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广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 第七章第七章无穷级数无穷级数 一、选择题 1 当)( 1 n nn ba收敛时， 1n n a与 1n n b（） （A）必同时收敛。 （B）必同时发散（C）可能不同时收敛(D）不可能同时收敛 2 级数 1 2 n n a收敛是级数 1 4 n n a收敛的（） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （B）充要条件（D）既非充分也非必要条件 3 1n n a为任意项级数，若 n a 1n a且0lim n n a，则该级数（） （A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定 4关于 0 2 ) !( n n n x y，则yyx =（） （A）y（B）2 y （C） y （D）0 二、填空题 1 幂级数 0 ) 10( n p n p n x 的收敛区间为。 2 级数 01 1 n n a 当 a 满足条件时收敛。 3 幂级数 0 13 8 ) 1( n n nn n x 的收敛半径为。 4 若)41() 1( 3 1 xxa x n n 则 n a=。 三、判断下列级数的敛散性。 1 1 )1 ( 3 n n n n n 2.dxxx n n )1 ( 1 1 0 2 3 1 2 ! 12 n n n n 4. 1 1 sin )2ln( 1 n nn 四、判断下列级数的敛散性，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛。 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 1)1() 1( 1 n n nn2. 1 1 1 ln) 1( n n n n 五、求下列幂级数的收敛区间。 1 12 1 1 )!12)(12( ) 1( n n n x nn 2. 12 1 4 ) 1( n n n n x n 六、将下列函数展成在指定点的幂级数，并求出其收敛区间。 10(sin)( 2 xxxf处）2.xxxf在(ln)(=1 处） 八求级数) 1( 1 2 1 2 xx n n n n 在收敛区间内的和函数，并求 1 2 2 1 n n n n 的和。 九求证： 2 1sin 1 n n nx 第八章第八章微分方程微分方程(1) 一、 填空题 1 已知曲线 y=y(x)过点 （0，2 1 ） 且其上任一点（x,y） 处的切线斜率为 xln(1+x2)， 则 f(x)= 2以1 2 2 ycx为通解的微分方程是（其中为任意常数） 3。微分方程 ydx+(c2-4x)dy=0 的通解为 4微分方程axxyyln的通解为 5已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解 e-x,ex,sinx,cosx,则该微分方程为 二、选择题 已知函数 y=f(x)在任意点 x 处的增量y= 2 1x xy 且当xo 时，是比x 更高 阶的无穷小量，y(o)=，则 y(1)等于 （A）2（B）（C） 4 e（D） 4 e 2 y=y(x)是微分方程0 sin x eyy的解，且0)( 0 x f，则 f(x)在 （A）x的某个邻域内单调增加（B）x的某个邻域内单调减少 （C）x处的取极小值（D）x处取极大值 3一曲线通过点 m(4.3),且该曲线上任意一点 p 处的切线在 y 轴上的截距等于原点到 p 的距 离，则此曲线方程为 （A）25 22 yx（B） 10 2 2 x y（C）25)9()9( 22 yx（D） 16 4 2 x y 4下列方程中可利用yp,yp 降为 p 的一阶微分方程的是 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 （）0)( 2 xyxy（）0 2 yyyy （C）0 22 xyyyy(D)0 xyyy 三、求解下列微分方程 1.求 ydx+(x2y-x)dy=0，满足1 1 x y的特解， 2.求 x e yy 1 1 的通解 四、求xxyysin 的通解。 五、已知 xx exey 2 1 ， xx exey 2 ， xxx eexey 2 3 是某二阶线性非齐次微分 方程的三个解，求此微分方程。 