随机信号分析基础作业题作业大部分桂电.pdf

第一章 1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是 0.3，0.2，0.1 和 0.4。如果 她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是 0.25，0.4 和 0.1，但她乘飞机来则不会迟 到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：设事件 A 表示乘火车； 事件 B 表示乘轮船； 事件 C 表示乘汽车； 事件 D 表示乘飞机。 根据已知，可得： ( )0.3P A = ( )0.2P B = ( )0.1P C = ( )0.4P D = 事件E表示迟到，由已知可得 (|)0.25 (|)0.4 (|)0.1 (|)0 P E A P E B P E C P E D = = = = 根据全概率公式： ( )()()()()P EP EAP EBP ECP ED=+ 根据贝叶斯公式： ()(|)( )0.075 (|)0.455 ( )( )0.165 ()(|)( )0.08 (|)0.485 ( )( )0.165 ()(|)( )0.01 (|)0.06 ( )( )0.165 ()(|)() (|)0 ( )( ) P EAP E AP A P A E P EP E P EBP E BP B P B E P EP E P ECP E CP C P C E P EP E P EDP E DP D P D E P EP E = = = = 综上分析： 坐轮船迟到的概率最大， 因此她如果迟到， 最可能搭载的交通工具是轮船。 3、设随机变量 X 服从瑞利分布，其概率密度函数为 2 2 2 2 ,0 ( ) 0,0 X x x X x ex fx x = ，求期望()E X和方差()D X。 思路： 22 22 ()( ) ()( ) ()()() E Xx f x dx E Xxf x dx D XE XEX = = = 解： 2 2 2 2 2 0 ()( ) x x X x x E Xxfx dxedx = 令 x x t =，则 2222 2 2222 0 000 ()()()| tttt xxx E Xt ed tt edtteedt =+ 第一项为 0，后一项由 2 2 0 2 t edt = ，可得 () 2 x E X = 2 2 3 222 2 0 ()( ) x x X x x E Xx fx dxedx = 令 x x t =，则 22 2 2222 22 00 ()() 2 tt xxx t E Xt t edtedt = 令 2 ty=，则 22222 2222 0 000 ()()|2 2 yyyy xxxx y E Xedyy edyxeedy =+= 222 ()()()(2) 2 x D XE XEX = 6、已知随机变量X与Y，有()1,( )3,()4,( )16,0.5 XY E XE YD XD Y=，令 3,2 ,UXYVXY=+=试求( )E U、( )E V、()D U、( )D V和( ,)Cov U V。 解解题题思路：思路：考察随机变量函数的数字特征 协方差：(, )()()( )Co vX YE XYE XE Y= 相关系数： (, ) ()( ) XY Cov X Y D XD Y = 22 ()()( ) ()()( )2(, ) E aXbYaE XbE Y D aXbYa D Xb D YabCov X Y +=+ +=+ 解： ( )(3)3 ()( )3 136E UEXYE XE Y=+=+= += ( )(2 )()2 ( )1235E VE XYE XE Y= = (, ) 0.5 ()( ) XY Cov X Y D XD Y =，()4D X =，( )16D Y =， (, )4Cov X Y= (, )()()( )Co vX YE XYE XE Y=又 ()7E XY= 22 ( )(3)3()1( )23 1(, )=76D UDXYD XD YCov X Y=+=+ 2 ( )(2 )()( 2)( )2 1 ( 2)(, )52D VD XYD XD YCo vX Y=+ + = 222 ()()()415E XD XEX=+=+=， 222 ()( )( )16325E YD YEY=+=+= 2222 ()(3)(2 )(352)3 ()5 ()2 ()70E UVEXYXYEXXYYE XE XYE Y=+= ( , )()( ) ( )40Co vU VE UVE U E V= 11、设随机变量X的均值为 3，方差为 2。令新的随机变量622YX= +，问：随机变量X 与Y是否正交、不相关？为什么？ 解解题思路：题思路：考察正交、不相关的概念 0 () 0 E XY = 0 正交，非 0 不正交 0 (, ) 0 XY Cov X Y = 或者 0 不相关，非 0 相关 解： 22 ()( 622)( 622)6 ()22 ()E XYE XXEXXE XE X=+=+= + 222 ()()()2311E XD XEX=+=+= ()6 112230E XY= +=，X与Y正交 ( )( 622)6 ()224E YEXE X=+= += (, )()() ( )034120Co vX YE XYE X E Y= = X与Y不相关 第二章 1、已知随机信号 0 ( )cosX tAt=，其中 0 为常数，随机变量 A 服从标准高斯分布，求 00 2 0, 33 t =三个时刻( )X t的一维概率密度函数。 