数字信号处理课后答案第6章高西全丁美玉第三版.pdf

教材第 教材第6 6 6 6章习题与上机题解答章习题与上机题解答 1 设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求通带截止频率 fp=6 kHz，通带最大衰减p=3 dB， 阻带截止频率fs=12kHz， 阻带最小衰减s=25 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)以 及实际滤波器的Ha(s)。 解解: （1） 求阶数N N N N。 s p sp sp 0.12.5 sp 0.10.3 lg lg 101101 17.794 101101 a a k N p k s = = 3 s sp 3 p 2 12 10 2 26 10 = 将ksp和sp值代入N的计算公式, 得 lg17.794 4.15 lg2 N= 所以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取 N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电 路得到简化）。 （2） 求归一化系统函数G(p)。 由阶数N=5直接查教材 第157页表6.2.1, 得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函 数G(p)为 5432 1 ( ) 3.2365.23615.23613.23611 G p ppppp = + 或 22 1 ( ) (0.6181)(1.6181)(1) G p ppppp = + 当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点： 121 j 22 e 0,1,2,3,4 k N k pk + + = 再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为 4 0 1 ( ) () k k G p pp = = 最后代入pk值并进行分母展开， 便可得到与查表相同的结果。 （3） 去归一化（即LP-LP频率变换）， 由归一化系统 函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。 由于本题中p=3 dB， 即c=p=26103 rad/s， 因此 c aa 5 c 54233245 ccccc ( )( )| 3.23615.23615.23613.2361 s p HsHp sssss = = = + 对分母因式形式， 则有 c aa 5 2222 ccccc ( )( )| (0.6180)(1.6180)() s p c HsHp sssss = = = + 如上结果中，c的值未代入相乘， 这样使读者能清楚地 看到去归一化后，3 dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。 2 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率 fp=3 kHz，通带最大衰减p=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减s=50 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)和 实际的Ha(s)。 解解: （1） 确定滤波器技术指标。 p=0.2 dB, p=2fp=6103 rad/s s=50 dB, s=2fs=24103 rad/s p=1, s s p 4 = (4) 求阶数N和。 s p 1 s 0.1 1 0.1 arch arch 101 1456.65 101 arch 1456.65 3.8659 arch 4 a a k N k N = = = 为了满足指标要求， 取N=4。 p 0.1 1010.2171 a = = (3) 求归一化系统函数G(p) 4 1 11 11 ( ) 2()1.7368() N N kk kk Q p pppp = = 其中， 极点pk由教材（6.2.46）式求出如下： (21)(21) ch sinjch cos1,2,3,4 22 1111 arsharsh0.5580 40.2171 k kk pk NN N = += = 1 2 3 4 ch0.5580sinj ch0.5580cos0.4438j1.0715 88 33 ch0.5580sinj ch0.5580cos1.0715j0.4438 88 55 ch0.5580sinj ch0.5580cos1.0715j0.4438 88 77 ch0.5580sinj ch0.5580cos0.4438j1.07 88 p p p p = += + = += + = += = += 15 (4) 将G(p)去归一化， 求得实际滤波器系统函数Ha(s)： p a 44 p 44 p 11 ( )( )| 1.7368()1.7368() s p p kk kk HsQ p spss = = = = 其中， sk=ppk=6103pk, k=1, 2, 3, 4。 因为p4=p1*, p3=p2*, 所以， s4=s1*, s3=s2*。 将两对共轭极点对应的因子相乘， 得 到分母为二阶因子的形式， 其系数全为实数。 16 2222 1122 248248 7.2687 10 ( ) (2Re | )(2Re| ) 7.2687 1016 (1.6731 104.7791 10 )(4.0394 104.7790 10 ) a Hs ss ssss ss ssss = + = + 也可得到分母多项式形式， 请读者自己计算。 3 设计一个巴特沃斯高通滤波器， 要求其通带截止频率 fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB， 阻带最小衰减s=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。 解解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求： p=20 kHz, p=3 dB fs=10 kHz, s=15 dB (2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式， p=1, s=p/s， 得到 p=1, p=3 dB , 2 s p s = s=15 dB (3) 设计相应的归一化低通G(p)。 题目要求采用巴特沃斯 类型， 故 p s 0.1 sp0.1 s sp p sp sp 101 0.18 101 2 lg lg0.18 2.47 lglg2 a a k k N = = = = = 所以， 取N=3， 查教材中表6.2.1， 得到三阶巴特沃斯归一 化低通G(p)为 32 1 ( ) 221 G p ppp = + (4) 频率变换。 