六、已知函数 f(x)可微 ，且对任意实数 x,y 满足：f(x+y)=)()(xfeyfe yx ,求此函数 f(x). 七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为 m,机车牵引力为 F,阻力为 a+bv,其中 a,b 为常 数，v 为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律 s=s(t). 第八章第八章微分方程微分方程 (2) 一、单项选择题 设 y=)(xf是方程042 yyy的解，若, 0)( 0 xf则)(xf在 0 x点 （A）取得极大值； （B）取得极小值； （C）某邻域内单调递增； （D）某邻域内单调递减； 函数 x ey 2 3是方程04 yy的 （A）通解； （B）特解； （C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不对 微分方程xyy 2 cos52 的特解应具有形式（其中，a,b,c 为常数） （A）);sincos( 22 xbxax（B）xcxbax2sin2cos （C）a+bcos2x;(D)ax2+bcos2x+csin2x 4.微分方程 x xeyyy 3 96 特解应具有形式 （A） （Ax+Bx）e3x(B)x(Ax+B)e3x（C）x2(Ax+B)e3x（D）Ax3e3x 5.设一动点以等加速度 a 作直线运动，且其初速度为 v0,初始位移为 s0，则此质点规律是 （A）s=v0+s0;(B) 00 2 2 1 stvats(C) ;0 2 0 stvs(D) 00 2 stvats 6 函数 f(x)满足关系式)(, 21) 2 ()( 2 0 xfndt t fxf x 则 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 （A）1n2ex;（B）1n2e2x;（C）ex+ln2;（D） e2x+ln2. 二、填空题 1.微分方程02 yyy的通解 y= 2.以2 21 为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是 3.以xexee xxx cos,sin,为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是 4.微分方程yyy通解32 三、判断下列方程的类型并求其解 求的特解满足20)23( 0 5 x ydyyxydx 求(xey+1)dx+(yex y 2 2 1 )dy=0 的通解 四、求微分方程的 x xeyyy 2 65 的通解 五、 已知函)(xfy 的图形经过原点和点 M （1， 2） ， 且满足微分方程，0 1 2 2 y y y求 ).(xf 六、设二阶常数线性微分方程 x eyyay 的一个特解为,)1 ( 2xx exey试确 定常数,并求该方程的通解 七、设函数)(xf连续可微，, 1) 1 (f且对任意闭曲线 C 都有, 0)(4 3 dyxxfydxx C 求).(xf 微积分试题及答案微积分试题及答案 一、单项选择题一、单项选择题 1设),(yxf在点),(ba处的偏导数存在，则 x bxafbxaf x ),(),( lim 0 =。 A、 0； B、),2(bafx； C、),(bafx； D、),(2bafx。 20 lim n n u是级数 0n n u发散的。 A、 必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 3在区域D： 22 0xRy上的dxy D 2 值为。 A、 2 R； B、 2 4 R； C、 3 3 2 R； D、0。 4下列函数中，哪个是微分方程02 xdxdy的解。 A、xy2； B、 2 xy ； C、xy2； D、 2 xy。 二、计算题（二、计算题（16 分）分） 1 设),( 22xy eyxf，其中f具有一阶连续偏导数，求 x ， yx 2 。 2 已知1xyzxyz，确定的),(yxzz ，求dz。 三、 （10 分）求 dxdydzyx)( 22 的值，其中为曲面zyx2 22 和平面2z所围 成的区域。 四、 （10 分）求dxdyzdydzx 22 ，其中为 22 yxz和1z所围立体边界的外侧。 五、 （12 分）求微分方程 1)( 1)( 02sin y y xyy 的特解。 六、 （10 分）求 0 1 n n n x 的和函数。 