华南理工大学大学物理下册习题册习题详解.pdf

第 1 页共 1 页 1 真空中的静电场习题详解 习题册-下-1 习题一习题一 一、选择题一、选择题 1如图所示，半径为 R 的圆环开有一小空隙而形成一圆弧，弧长为 L，电荷均匀分 布其上。空隙长为 Q (LLR) ） 。式中 a 为该点到带电直线的距离。 由场强叠加原理，P1，P2点的场强为两直线产生的场强的矢量和。在P1点，两场强 以 方向相同，均沿x轴正向；在P2点，两场强方向相反，所 1 000 22 Eiii ddd =+= rrr ； 2 0 23 00 23 Eiii d = dd rrr 2一半径为 R，长为 L 的均匀带电圆柱面，其单位长度带有 。在带电圆柱的中垂面上 有一P，它到轴线距离为，则 P 点的电场强度的大小：当时，点()r rRrL 3如图 两 正电荷从 O 点沿 OCD 移到 D 点，则电场力所做的功为 _；把单位负电荷从 D 点沿 AB 延长线移 到无穷远，电场力所做的功为_。 答案： q+q A B O D l 2 C l l q 0 6 ； l q 0 6 。 解：电场功与无关力做路径。 （1） 000 6 qqq l 00 0 44 O qq U ll =+= 434 D U ll =， =+， 00 ()10 66 OD qq AQ UU ll = = 00 ()10 66 D qq AQ UU ll = （2） 4如图所示，两同心带电球面，内球面半m = q1 q2 r1 r2 径为 1 5cr =，带电荷 = ；外球面半径为 8 1 3 10 C， 带电C。荷 8 2 6 10q = q 2 20cmr = 3 第 4 页共 4 页 1 真空中的静电场习题详解 习题册-下-1 设无穷远处电势为零，则在两球面间另一电势为零的球面半径r =_。 的均匀带电球面的电势分布为 答案：10cm () () 0 0 4 4 p q rR r U q rR R = 解：半径为 R。所以，当 时， 12 rrr 。 5 有一细长螺线管其自感系数VnL 2 =， 若将此螺线管平分成两个， 每一个螺线管的自感系数为 1 L及 2 L， 它们的互感系数为M，以下答案哪一个正确 （A）由VnL 2 =可以看出，细长螺线管其自感系数与螺线管的体积成正比，把螺线管平分成两个， 则每一个螺线管的体积为原来的一半，所以 21 LLL+=； （B）由两个线圈串联时的自感系数 121 22LMLLL+=； （C）由两个线圈串联时的自感系数 121 2LMLLL+=； （D）由两个线圈串联时的自感系数 121 22LMLLL+=。 答案：B 解： 因为当把细长螺线管平分成两个螺线管时， 原螺线管的自感系数应包括两个螺线管的自感系数 1 L、 2 L 及它们之间的互感系数M。 至于螺线管的自感系数与螺线管的体积成正比的公式，利用了无限长螺线管内磁场的结论。对有限体积 的实际螺线管来说，它只是一个近似的关系。如果该螺线管足够长， 1 L远远大于M时，以上四个答案趋 向一致。 二、填空题二、填空题 1如图 5-4 所示，一个矩形线圈在均匀磁场中以角速度旋转， 当它转到图 a 和图 b 位置时感应电动势的大小分别为= a ； b =。 答案： a BS=；0 b =。 解：回路中感应电动势的大小由穿过回路的磁通量的变化率决定。矩形线圈转到图中位置a时，感应电动 势最大；转到位置b时，感应电动势为零。 初始时刻 （t= 0） 矩形线圈平面的法线n 与均匀磁场的磁感应强度 B 平行， 则穿过线圈的磁通量为BS=， 经过t后，n 与 B 的夹角为t=，此时通过矩形线圈磁通量为： coscosBSBSt = 故感应电动势sin d BSt dt = 在位置 a，90t=，电动势最大， a BS=； 在位置 b，0t=，电动势最小，0 b =。 2半径为R的无限长园柱导体电流（图 5-5） ，电流强度为I。横截面上各点的电流密 度相等，求每单位长度导体内所储存的 磁能。 答案： 2 0 16 I 。 解：设导体电流方向由下向上，则磁感应强度的方向如俯视图（图 5-5）所示，根据安培环路定理，无限 O 图 5-5 R r B a b 图 5-4 第 3页共 6页5 电磁感应习题详解习题册-下-5 3 长载流园柱导体内部离轴线距离为r处的磁感应强度 0 2 2 I Br R = 磁场能量体密度为 2 0 2 m B w = 取半径为r，厚为dr，长为l的体积元2dVrldr=，则磁场能量为 2 0 0 1 2 2 R mm v B Ww dVrldr = 每单位长度所储存的磁能为 222 2300 0 24 000 0 11 2() 2 222416 RRR m WIIBrI rdrrdrr dr lRR = 3如图 5-6，一矩形导体回路ABCD放在均匀外磁场中，磁场的磁感应强度B 的大小为 3 6.0 10B=高 斯，B 与矩形平面的法线n 夹角60=；回路的CD段长为l=1.0m，以速度v=5.0m/s 平行于两边向外滑 动，如图所示。