拓广平面上的齐次坐标.ppt

The class is begin !, 1.2 拓广平面上的齐次坐标,上次课：,一、n 维实向量类,二、齐次点坐标,RPn-1,(RPn-1)*,一维齐次点坐标,二维齐次点坐标,归纳,齐次点坐标 = 双射：拓广平面上的点坐标映射,拓广直线的线束模型,拓广平面的线丛模型,三、直线的齐次坐标方程,定理 1.2,在齐次坐标下，直线的方程为,(1.1),反之，(1.1)表示直线. 称(1.1)为直线的齐次方程.,注2,定理1.2：通常直线的齐次、非齐次方程互化., 1.2 拓广平面上的齐次坐标,推论 1.1,过原点的直线的齐次方程为u1x1+u2x2=0. 特别地, x轴: x2=0, y轴: x1=0, l: x3=0.,注1,定理1.2的证明中, 从(2)到(3)的“即”, 由x30到可以x3=0, 已经将通常直线拓广.,改变一下你的几何学观点,点,直线,曲线,坐标,方程,点的轨迹,点几何学,线几何学,方程,坐标,直线族的包络,四、齐次线坐标, 1.2 拓广平面上的齐次坐标,线几何学：以直线为基本几何元素去表达其他几何对象,四、齐次线坐标,1. 定义,将直线l：,中的系数称为l的齐次线坐标，记作,注2,齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质.,注3,y轴：,x轴：,过原点的直线：,思考：注3中这些直线的齐次坐标分别与哪些点的齐次坐标相同(忽略括号差别)？,注4,由定义,方程,系数,坐标,实现互化, 故由诱导.,注1,齐次线坐标是一个双射, 称为拓广平面上的线坐标映射, 1.2 拓广平面上的齐次坐标,定理1.3 在齐次线坐标下，点x在直线u上,2. 点的齐次方程, 1.2 拓广平面上的齐次坐标,定义1.7 在齐次线坐标下，若方程 f(u1,u2,u3)=0 能且仅能被过点P的直线的齐次坐标所满足，则称 f=0 为点 P 的齐次方程.,定理1.4 在齐次线坐标下，一点 a=(a1,a2,a3) 的齐次方程为,反之，关于流动线坐标的一次齐次方程表示点.,2. 点的齐次方程, 1.2 拓广平面上的齐次坐标,四、齐次线坐标,注,对(1.4)的新理解.,(1.4),变 (流动),不变(常数),直线u的方程,几何意义,动点x在定直线u上；,定直线u为动点x的轨迹,点几何观点,线几何观点,不变(常数),变 (流动),点x的 方程,动直线u过定点x；,定点x为动直线u的包络,因此，一般地，称(1.4)为点与直线的齐次关联关系. 点、直线统称为几何元素.,给定齐次方程,四、齐次线坐标,2. 点的齐次方程,例 2,求下列各点的齐次方程.,(1). x轴上的无穷远点,(2). y轴上的无穷远点,(3). 原点,(4). 点(1,2,2),(5). 方向为,的无穷远点,(6). 无穷远直线上的点,思考：本例中这些点的齐次方程分别与哪些直线的齐次方程形式上相同？, 1.2 拓广平面上的齐次坐标,(3,1,0),五、非齐次线坐标,定义1.8 对于直线u=u1,u2,u3, 若u30,则定义其非齐次坐标为U,V其中U=u1/u3, V=u2/u3.,注1,哪些直线没有非齐次坐标？,注2,将点与直线的齐次关联关系(1.4)两边同时除以u3x3, 得到,点与直线的非齐次关联关系为,(1.5),显然，得到(1.5)的基础是u3x30. 因此，无穷远直线上的点和过原点的直线均不满足非齐次关联关系.,从非齐次关联关系角度：过原点的直线、无穷远直线上的点没有非齐次坐标，也没有非齐次方程！, 1.2 拓广平面上的齐次坐标,过原点的直线u1,u2,0.,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),(1). 两点a, b重合,(1). 两直线a, b重合, 1.2 拓广平面上的齐次坐标,(2). 相异两点a, b连线方程为,(2). 相异两直线a, b交点方程为,坐标为,坐标为,(3). 相异三点a,b,c共线,(3). 相异三直线a,b,c共点,(4). 以相异两点a,b连线为底的点列中点的齐次坐标能且仅能表示为la+mb(l,m不全为零)., 1.2 拓广平面上的齐次坐标,(4). 