参考答案参考答案 一、一、单项选择题（15 分，每题 3 分） 1、 D；2、A； 3、D； 4、B。 二、计算题（16 分） 1 xy yefxf x u 21 2 4 分 xyxyxyxyxy xyefefxefyfyexefyfx yx u 2222211211 2 )2()2(2 2222 2 21 2 12 2 11 222fxyefefxyefeyfexfxy xyxyxyxyxy 10 分 21xyzxyzF1 分 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 xyF xzF yzF z y x 3 分 xy yz F F x z z x xy xz F F y z z y 5 分 )()( 1 dyzxdzzy yx dz 6 分 三、(10 分)dzdddxdydzyx 2 0 2 2 3 2 0 22 2)( 6 分 3 16 10 分 四、 （10 分）dxdyzdydzx 22 dxdydzzx)22( 4 分 11 0 2 0 )cos(2 r dzzrrdrd 8 分 3 2 10 分 五、 （12 分）01 2 r ir2 分 设此方程的特解为：xBxAy2sin2cos * 代入原方程得 xxBxA2sin2sin32cos3 3 1 0 B A 6 分 故此方程的通解为：xxcxcy2sin 3 1 sincos 21 10 分 代入初始条件 3 1 , 1 21 cc 特解为：xxxy2sin 3 1 sin 3 1 cos12 分 六、 （10 分）1 2 1 lim n n n 1R2 分 从而收敛域为) 1 , 1 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 设 0 1 )( n n n x xS )sin(xx 0 1 1 n n n x ) )(xxS x x n n 1 1 0 ) 1(x )1ln( 1 1 )( 0 xdx x xxS x ) 11(x8 分 当0x时，有)1ln( 1 )(x x xS 1)()0( lim 0 xSS x 0, 1 ) 1 , 0()0 , 1),1ln( 1 )( x xx xxS10 分 第六章第六章多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用 一、填空题 1 若 x y uarctan ，则 x u =. 2 由 xy+yz+zx=1 确定隐函数 z=f(x,y),则 x z =. 3 函数 z= 22 2yx x - xy 1 的定义域为 D=(x,y) 4 已知 f(x+y,x-y)=x2y+y2,则 f(x,y)=. 二、设函数ln()Zxy，则 Z x () (A) 1 y (B) x y (C) 1 x (D) y x 三、设 2 sin(),Zxy则 Z x () (A) 2 cos()xyxy(B) 2 cos()xyxy(C) 22 cos()yxy(D) 22 cos()yxy 四、设3xyZ ，则 Z x () (A)3xyy(B)3 ln3 xy (C) 1 3xyxy (D)3ln 3 xy y . 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 五、选择题 1 使 yx z 2 =2x-y 成立的函数是（） （A） 、Z=x2y- 2 1 xy2+ex+y（B） 、Z=x2y- 2 1 xy2+ex (C)、Z=x2y- 2 1 xy2+sin(xy)（D） 、Z=x2y- 2 1 xy2+exy+3 2.函数 f(x,y,z)=4(x-y)-x2-y2() (A)、有极大值 8 （B） 、有极小值 8 （C）无极值 （D）有无极值不确定 2 u=e-xsin y x ,则 yx u 2 在点（2， 1 ）处的值为（） （A） e （B） （ e ）3（C） （ e ）2（D）1 3 z=xy+x3则 x z + y z =（） （A）x+y+2x2（B）x+y+3x3（C）2x+y+3x2（D）x+y 六、设 u=f(xy,x+2y),f 有连续的二阶偏导，求 yx u 2 。 七、设 z=z(x,y)由方程 x2+y2+z2=y f( y z )确定，且 f 可微，求证：(x2-y2-z2) x z +2xy y z =2xz 八、设 w=f(t),t=(xy,x2+y2),其中 f,有连续二阶偏导，求 2 2 x w 。 