则求回路中的感应电动势的大小和方向分别为和；感应电 流方向。 答案：1.5V i =，方向DC；感应电流方向DCBAD。 解：回路中的感应电动势为 ()cos coscos i d BSddS BBlv dtdtdt = 34 =6.0 10101 0 5 0 cos601.5V o = 负号表示 i 的方向(非静电力的方向)为 DCBAD，这个方向就是感应电流的方向。 4如图 5-7 所示，两根平行长直导线置于空气中，横截面半径都是a，两导线中心相距为d，属于同一回 路。设两导线内部的磁通量可忽略不计。求这一对导线单位长度的自感系数。 答案： 0lnd a L a =。 解：自感一般用LI =进行计算。设电流为I，算出电流I的磁场分布， 进而算出自感磁通量，即可求出结果。 设电流和坐标的方向如图 5-7 所示，则在离o为x处的总磁感应强度 () 00 22 II B xdx =+ 通过图中阴影部分面元的磁通量 0 11 2 I dBldxldx xdx =+ 通过整个中心平面的磁通量 00 11 ln 2 da a IlIlda ddx xdxa = =+= 所以，平行导线单位长度的自感系数 0lnd a L Ila = 第 4页共 6页5 电磁感应习题详解习题册-下-5 4 5真空中一均匀磁场的能量密度 m w与一均匀电场的能量密度 e w相等，已知0.5TB=，则电场强度 为。 答案： 8 1.5 10 V/m。 解：依题意，有 2 2 0 0 11 22 B E = 88 00 1 3 100.51.5 10 V/mEBcB = = 三、计算题三、计算题 1长为L的金属细杆ab与载有电流的无限长直导线共面，且绕端点a以角速度在公共平面内转动， 如 图 5-8 所示 。当细杆转到与水平线夹角为时，求ab两点的电势差 ab U。 答案： 00 0 2 0 cos cosln 2 cos ab IrL ULr r + = 。 解：积分路径选为ba，则cos 0 lrr+=，且lv=， cos dr dl = 0 () 2 i I dvBdlvBdlldl r = 00000 2 22coscos2cos i IIrrIrrldr ddldr rrr = = = 0 0 cos 0000 0 22 0 cos cosln 2 cos2 cos rL ii r IrrIrL ddrLr rr + + = = 00 0 2 0 cos cosln 2 cos ababi IrL UUULr r + = 2如图 5-9 所示直角三角形金属PQS框放在均匀磁场B 中， B 平行于边 PQ，PQ边长为b，PQ边与QS 边夹角为，当金属框绕PQ边以角速度转动时，求（1）回路的总感应电动势； （2）各边的感应电动势。 答案： （1）0=； （2）PQ边： 1 0=，PS边： 22 2 1 tan 2 Bb=，QS边： 22 3 tan 2 1 Bb=。 解：本题先求回路的总感应电动势，再求各边的感应电动势较为方便。 （1）在线圈旋转过程中，磁力线总与线圈平面平行，通过线圈的磁通量恒为零，其感应电动势 0 i d dt = = （2）求各边的动生电动势() i L vBdl= PQ边：v= 0，所以其动生电动势 1 0=。 PS边： 2 ()dvBdlvBdl= 即 tan 22 2 0 1 tan 2 b lBdlBb = （其中tanPSb=） B P S b Q 图 5-9 0 r a 5-8图 第 5页共 6页5 电磁感应习题详解习题册-下-5 5 QS边： 312 =，所以 22 32 1 tan 2 Bb=。 3限制在圆柱形体积内的均匀磁场，磁感应强度为B ，方向如图 5-10 所示。圆柱的 半径为R，B 的数值以 6 10 T/s 的恒定速率减小。当电子分别位于磁场中a点、b点与 c点时，假定r= 0.5m，求电子获得的瞬时加速度的大小和方向。 答案： （1） 42 4.4 10 (ms) a a =，方向水平向左； （2）0 b a=； （3） 42 4 4 10 (ms) c a =，方向水平向右。 解：本题先用 i LS B E dldS t = 求出涡旋电场 i E 的分布，再由 ie FeEm a= 求出电子的加速度。 i E 线是围绕轴线b的同心圆， B t 为常量，面积元dS 的方向取与B 的方向一致，于是 由 i LS B E dldS t = ，得 2 2 i B Err t = ， 2 i rB E t = 电子位于b点时，因r= 0，0 i E=，其加速度0 b a=；电子位于a点时，其加速度 19 642 31 1 6 100 5 ()104 4 10 (ms ) 29 1 102 i a ee eEerB a mmt = ，方向水平向左； 电子位于c点时的加速度 42 4 4 10 (ms ) c a = ，方向水平向右。 因 6-1 10 Ts B t = ，所以 i E线的方向是顺时针的。