考研数学一真题及答案全.pdf

数学（一）试题 第 1 页（共 4 页） 2017 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 （1）若函数 1 cos ,0 ( ) ,0 x x f x ax b x 在x连续，则 (A) 1 2 ab (B) 1 2 ab (C) 0ab (D) 2ab 【答案】A 【详解】由 0 1 cos1 lim 2 x x b axa ,得 1 2 ab . （2）设函数 f x可导，且( )( )0f x fx 则 (A) 11ff (B) 11ff (C) 11ff (D) 11ff. 【答案】C 【详解】 2( ) ( )( )0 2 fx f x fx,从而 2( ) fx单调递增, 22 (1)( 1)ff. （3）函数 22 ( , , )f x y zx yz在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n 的方向导数为 (A) 12 (B) 6 (C) 4 (D)2 【答案】D 【详解】方向余弦 12 cos,coscos 33 ,偏导数 2 2,2 xyz fxy fxfz,代入 coscoscos xyz fff即可. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲 线 1( ) vv t(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线 2( ) vv t(单位：m/s)，三块阴影部分面积 的 数 值 一 次 为 10 ， 20 ， 3 ， 计 时 开 始 后 乙 追 上 甲 的 时 刻 记 为 ( 单 位 ： s) ， 则 数学（一）试题 第 2 页（共 4 页） (A) 0 10t (B) 0 1520t (C) 0 25t (D) 0 25t 【答案】C 【详解】在 0 25t 时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则 (A) T E不可逆 (B) T E不可逆 (C) T 2E 不可逆 (D) T 2E 不可逆 【答案】A 【详解】可设 T ,则 T 的特征值为1,0,0,从而 T E的特征值为 011, ,因此 T E不可逆. （6）设有矩阵 200 021 001 A ， 210 020 001 B ， 1 2 2 C (A)A与C相似，B与C相似 (B) A与C相似，B与C不相似 (C) A与C不相似，B与C相似 (D) A与C不相似，B与C不相似 【答案】B 【详解】,A B的特征值为2 21, ,但A有三个线性无关的特征向量,而B只有两个,所以 A可对角化, B则不行. （7）设,A B为随机事件，若0( )1P A，0( )1P B，则(|)(|)P A BP B A的充分 必要条件 (A) (|)(|)P B AP B A (B) (|)(|)P B AP B A (C) (|)(|)P B AP B A (D) (|)(|)P B AP B A 【答案】A 【 详 解 】 由(|)(|)P A BP A B得 ()()( )() ( )( )1( ) P ABP ABP AP AB P BP BP B , 即 () ( ) ( )P ABP A P B; 数学（一）试题 第 3 页（共 4 页） 由(|)(|)P B AP B A也可得() ( ) ( )P ABP A P B. （8）设 12 ,(2) n X XXn为来自总体( ,1)N的简单随机样本，记 1 1 n i i XX n ，则下 列结论不正确的是 (A) 2 1 () n i i X 服从 2 分布 (B) 2 1 2() n XX服从 2 分布 (C) 2 1 () n i i XX 服从 2 分布 (D) 2 ()n X 服从 2 分布 【答案】B 【详解】 2222 11 (0,1)() ( ),() (1) 1 nn i ii ii X NXnXXn ; 22 1 ( , ), () (1);XNn X n 2 2 1 1 () (0,2),(1) 2 n n XX XXN . 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸 指定位置上 （9）已知函数 2 1 ( ), 1 f x x (3)(0) f 【答案】0 【详解】 24 2 1 ( )1( 11) 1 f xxxx x ,没有三次项. （10）微分方程032 yyy的通解为 【答案】 12 e (cos2sin2 ) x yCxCx 【详解】特征方程 2 230rr 得12ri ,因此 12 e (cos2sin2 ) x yCxCx . （11）若曲线积分 L yx aydyxdx 1 22 在区域1),( 22 yxyxD内与路径无关，则a 【答案】1 【详解】有题意可得 QP xx ,解得1a . （12）幂级数 1 1 1 ) 1( n n n nx在(-1,1)内的和函数( )S x 数学（一）试题 第 4 页（共 4 页） 【答案】 2 1 (1)x 【详解】 11 2 11 1 ( 1)() (1) nnn nn nxx x . （13） 110 211 101 A， 321 ，是 3 维线性无关的列向量，则 321 ,AAA的秩 为 【答案】2 【详解】 123 (,)( )2rrAAAA （14）设随即变量X的分布函数 4 ( )0.5 ( )0.5 () 2 x F xx ，其中)(x为标准正态分 布函数，则EX 【答案】2 【详解】【详解】 0 0.54 ( )d0,5 ( )()d2 22 x EXxf xxxxx . 三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答 案写在答题纸 指定位置上 （15） （本题满分 10 分） 设函数( , )f u v具有 2 阶连续偏导数，(e ,cos ), x yfx求 2 2 0 0 , x x dyd y dxdx . 【答案】(e ,cos ) x yfx 12 1 2 1112121222 2 2 1112 2 sin , 0(1,1) sin(sin )sincos 0(1,1)(1,1)(1,1) x xxxx dy f efx dx dy xf dx d y f efx ef ef efxxfx dx d y xfff dx （16） （本题满分 10 分） 求 2 limln(1) n kk nn . 