第六章第六章多元函数微分学多元函数微分学 一、单项选择题一、单项选择题 1.设 z=x2sin3y,则 y z =() A.-3x2cos3yB.-x2cos3yC.x2cos3yD.3x2cos3y 2.函数 z=xy(x0,x1)，则 dz|(2,2)=（） A.4(dx+dy)B.4(dx-dy) C.4(dx+ln2dy)D.4(dx-ln2dy) 3.设函数 f(x,y)=xy+ x y ,则) 1 , 1 (fx=（） A. 0B. 1C. 1D. 2 4.设 22 lnyxz则 )1 , 1( |dz（） 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 A.dydx 2 1 2 1 B.dydx22 C.dydx 3 1 3 1 D.dydx33 5.设函数 f(x,y)=3x2+2xy-y2, 则 dz|(1,-1)=（） A.(6x+2y)dx+(2x-2y)dyB.4dx+4dy C.8dxD.(6x-2y)dx+(2x-2y)dy 6.设 u=x2+3xy-y2，则 yx u 2 =(). A.-2B.2 C.3D.6 二、填空题二、填空题 1.f(x,y)= x2y 1 2 的定义域是_. 2.已知 x y ez ，则dz. 3.设函数 z=x2+xy-y2，则 dz=. 4.设 z=f(x 2+y2)满足 y z y x z x =1，其中 f 可微，则 f (t)=_. 5.设 y xz ，则 x z ， y z . 三、解答题三、解答题 1.设 y yxz)1 ( 2 ，求 y z x z , 2.函数),(yxfz 由方程 y z z x ln所确定，求： x z 3.设),(yxfz 是由方程0 3 xyze z 确定的隐函数，求z的全微分dz。 计算二重积分 (6 ) D xy dxdy ，其中 D 是由 ,5 ,1yx yx x 所围成的域 求积分 11 2 00 3 y dyxy dx () D xy d 计算二重积分， 2, 1,Dyxxx其中 由曲线轴围成 计算二重积分, xy D xe d ( , )|01, 01Dx yxy其中 计算二重积分 xy D edxdy ，其中区域D是由0,1,0,1xxyy围成的矩形。 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 求二重积分() D xyxy dxdy ，其中D是由x轴及1xy三直线围成的域。 计算二重积分, D xdxdy 其中D为 2 yx与 2 4yxx所围成的区域。 计算二重积分() D xy dxdy ，其中D表示1x 及1y 围成的区域。 求二重积分 2 D x ydxdy ，其中D是由2yx，0y ，1x 围成。 22 ,2(0) 2 D p xy dxdyDypxxp 11. 求是由和围成的区域 12.设( , )ZZ x y由方程 2 ln0 Z ex yZ确定，求dZ 13.设函数 2 ln()Zxy，求dZ ( , )2,( , ) y y f x yxyefx y已知求 2 ( , ),( , )( , ) xy xy f x yeyxfx yfx y 已知求和 22 2 ln(), ZZ Zxxy xx y 设求 设 22 ln,Zxy求偏导数 已知 2242 (3), xy ZZ Zxy xy 设求和 四、证明题四、证明题 1.证明)( x y Fz 满足方程0 y z y x z x。 2.设 z=)yxln(，证明 2 1 y z y x z x 30.设 z=f(x2+y2),其中 f(u)为可导函数，求证 y z x x z y =0. 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用 一、单项选择题一、单项选择题 1.设)(xf在区间,ba上连续，)()()(bxadttfx x a ，则)(x是)(xf的 （） A.不定积分B.一个原函数 C.全体原函数D.在,ba上的定积分 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 2. 3 0 2 0 sin lim x dtt x x （） A. 4 1 B. 3 1 C. 2 1 D.1 3. 2 2 cos xdxx（） A. 3 2 B. 3 4 C. 0D. 3 2 4. xdxx sin 2 （） A.2B.1C.-2D.0 5. dx xcos21 xsin 3 （） A.0B.1C.-1D.2 6.