道故必有 11 112 1 111 1 1 (2).,; .; . .,. .1; .1; nn n kk kkkkkk n k xc xcx x i xccxx iixx iiixcxcxcxcxx x i xcc iixc 证明：使用数学归纳法证明递增且有界。 设 由于则即 于是我们知道递增。 设 2 1 1 .1121. 1.lim; 114 . 2 114 lim. 2 kk nnnnn n n n n iiixxcccccc xcxxaxcx c acaax c x 由于 因此我们知道有一个上界于是我们知道收敛，设在 两边取极限可得，解得由于是一个正项数列，故 11 1 1 112 12 (3),(0) ! 1 .; !( 2)(1)! .; (1)!(1)! (2)(2)! 0lim n n NNN NN kk kkk kk n c xc n nNc ccc i xx NNcN iixx cccc iii xx kkkk ? ? 证明：用数学归纳法证明当时，数列开始单调递减。 设 显然 是数列的一个下界，因此可以知道数列收敛。设 1 1 , !(1)! 00,lim0. n nn nn n n xa cccc xx nn nn aax ? 那么在等式 两边取极限可以得到于是 - 11 - 1 0 1 0 10 0 1 1 11 11 (4).1,1. 1 .11; 1 .; 11 .,22,11,. 1111 2lim, n n n kk kk kkkk kkkk nnn n x xx x x i xx x iixx xx iiixxxx xxxx nxxxa 证明： 设 由于于是即因此 显然对于有，那么数列单调上升且有界，故有极限存在；设我 1 1 15 11,. 112 15 lim. 2 n nn n n n xa xaax xa x 们在等式取极限可以得到可以解得又因为数列是 一个正项数列，故 1111 11 14.0,0().,limlim. 2 ( ,0), 2 , 22 , nn nnnnnn nn nnnn nnnn nnnnnnnn nnn xy xaybab xx yyxy xy xyx yxyxy xyyy xx yx xxyy xyy 若证明： 证明：有不等式可以知道，正项数列满足于是有 因此数列单调递增且以 为一组上界 11 lim,lim, 2 ; 2 ,limlim. n nn nnnnnn nn nn nn x xy xxyyxx yy xxy xy y xyxy 单调递减以 为一组下界；那么这两个 数列有极限。设在等式取极限可得到 推导可得于是有 1 11 11 2 12 15.0,lim1,lim0. lim1lim(1)10, 11 10.1, 22 11 (1)(1)(1 22 n nn nn n nn nn nn nn nn NNNN n a ala a aa llNnN aa aall nN aa ll aaaa 证明：若且则 证明：由可以知道那么由保号性可以知道当 时即当当时，于是 1) 2 0limlimlim0,lim0. 1 (1) 2 n N nN nn nnnn n l a aaa l 那么因此 - 12 - 11 12 12 1111 121 12 12 16.lim, (1)lim, (2)0,lim. (1)0,. ()()()()() ()() n n n n n nn n n NNn n aa aaa a n aa aaa NnNaa aaaaaaaaaa aaa a nn aaaa ? ? ? 设证明: 它的逆命题是否成立？ 若则 证明：由题意可知：对于当时那么 111 1 1 1 12 12 1 1 12 1 12 122 12 ()()() () ()()() ()()() ()()() lim00, ()() NNN n N N N n aaaaaa aa nnnn aaaaaa nN nn aaaaaa n aaaaaa NnN n aaaa 由于，于是对于当时， 1 1 1 121 12 12 111 12 12 () ; max(,),20, ()()() . lim. ( 1) .lim0,lim N N n n n n n nn nn aa n NN NNnN aaaaaa aaa a nn aaa a n aaa aa n 取则对于当时， 因此 它的逆命题不成立，例如取而不存在。 - 13 - 12 12 123 123123 11 (2).,0,0.0lim, 1111 (1) 11 limlim, 111111111 n n n n n n n nn nn n aaa aa aaan a aa n aaaa n a aaaaaaaaa n 对于任意正整数于是必有当时，由均值不等式可知： 由可知 1 1 11111 1 1 12 12 11 1212121212 12 lim. lim. 0,0; 0 lim1 n n n n n n n N N n nn nnn nNNNnNN N n N n aaa a n a aaa aNnNanN a aaa aaaaaa aaa aa a aa ? 