以相异两直线a,b交点为束心的线束中直线的齐次坐标能且仅能表示为la+mb(l,m不全为零).,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),由此引出：点列的参数表示,注：若三点(直线)a, b, c不共线(点), 则上述矩阵满秩.,注,关于点列的参数表示,齐次参数表示,将(4)中的c=la+mb的形式称为以相异二点a,b为,基点的点列的齐次参数表示或双参数表示.,非齐次参数表示,令,则有,称为以a,b为基点,的非齐次参数表示或单参数表示.,拓广的实数集,并规定,对于,当,即,时，,于是，点列的非齐次参数表示给出了点列中的点(拓广直线上的点)到拓广的实数集之间的一个双射.,由于a,b都有无穷多组成比例的齐次坐标，因此对其齐次坐标的选取必须加以某种约束. 由此将引出单位点概念., 1.2 拓广平面上的齐次坐标,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),例 3,已知共线三点 a=(3,1,1), b=(7,5,1), c=(6,4,1), 求, 使得,解,令,其中为非零比例常数.,可解得=3.于是，可适当选取 a, b, c 的齐次坐标，使得 c=a+3b.,注,的存在是齐次性的体现. 对于相异的共线三点a,b,c, 必可适当选取其齐次坐标, 使得c=a+b., 1.2 拓广平面上的齐次坐标,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),(5). 相异三点a,b,c共线存在p,q,r(pqr0)使得,即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得, 1.2 拓广平面上的齐次坐标,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),(5). 相异三直线a,b,c共点存在p,q,r(pqr0)使得,即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得,例 4,关于教材P.17例1.4结论的解释.,(1). 设a, b, c为平面上不共线三点. 则平面上任一点 d 的齐次坐标可以表示为,(2). 设a, b, c, d为平面上四点，其中任意三点不共线. 则可适当选取这四点的齐次坐标，使得,或者,注,由此例, 给定平面上不共线三点, 可以表示平面上任意一点的坐标., 1.2 拓广平面上的齐次坐标,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),坐标三点形概念,关于坐标三点形,在拓广平面上任取定一个笛氏坐标系. 记原点为A3, x轴上的无穷远点为A1, y轴上的无穷远点为A2, 则A1(1,0,0), A2(0,1,0), A3(0,0,1)不共线., 1.2 拓广平面上的齐次坐标,六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.51.9;1.51.9),考虑到齐次性, 另取定点I(1,1,1), 以规定当A1, A2, A3取不同齐次坐标时, 上式总表示同一点P(x1,x2,x3). 即I规定了当A1, A2, A3取不同齐次坐标时必须满足下式,坐标三点形：A1A2A3 ；单位点：I；笛氏齐次坐标系：(A1A2A3 | I).,平面上任一点P(x1,x2,x3)可表为, 1.3 射影平面,一、实射影平面(二维实射影空间),无定义基本元素：点，直线,约定1.2 点与直线的关联关系,定义1.9 设,P 的元素称为点.,L的元素称为直线.,P 与L的元素之间有一个关系称为关联关系, 满足下列公理,公理P 存在一对双射,对于任意的点PP 和任意的直线lL, 若,则P与l相关联u1x1+u2x2+u3x3=0.,则称为一个以P为点集, L为直线集的实射影平面(二维实射影空间), 记作=(P, L). 上述一对双射(,)称为上的一个射影坐标映射, 分别称为点坐标映射; 为线坐标映射., 1.3 射影平面,一、实射影平面(二维实射影空间),注2 定义1.9在叙述上不同于Hilbert公理系统, 实际上隐含了承认实数公理等.,定理1.10 在实射影平面上, 方程,表示直线或点. 当xi为流动变量而ui为常数时表示直线u1,u2,u3；反之表示点(x1,x2,x3).,注1 上述集合P, L是一般的. 其中元素称为点、直线, 而定义1.9则对=(P, L)给予了实射影空间结构.,由定理1.10, 线坐标映射可以由点坐标映射诱导., 1.3 射影平面,二、实射影平面的模型,所谓模型(实现)是对一般集合P, L的元素赋予具体意义, 使之满足定义1.9. 我们可以在任何模型上展开射影几何研究.,几何的模型：拓广平面用综合的方法研究射影几何.,代数的模型：算术平面：R=(RP2, (RP2)*) 用代数法研究.,拓广平