电子带负电，其加速度方向与 i E相反，故有以上结果。 4在垂直于半径为a，厚为b的金属圆盘面方向上，加一均匀磁场，如图 5-11 所示，今使磁场随时间变 化，k dt dB =，k为一常量，已知金属圆盘的电导率为，求属圆盘内总的涡流。 答案： 2 1 4 ik ba=。 解：在半径为r的导体回路中产生的感生电动势为 22 i ddB drr k dtdt = 内半径为r，外半径rdr+，长为 b 的圆柱体的电阻为 2r dR bdr = 在这体元中的涡流为（忽略自感的影响） 2 1 22 i dbdr dir kk brdr dRr = 故金属圆盘中的总涡流为 2 0 11 24 a idik brdrk ba= 5一个n匝圆形细线圈，半径为b，电阻为R，以匀角速绕其某一直径为轴而转动，该转轴与均匀磁场B a b c R B r r 图 5-10 图 5-11 b B a r b dr 第 6页共 6页5 电磁感应习题详解习题册-下-5 6 垂直。假定有一个面积为A（很小）的小铜环固定在该转动线圈的圆心上，环面与磁场垂直，如图 5-12 所 示，求在小铜环内产生的感应电动势（忽略小铜环对圆形线圈的感应） 。 答案： 2 0 cos2 2 i n bBA t R =。 解：设大圆形线圈的法线与磁场夹角为，线圈由0=的初位置开始转动，任一 时刻t=，则线圈在磁场中转动时所产生的感应电动势和电流为 ()() 22 cossin i ddd B Snb Btn bBt dtdtdt = 2 sin i n bB it RR =（1） 感应电流在小铜环处产生的磁场B ，在环面范围内视为均匀（因 A 很小） 。考虑到式（1） ，有 2 00 ( ) sin 22 ninb B Bt bR = = （每匝线圈中的电流为i，所以通过小线圈的应是n个线圈电流在圆心处的磁场之和） 所以在铜环中的感应电动势为 ()() cos i ddd BABAt dtdtdt = 222 00 sincoscos2 22 nb BAnbBAd ttt dtRR = = 图 5-12 A b B 第 1页共 5页6铁磁质、电磁场与电磁波习题详解习题册-下-6 1 习题习题六六 一、选择题一、选择题 1如图 6-1 所示，平板电容器（忽略边缘效应）充电时，沿环路 12 LL、磁场强度H 的环流满足 （A） 12 LL H dlH dl ；（B） 12 LL H dlH dl= ； （C） 12 LL H dlH dl，故 i E线的方向为逆时针方向。 由 i SEH= 知坡印廷矢量S 的方向指向轴心，其大小为 2 00 11 22 i didi SE Hnrnin ri dtdt = 5沿 x 方向传播的平面电磁波，E 矢量在 y 方向振动，振幅已知。求： （1）磁场强度的振动方向及振幅大 小； （2）平均能流密度。 答案： （1） 0 00 0 HE =； （2） 2 0 0 0 1 2 SE = 。 解： （1）磁场强度H 的振动方向沿 Z 轴，如图所示，设电场振幅 0 E已知，则磁场强度的振幅为 0 00 0 r r HE =。在真空中1 rr =，则 0 00 0 HE = （2）设 0cos x EEt c = ， 0cos x HHt c = 平均能流密度 22 0 00000 00 0 1111 cos() 22 TTx SEHdtE HtdtE HE TTc = Y s Z O x H 第 1页共 5页7相对论习题详解习题册-下-7 1 习题七习题七 一、选择题一、选择题 1在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？ （1）一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速。 （2）质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状 态而改变的。 （3）在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切 惯性系中也是同时发生的。 （4）惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看 到这时钟比与他相对静止的相同的 时钟走得慢些。 （） （） ， （） ， （） ；（） （） ， （） ， （） ； （） （） ， （） ， （） ；（） （） ， （） ， （） 。 答案：B 解：根据公式 22 12 2 12 12 1 )(-)( cv xx c v tt tt = 可知说法（3）是不正确的，而（） ， （） ， （）说法是正确的。 2两个惯性系S和S，沿x(x)轴方向作匀速相对运动，相对速度为u。设在S系中某点先后发生两个 事件， 用静止于该系的钟测出两事件的时间间隔为 0 ， 而用固定在S系的钟测出这两个事件的时间间隔为 。