于是可以知道 当时，对于，当时有于是当时有 由于， 1 1 2212 121212 ,. max(,),0,0lim0. N n N nn nn n NnNa aa NN NnNa aaa aaa 于是可知对于，当时有取 对于当时，；于是 17. 111 1 23 (1)lim0; 1 ,0,lim0(1) n nnn n n n aaa n 用上题结果证明： 证明：取则且，则由上题得证。 1 (2).lim1; ,1(1).(2)lim1. n n n nn n a aaa ana 证明：取数列满足那么由上题可知 12 (3).lim1; ,lim1,limlim1. 1 n n n n nnn nnn n n aana aa n 证明：构造数列则于是 12 1 (4).lim0; ! 111 ,lim0,limlimlim0. ! n n n n nnn n nnnn n aaa aa nnn 证明：构造数列则于是 - 14 - 3 3 12 123 (5).lim1; 123 ,lim1,limlim1. n n n nn nn nnn n n aaan ana nn 证明：构造数列则于是 1 122 1 11231 1 (6).lim(0),lim. lim1.limlimlimlim n n nn nn n n n nnnn nn nn n nnnnnn nnn b a bba b bbbbbb bba bbbbbb 若则 证明：已知则 22 18. (1); 0, 1,. n GNGnNnNGG n 用定义证明下列数列为无穷大量： 证明：对于总使得当时有 于是数列为无穷大量。 (2) ; 0, 1,!. ! n GNGnNnNGG n ！ 证明：对于总使得当时有 于是数列为无穷大量。 (3)ln ; 0, 1,lnlnln. ln GG n GNenNnNeG n 证明：对于总使得当时有 于是数列为无穷大量。 - 15 - 0 1 2 122 2 3 2233 3 4 3344 1 11 111 (4)1. 23 1, 1 , 2 1121 , 21222 11121 , 2122222 11121 , 2122222 11121 , 2122222 n n nnnn n a a a a a a 证明：取 2 1 0122 0,2, 1112 1. 232 111 1 23 G G GNnN G aaaaG n n 那么对于总有当时有 因此数列是无穷大量。 1111 111 1 19. ,;0,. ,0, . nnnn nn n nnnnnn xyxy MnyMGNnNxG GMNnNxGGGMN nNxyxyGMGxy 证明：若为无穷大量，数列为有界变量，则为无穷大量。 证明：由题意可知对于有而对于总当时，有 那么对于也存在当时有；于是对于总当 时，于是数列为无穷大量。 2 20.(1) , ,( 1) , 1 ,1,(,). nn n nn nnn xn yn xn yn xn ynyn n 两个无穷大量的和的极限如何？试讨论各种可能情况。 答：两无穷大量的和可能还是无穷大量，也可能是有界数列，还有可能是收敛数列。 例如：它们的和是无穷大量； 它们的和是有界数列； 它们的和是收敛数列 如果则它们的和为无穷小量 - 16 - (2). (3). 1 , nn xyn n 讨论无穷大量与无穷小量的和、差、商的极限情况。 答：无穷大量与无穷小量的和与差仍然是无穷大量，及极限不存在。它们的商满足 无穷大量无穷小量 无穷大量，无穷小量. 无穷小量无穷大量 讨论无穷大量与无穷小量的积的极限情况。 答：可能是无穷大量也可能是无穷小量,也可能是收敛于非零数的收敛数列，例如 它们的积为收敛于1的收敛数列； 2 1 , 1 , nn nn xyn n xyn n n 它们的积为无穷小量； 它们的积为无穷大量。 这些取决于它们的关于 的阶数和。 1 21.lim(1)n n e n 利用求下列极限： 1 (1)lim(1) 1 lim 1 (1) 1 . n n n n n n e (1) 1 lim 1 1 (2).lim(1) 1 1 lim(1) 1 n n n n n n n n n n n e e 第三节第三节 函数的极限函数的极限 2 1 2 2 2 1. 31 (1) lim; 92 31311111 . 92(3)(3)2322(3)2(1)4 3111 011,11 1;,0, 922(1)42 3112 min(1,2 ),01 922 x x x xxxx xxxxxx xxx xx xx xx x x 用极限的定义证明下列极限： 证明： 限制于是那么对于 当时有 2 1 . 2 31 lim. 92 x x x 于是有 - 17 - 2 3 2 2 2 31 (2)lim; 96 31311133 . 96(3)(3)6366(3)6(3)36 3133 031,131;,0, 966(3)3630 31330 min(1,30 ),03. 963030 x x x xxxx xxxxxx xxx xx xx xx x x 证明： 限制于是那么对于 当时有 2 3 31 lim. 96 x x x 于是有 1 2 11111 2 111 1 (3)lim2; 1 11 ,limlim11,1;limlimlim(1). 