将G(p)变换成实际高通滤波器系统函数H(s)： c 3 3223 ccc ( )( )| 22 p s s H sG p sss = = + 式中 c=2fc=220103=4104 rad/s 4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下： a 22 ( ) () sa Hs sab + = + (1) (2) a 22 ( ) () b Hs sab = + 式中a、 b为常数， 设Ha(s)因果稳定， 试采用脉冲响应不变 法将其转换成数字滤波器H(z)。 解解: 该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型 形式。 所以， 求解该题具有代表性， 解该题的过程， 就是 导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式。 设 采样周期为T。 (1) a 22 ( ) () sa Hs sab + = + Ha(s)的极点为 s1=a+jb, s2=ajb 将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）： 12 a 22 12 1221 22 121 22 1 22 ( ) () ()() () () () AAsa Hs sabssss A ssA ss sab AA sAsA s sab + =+ + + = + + = + 比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程： 12 1 22 1 1AA AsA sa += = 解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以 a 1/21/2 ( ) (j )(j ) Hs sabsab =+ + 套用教材（6.3.4）式， 得到 2 1(j )1(j )1 1 1/21/2 ( ) 1 e1 e1 e k k Tsab Tab T k A H z zzz + = =+ 按照题目要求， 上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。 但在工程实际中， 一般用无复数乘法器的二阶基本节结构 来实现。 由于两个极点共轭对称， 所以将H(z)的两项通分 并化简整理， 可得 1 122 1ecos() ( ) 1 2ecos()e aT aTaT zbT H z bT zz = + 这样， 如果遇到将 a 22 ( ) () sa Hs sab + = + 用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时， 直接套用上面 的公式即可， 且对应结构图中无复数乘法器， 便于工程 实际中实现。 a22 ( ) () b Hs sab = + (2) Ha(s)的极点为 s1=a+jb, s2=ajb 将Ha(s)部分分式展开： a jj 22 ( ) (j )(j ) Hs sabsab =+ + 套用教材（6.3.4）式， 得到 (j )1(j )1 jj 22 ( ) 1 e1 e ab Tab T H z zz + = + 通分并化简整理， 得到 1 122 esin() ( ) 1 2ecos()e aT aTaT zbT H z bT zz = + 5 已知模拟滤波器的系统函数如下： a 2 1 ( ) 1 Hs ss = + + (1) (2) a 2 1 ( ) 231 Hs ss = + 试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤 波器。 设T=2 s。 解解: . 用脉冲响应不变法 (1) a 2 1 ( ) 1 Hs ss = + + 方法一 直接按脉冲响应不变法设计公式， Ha(s)的极点为 12 1313 j,j 2222 ss= += a 1313 jj 2222 11 33 jj 33 ( ) 1313 jj 2322 33 jj 33 ( ) 1 e1 e TT Hs ss H z zz + =+ + =+ 将T=2代入上式， 得 1 j 311 j 31 11 1122 33 jj 33 ( ) 1 e1 e 2 3esin3 312ecos 3e H z zz z zz + =+ = + 方法二 直接套用4题（2）所得公式。 为了套用公 式， 先对Ha(s)的分母配方， 将Ha(s)化成4题中的标准形式： a 22 ( ) () b Hsc sab = + c为一常数 由于2 22 2 1313 1 2422 ssss + + =+=+ 所以 a 22 2 3 12 3 2 ( ) 13 13 22 Hs ss s = + + + 对比可知， ， 套用公式， 得 13 , 22 ab= 1 122 2 11 1122 2 3esin() ( ) 312ecos()e 2 3e sin3 312ecos 3e aT aTaT T zbT H z zbTz z zz = = + = + (2) a 2 111 ( ) 1 2311 2 Hs sss s =+ + + 2 11 1 2 1121 11 ( )| 1 e 1 e 11 1 e1 e T T T H z z z zz = =+ =+ 或通分合并两项得 121 12132 (ee ) ( ) 1 (ee )e z H z zz = + 用双线性变换法 （1） 1 1 a2 21 11 ,2 1 11 1 2 1 2111 2 12 2 1 ( )( )| 11 1 11 (1) (1)(1)(1)(1) 12 3 z sT T z H zHs zz zz z zzzz zz z = + = + + + = + + = + (2) 1 1 a2 1 11 1 11 1 2 1 221 2 12 1 1 ( )( )| 11 231 11 (1) 2(1)3(1)(1) 12 62 z s z H zHs zz zz z zzz zz z = + = + + + = + + = 6 设ha(t)表示一模拟滤波器的单位冲激响应， 即 0.9 a e 0 ( ) 0 0 t t h t t = 用脉冲响应不变法， 将此模拟滤波器转换成数字滤波器 （用h(n)表示单位脉冲响应， 即 h(n)=ha(nT)）。 确定系统 函数H(z)， 并把T作为参数， 证明： T为任何值时， 数字滤 波器是稳定的， 并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是 高通滤波器。 解解: 模拟滤波器系统函数为 0.9 a 0 1 ( )eed 0.9 tst Hst s = + Ha(s)的极点s1=0.9， 故数字滤波器的系统函数应为 1 10.91 11 ( ) 1e1e s TT H z zz = H(z)的极点为 z1=e0.9T, |z1|=e0.9T 题6解图 所以， T0时， |z1|1， H(z)满足因果稳定条件。 对T=1和 T=0.5， 画出H(ej)曲线如题6解图实线和虚线所示。 由图可见， 该