设常数0a，则 dxxa a 22 0 （） A. 2 aB. 2 4 a C.D.aarcsin 7. 2 1 dx) 1x3(（） A. 2 9 B.3C.4D. 2 7 8.设 1 0 a, 2dx)ax2(则常数（） A.-1B.0 C. 2 1 D.1 9.广义积分 1 x dx （） A.收敛B.发散 C.敛散性不能确定D.收敛于 1 10.下列广义积分中，收敛的是（） A. 1 dxxB. 1 1 dx x C. 1 1 dx x D. 1 2 1 dx x 11. 0 arctan x xdx () (A)1 1 1 2 x (B) 2 1 arctanln(1) 2 xxx 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 (C)1 1 1 2 x (D) 2 1 1 x 12.下列积分可直接使用牛顿莱不尼兹公式的有 () (A) 5 3 2 01 x dx x (B) 1 2 11 x dx x (C) 4 3 2 02 (5) x dx x (D) 1 1 ln e e dx xx 13.设)(xf为连续函数，则( ) x a f t dt 为 () (A)( )f t的一个原函数(B)( )f t的所有原函数 (C)(xf的一个原函数(D)(xf的所有原函数 1. 0 11 ( )( ) 22 x f t dtf x ，且(0)1f，则( )f x () (A) 2 x e(B) 1 2 x e(C) 2x e(D) 2 1 2 x e 2. 1 2 1 1 dx x () (A)-2(B)2(C)0(D)发散 二、填空题二、填空题 1. 2 1 |1|dxx_ 2.比较积分大小： 2 0 xdx_ 2 0 sin xdx 3. dx x xx 2 2 1 sin _ 4. 1 1 3 ._dx) 1xcosxx3( 5.已知函数 f(x)= 2 1 dx)x(f 0x, x1 0x, x1 则_. 6.函数 x xtdty 0 2 sin 在处的导数值为. 7.设 xdtt x 则, 6) 12( 1 . 8.定积分 1 2 11 x dx x _； 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 9.定积分 11 2 1 2 1 x e dx x = _； 10.若广义积分 2 0 1 1 k dx x ， 其中k为常数，则k _； 11.定积分 1 32 1 sinxxdx _ ； 1. 1 2 11 x dx x _； 2. 3 0 (sin) x tt dt _ ； 3.广义积分 2 1 1 dx x _ ； 4.( ) b a d f x dx dx _； 5.设)(xf在 , a b上连续，则( )( ) bb aa f x dxf t dt _ ； 6. 2 xy 与1y所围面积为 _面积单位； 7.若函数)(xf在 , a b上连续，)(xh可导，则 ( ) ( ) h x a d f t dt dx _ ； 8.当x_ 时， x t dttexF 0 2 )(有极值； 9.设 0 ( ) x t f xte dt，则(0) f _ ； 10. 若 0 2 kx edx ，则k _ ； 11. 2 1 (ln ) e dx xx _ ； 12. 2 1 3 1 x x e dx _； 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 13. 2 0 sin x d ttdt dx _； 14.若 2 0 (23)0 k xxdx ，则k _； 15. 1 2 1 1 x x dx x _ . 三、解答题三、解答题 1.设 , 21, 5 ; 10,2 )( x xx xf求 2 0 )(dxxf 2.设 30,1 02, )( 2 xx xx xf 当 当 ，求： 3 2 )(dxxf 3.求下列定积分 （1） 1 0 2 )3(dxxx（2） 4 1 1x dx （3） 1 0 . 2 dxxe x （4） dsinsin 0 53 1.求定积分 0 ()cosxxdx 2.求定积分 1 2 2 01 x dx x 3.求定积分 3 0 (1 sin) x dx 4.求定积分 9 1 1 dx xx 5. 1 22 0 1xx dx 6. 5 1 ln e dxx 7. 2 2 1 1dxx 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 8.