11 0,011 21. 11 limlimlim(1)2. 11 x xxxuu xuu x x xu uxuxxuu ux uuu xu u ux 证明：取由于且时则 对于当时有 于是有 1 (2)(1) (4)lim0; 3 012,212; (2)(1)21 (1)(1)(1)21; 333 (2)(1) 0,min(2,),01212. 232 lim x xx x xx xxx xxx xxx xx xx x 证明：限制于是那么 对于当时有于是有 1 (2)(1) 0. 3 x xx x 2 2 2 2 22 2 2 2 (5)lim53; 59(2)(2)2 53(2) . 53 021,13;0,min(1,),02 3 23 53(2)32. 3 lim53. x x x xxxx xx x xx xxx x xxx x x 证明： 限制于是那么对于当时有 于是有 - 18 - 2 1 2 2 2 1 (1)1 (6)lim; 12 (1)111 . 12122(1) 1351 01,1;0,min( ,3 ),02 2222 (1)1113 . 122(1)33 (1) lim x x x x x x xxx xxx xxx x xxx xx x x x 证明： 限制于是那么对于当时 有 于是有 1 . 12 2 3 2 2 2 3 (7)lim; 9 131 1. 93333 2 031,537;0,min(1,),03 5 31212 1 1. 2 933535 5 lim. 9 x x x x xx xxxxx xxGx G x G xxxx G x x 证明： 限制于是那么对于当时 有 于是有 1 (8)lim1; 2 333 0,max(2 ,2),2, 133 1 3 22 1 lim1. 2 x x x x GxGx x xx x x 证明：对于则当时有那么 于是有 2 2 2 3 (9)lim; 1 0,. 1 lim. 9 x x xx x xx GMGxMxMG x x x 证明：对于当时有 于是有 - 19 - 2 2 2 222 2 2 2 2 5 (10)lim1. 1 5444 1. 11(1)(1) 1 4 2,0,max(2,), 5444 1. 4 11 5 lim1. 1 x x x x x xxxx x xMxM x xxx x x 证明： 限制那么对于当时有 于是有 2 2 0 2 1 2 111 1 2. 1 (1).lim1. 21 lim(1) 1(1)(1)12 (2)limlimlim. 21(21)(1)21lim(21)3 x x xxx x x xx x xxxx xxxxxx 用极限的四则运算法则求下列极限： 3 23 0 32 23 0 32 23 00 0 0 (1)(1 3 ) (3).lim 2 331 1 3 lim 2 33 limlim 212 lim(3) 3 3. lim(12 )1 x x xx x x xx xx xxxx xx xxx xxx x x 2 1 3 1 2 1 2 1 (4).lim 1 (1) lim 1 (1)(1) lim 1 lim(1)3. x x x x xx x xx x xxxx x xxx 3 3 3 3 12 (5).lim 3 ( 12)( 12) lim (3)( 12) 14 lim (3)( 12) 11 lim. 412 x x x x x x xx xx x xx x 2 2 3 3 3 3 3 56 (6).lim 815 (2)(3) lim (3)(5) 2 lim 5 lim(2) 1 . lim(5)2 x x x x x xx xx xx xx x x x x - 20 - 1 123 123 1 123 123 1 1 (7)lim,( ,). 1 (1)(1) lim (1)(1) 1 lim 1 . n m x nnn mmm x nnn mmm x x n m x xxxxx xxxxx xxxx xxxx n m 为正整数 4 4 4 4 4 4 4 123 (8).lim 2 ( 123)( 123) lim (2)( 123) 2(4) lim (2)( 123) 2(2)(2) lim (2)( 123) lim2(2) 2(2) lim 123lim 123 84 . 63 x x x x x x x x x xx xx x xx xx xx x x xx 00 0 11011 11 1 3.( )0.lim( ),lim( ).(2). lim( )0,0,0( ). ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) n n xxxx xx n n n nnn n n f xf xAf xAn f xAxxf xA f xA f xAf xA f xA f xf x 设证明：若则其中正整数 证明：由知对当时有 此时对于有 2132121 12132121 1 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )00, ( ) ( ) (