【答案】 数学（一）试题 第 5 页（共 4 页） 2 1 222 11 2 00 1 22 0 2 limln(1) 1122 limln(1)ln(1).ln(1) 1 1122 limln(1)ln(1).ln(1) 1 ln(1)ln(1) 2 1 111 ln(1) 0221 111 1 ln2 221 n k n n kk nn nn nnnnnn nn n nnnnnn xx dxx dx xxxdx x x 1 0 11 00 2 111 ln2(1) 221 11 111 ln2()ln(1) 00222 11 11 ln2(1 ln2) 22 24 dx x xdxdx x xxx （17） （本题满分 10 分） 已知函数)(xy由方程 33 3320xyxy确定，求)(xy的极值. 【答案】 33 3320xyxy， 方程两边对x求导得： 22 333 30xy yy ， 令 0y ，得 2 33,1xx . 当1x 时1y ，当1x 时0y . 方程两边再对x求导： 22 66 ( )330xy yy yy， 令 0y ， 2 6(31)0xyy， 当1x ，1y 时 3 2 y ，当1x ，0y 时 6y . 所以当1x 时函数有极大值，极大值为 1，当1x 时函数有极小值，极小值为 0. （18） （本题满分 10 分） 设函数( )f x在区间0,1上具有 2 阶导数，且(1)0f， 0 ( ) lim0 x f x x .证明： （I）方程( )0f x 在区间(0,1)内至少存在一个实根; 数学（一）试题 第 6 页（共 4 页） （II）方程 2 ( )( ) ( )0f x fxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1) 0 ( ) lim0 x f x x ，由极限的局部保号性，(0, ),( )0cf c 使得，又(1)0,f由零 点存在定理知，(c,1) ，使得，( )0f. (2) 构 造()() ()Fxfxfx，(0)(0)(0)0Fff，( )( )( )0Fff， 0 ( ) lim0,(0)0, x f x f x 由拉格朗日中值定理知 (1)(0) (0,1),( )0 1 0 ff f ， (0)( )0,ff所 以 由 零 点 定 理 知 1 ( 0 ,)( 0 , 1 )， 使 得 1 ()0f， 111 ( )( )( )0,Fff 所以原方程至少有两个不同实根。 （19） （本题满分 10 分） 设薄片型物体S是圆锥面 22 yxz被xz2 2 割下的有限部分， 其上任意一点处的 密度为 222 9),(zyxzyx，记圆锥面与柱面的交线为 C； （I）求 C 在xOy平面上的投影曲线的方程； （II）求 S 的质量 M。 【答案】(1)C的方程为 22 2 2 zxy zx ，投影到xoy平面的方程为： 22 (1)1 0 xy z 2222222 (2)( , , )9+9 2+Mu x y z dSxyz dSxyxy dS 2cos 223 22 0 22 8 18+18cos 3 dxy dxdyd 3 2 0 2 96cos96(1)64 3 d （20）(本题满分 11 分) 设3矩阵 123 (,)A 有 3 个不同的特征值， 312 2 （I）证明：(A)2r; （II）若 123 ，求方程组Ax的解. 数学（一）试题 第 7 页（共 4 页） 【答案】 .00 1 2 1 , , 02 1321 321 213 的特征值是，故 ， A 又A有三个不同的特征值，故0 1 为单根，且A一定能相似对角化. . 2)()( , rAr A （2）由（1） ，0Ax的通解为Tk1, 2 , 1， 321 ，故有 T A1 , 1 , 1 1 1 1 , 321 ，即. ).() 1 , 1 , 1 (1, 2 , 1为任意常数的通解为kkAx T T （21） （本题满分 11 分） 设二次型 222 123123121 323 ( ,)2282f x x xxxaxx xx xx x在正交变换Qyx 下 的标准形为 22 1 122 yy，求a的值及一个正交矩阵Q。 （21）【答案】二次型的矩阵 a A 14 111 412 ， 因为二次型在正交变换下的标准形为 22 1 122 yy，故A有特征值 0， 0 A，故2a. 由0)6)(3( 214 111 412 AE得特征值为 0, 6, 3 321 . 解齐次线性方程组0xAE i ，求特征向量. 数学（一）试题 第 8 页（共 4 页） 对3 1 ， 000 110 101 514 121 415 3AE,得 1 1 1 1 ； 对6 2 ， 000 010 101 414 171 414 6AE,得 1 0 1 2 ； 对0 3 ， 000 210 101 214 111 412 0AE,得 1 2 1 3 ； 因为 123 , 属于不同特征值，已经正交，只需规范化： 令T TT 1 , 2 , 1 6 1 ,1 , 0 , 1 2 1 ,1 , 1, 1 3 1 3 2 2 2 1 1 1 ， 所求正交矩阵为 6 1 2 1 3 1 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 Q,对应标准形为 2 2 2 1 63yyf. （22） （本题满分 11 分） 设随机变量X与Y相互独立，且X的概率分布为 1 X0X2 2 PP，Y的概 率密度为 2 ,01 ( ) 0, yy f y 其他. （I）求YEYP （II）求ZXY的概率密度。 22、【答案】 （1） 3 2 d2d )( 1 0 yyyyyyfEY Y ， 9 4 d2d )( 3 2 0 3 2 yyyyfEYYP Y . （2）Z的分布函数为 数学（一）试题 第 9 页（共 4 页） )2()( 2 1 2 2 1 220 2,0,)( zFzF zYPzYPzYXPzYXP XzYXPXzYXPzZPzF YY Z ， 故Z的概率密度函数为 其它, 0 32, 2 10, 3, 0 32, 2 21, 0 10, 0, 0 )2()( 2 1 )()(zz zz z zz z zz z zfzfzFzf ZZ . （23） （本题满分 11 分） 某工程师为了解一台天平的精度， 用该天平对一物体的质量做 n 次测量， 该物体的质量 是已知的.设 n 次测量结果 n XXX, 21 相互独立且均服从正态分布),( 2 N.该工 程师记录的是 n 次测量的绝对