计算 2 5 0 cossinxxdx 9.求定积分 4 1 1x dx x 10.求定积分 4 0 1 1 dx x 11. 2 0 sin2xdx 4.计算抛物线xy2 2 与直线4 xy所围成的图形的面积。 5.求由曲线 y= x 1 与直线 y=x 及 x=2 所围图形的面积. 6.求由曲线 y=x2与直线 y=2x+3 所围成图形的面积 四、证明题四、证明题 1.设函数 f(x)是0，1上的连续函数，证明： 2 0 2 0 .dx)x(cosfdx)x(sinf 2.证明： 2 0 2 0 nn ,xdxcosxdxsin其中 n 为正整数. 五、计算题五、计算题 1.求在区间0,2 上，由x轴与sinyx所围成的图形的面积。 2.求曲线 2 xy 与直线xy 围成的图形的面积。 3.求曲线 x ye， x ye和1x 围成的平面图形的面积。 4.求曲线 x y 1 ，2x 和4yx围成平面图形的面积。 5.求曲线1 2 xy与1 xy围成的图形的面积。 6.设平面图形由 x ye,ye，0x 围成， (1)求此平面图形的面积； (2)将上述平面图形绕 x轴旋转，求所形成的旋转体的体积。 7.求由直线25yx与曲线 2 1 4 yx所围平面部分的面积； 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 微积分应用题部分微积分应用题部分 四、应用题四、应用题 1 1、 某车间靠墙盖一长方形小屋,现有存砖只够砌 24 米长的墙,问该屋长、宽各为多少时小 屋面积最大？最大值为多少？ 2 2、某厂每批生产某种产品 x 单位时的费用为 C（x）=5x+200（元） ， 得到的收益为 R（x）=10x- 2 01. 0x（元） ，问每批生产多少单位时，可以使利润最大？ 3 3、某商品的价格 p 与需求量 Q 的关系为 p=10- 5 Q （1）求需求量为 20 时的总收益 R、平均收益R、和边际收益 R （2）Q 为多少时总收益最大？ 4 4、某产品生产 x 单位时的总成本 C 为 x 的函数 C=C（x）= 2 1200 1 1100x （1）求生产 900 单位时的总成本和平均单位成本； （2）生产 900 到 1000 单位的总成本的平均变化率； （3）生产 900 单位和 1000 单位的边际成本； 5、欲围造一个面积为 15000 平方米的矩形运动场，其正面材料造价为每平方米 600 元，其 余三面材料造价为每平方米 300 元，试问正面长为多少时，才能使材料费量少？ 6、 某商品的供应量Q与价格P的关系是Q=1000 (P-70)， 市场需求量q与价格的关系是q=5000 （100-p）求 （1）需求量对价格的弹性； （2）供求平衡时价格和供应量各是多少？ （3）供求平衡时的边际收益的总收益。 7、某商品的总成本 C=1000+5q(q 为产量)，需求量 Q 与价格 P 的关系 Q=2000（10-p） ，求： （1）需求量对价格的弹性； （2）产销平衡时求边际利润； （3）求最佳产量。 8、设生产 x 件产品的成本为 C=25000+ 2 40 1 200xx ，问： （1）生产多少件产品，可使平均成本最小？ （2）若每件已 500 元的价格销售，则生产多少件时可获利最大？ 9、设某企业的总收入 R 与产量 x 的函数关系为 R=,4226 32 xxx总成本 C 与产量 x 的关 系为 C=8x+ 2 x，求： （1）利润函数； （2）边际收益函数； （3）边际成本函数 （4）产量为多少时获利最大？最大利润是多少？ 10、 设某商品的需求量 Q 是价格 p 的函数， 该商品的最大需求量为 1000 （即 p=0 时 Q=1000） ， 已知需求量的变化率为（边际需求） 广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作 总复习吖恰制作 p pQ）（）（ 3 1 3ln1000，求需求量 Q 与价格 p 的函数关系。 1111、设生产某产品 x 单位的成本 C 为 x 的函数，固定成本为 20 元，边际成本为 102 xxC）（，求总成本函数 C（x） 。 1212、在区间0，4上，计算曲线44 2 xyxxy轴以及轴，与所围城图形的面积。 1313、计算由面图形的面积）处的法线所围成的平，与该曲线在点（1 2 1 2 2 xy 1414、求由曲线轴旋所围成的平面图形绕与直线xxxxyxy0)0(,2 2 一周所生成的旋转体的体积。 15、计算由曲线 22 yxxy和