又在S 系 x轴上放置一静止于该系且长度为 0 l的细杆，从S系测得此杆的长度为l，则 （A） 00 ; ll ； （D） 00 ; ll ; ll )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动， 若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为 _。 答案： 2 0) /(1lac。 解：根据运动杆长度收缩公式 2 0 )/(1cull= 则 2 0 1 ( / )alu c，解得 2 0 1 ( / )uca l 4设想有一粒子以0.050c的速率相对实验室参考系运动，此粒子衰变时发射一个电子，电子的速率为 0.80c，电子速度的方向与粒子运动方向相同。则电子相对实验室参考系的速度为_。 答案：0.817c x u=。 解：取实验室为S系，运动粒子为S系, 则电子相对S系的速度为 2 0.817 c 1/ x x x uv u u v c + = + 第 3页共 5页7相对论习题详解习题册-下-7 3 5已知 子的静止能量为 105.7 MeV，平均寿命为 8 2.2 10 s 。试问动能为 150 MeV 的 子的速度v 是_；平均寿命 是_。 答案：0.91c； 8 5.31 10 s 。 解：据相对论动能公式 2 0 2 cmmcEK= 得 2 0 2 1 (1) 1( / ) K Em c v c = 即 2 2 0 1 11.419 1( / ) K E m c v c = 解得0.91vc= 平均寿命为 80 2 5.31 10 s 1 ( / )v c = 三、计算题三、计算题 1固定在惯性系K中的刚性棒沿x轴放置，长度 120 xxL=由K系(K系相对于K系沿正x方向以 匀速v运动)观测者测得棒长是 12 xxL=，那么L和L0的关系可由下列式子推得： 根据洛仑兹变换 1 1 2 1 ( / ) xvt x v c + = ， 2 2 2 1 ( / ) xvt x v c + = ，得 21 21 2 1 ( / ) xx xx v c = 即 0 2 1( / ) L L v c = 显然这个结果与动尺缩短的相对论结论是矛盾的，请改正。 答案：以上的推导不正确。 解：因为在K系中棒在运动，必须同时测量棒的两端，以确定其长度，但在K系中看来，这将是不同时 的，所以在以上推导中t不可能相同，应改为 2 22 2 2 ( /) 1 ( / ) tv cx t v c = ， 2 11 1 2 ( /) 1 ( / ) tv cx t v c = 且 12 tt= 由以上关系可得 212121 2 1 ()() 1 ( / ) xxxxv tt v c =+ 2112 2 2 1 () 1( / ) v ttxx c v c = 消去 12 tt并整理得 2 2121 1 ( / ) ()xxv cxx= 即 2 0 1 ( / )LLv c= 这才是动尺缩短的结论(L，而 c =，所以 12 ，试求： （1）归一化常数A和归一化波函数； （2）该粒子位置坐标的概率分布函数（概率密度） 。 答案： （1） 3/2 2A=， 3/2 20 ( ) 00 x xex x x = ； （2） 322 40 00 x x ex x = 。 解： （1）由归一化条件 2 ( )1xdx + = ，有 0a a a ax x x x ( )x x x x 4 a a a a 2 a a a a 4 3a a a a 第 4页共 5页9概率波习题详解习题册-下-9 4 2 0 2222222 3 00 01 4 xx A dxA x edxA x edx + += 得 3/2 2A=（积分公式 2 3 0 2 d by y ey b + = ） 经归一化的波函数为 3/2 20 ( ) 00 x xex x x = ； （2）粒子的概率分布函数为 322 240 ( ) 00 x x ex x x = = 3一维无限深的方势阱中粒子的定态波函数为 2 ( )sin,1, 2,. n n xxn aa =，试求下述两种情况下粒 子在0x=到 3 a x=之间被找到的概率：当（1）粒子处于基态时； （2）粒子处于2n=的状态时。 答案： （1）0.19； （2）0.40。 解： （1）当粒子处于基态时 1 2 ( )sinxx aa = 粒子在0x=到 3 a x=之间被找到的概率为 2 2 33 1 00 213 ( )sin0.19 34 aa n Pxdxx dx aa = （2）当粒子处于2n=的激发态时 2 22 ( )sinxx aa = 粒子在0x=到 3 a x=之间被找到的概率为 2 2 33 2 00 2213 ( )sin0.40 38 aa Pxdxx dx aa =+= 4设有一电子在宽为 0.20 nm 的一维无限深的方势阱中。 （1）计算电子在最低能级的能量； （2）当电子处于第一激发态（2n=）时，在势阱中何处出现的概率最小，其值为多少？ 答案： （1）9.43eV ； （2）