解： 00 22 00 ( )coscos ( )( )coscos x X mE X tE Att E A tD X tD Att D A = = A服从标准高斯分布 0 222 00 0, 1 cos0 ( ) coscos x X E AD A mE At tD Att = = = 一维高斯概率密度函数 22 22 0 ( ) 2cos2( ) 0 11 ( , ) 2( )2|cos| x X x mtx tt x X fx tee tt = 当0t =时， 2 2 1 ( ;0) 2 x x fxe = 当 0 3 t =时， 2 2 0 2 ( ;) 3 x x fxe = 当 0 2 3 t =时， 2 2 0 22 ( ;) 3 x x fxe = 3、随机变量X与Y相互统计独立，并且服从 2 (0,)N分布。它们构成随机信号 ( )+X tX Yt=， （注意这里题目做了修改注意这里题目做了修改） 试问： (1)信号 X(t)的一维概率密度函数( ; ) x fx t； (2) t 时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。 解： （1）,X Y服从 2 (0,)N分布 且( )X tXYt=+ ( )X t也服从正态分布 ( ) 0E X tE XYtE XtE Y=+=+= ,X Y相互统计独立 () 2 22 222 21 2 ( ) (1) 1 ( ; ) 2 (1) x t x D X tD XYtD Xt D Yt fx te t + =+=+=+ = + （2）t 时刻，随机变量是高斯分布 22 ( )0 ( )(1) E X t D X tt = =+ 其均值为 0，方差为 22 (1)t+ 4、假定随机正弦幅度信号 0 ( )cos()X tAt=+，其中频率 0 和相位为常数，幅度 A 是一个服从0,1均匀分布的随机变量，试求 t 时刻该信号加在 1 欧姆电阻上的交流功率平 均值。 解：t 时刻该信号加在 1 欧姆上的交流功率为( )D X t 0 ( )cos()D X tD At=+ 频率 0 和相位为常数 2 00 cos()cos () D AttD A+=+ A 服从0,1均匀分布 1,01 ( ) 0, A a fa other = 2 11 222 00 2 0 1 12 1 12 1 ( )cos () 12 D AE AEAa daa da D A D X tt = = =+ 5、已知随机信号( )X t的均值为( ) X mt，协方差函数为 12 ( , ) X Ct t，又知道( )f t是确定的时 间函数。试求随机信号( )( )( )Y tX tf t=+的均值以及协方差。 解： ( )( )( )( ) ( )E Y tE X tf tE X tE f t=+=+ ( )f t是确定信号 121212 121212121122 12122112 1 ( )( )( ) ( , ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) X Y E Y tmtf t Ct tE Y tY tE Y tE Y t E X t X tX tf tf t X tf tf tE X tf tE X tf t E X t X tf t E X tf tE X tf tf t E X t =+ = =+ =+ 2211212 1212 12 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( , ) X E X tf tE X tf t E X tf tf t E X t X tE X tE X t Ct t = = ( )Y t的均值为( )( ) X mtf t+ ( )Y t 协方差为： 12 ( , ) X Ct t 9、 设接收机中频放大器的输出随机信号为( )( )( )X ts tN t=+， 其 中( )N t是均值为零， 方差为 2 的高斯噪声随机信号，而 00 ( )cos()s tt=+为确知信号，求随机信号( )X t在任 意时刻 1 t的一维概率密度函数。 解题思路：根据高斯信号的性质：高斯信号与确知信号之和仍是高斯信号，由此可以判 断( )X t仍是高斯信号。又因为高斯信号的一维概率密度函数可以由其数学期望和均值确定， 因此该题只需求出( )X t的数学期望和方差即可。 解： ( )( )( ) ( )( )( ) X ts tN t N tX ts t =+ = 00 ( )cos()S tt=+是确知信号 ( ) ( )( )( )( )E X tE s tN ts tE N t=+=+ ( )N t服从均值为 0，方差为 2 n 的高斯分布 2 00 2 00 2 cos() 2 ( )0 ( )( )co s () ( ) ( )( )( ) 1 ( , ) 2 n n xt X n E N t E X ts tt D X tD s tN tD N t fx te + = =+ =+= = 第三章 6、设( )X t与( )Y t是统计独立的平稳随机信号。求证由它们的乘积构成的随机信号 ( )( ) ( )Z tX t Y t=也是平稳的。 证：( )X t是平稳随机信号， 121221 22 ( ), ( , )( )( )( ),|, ( ) X XX X E X tm Rt tE X t X tRtt E Xt = = = 为一常数 只与时间间隔有关 ( )Y t也是平稳随机信号，可得 121221 22 ( ) ( , ) ( ) ( )( ),| ( ) Y YY Y E Y tm R t tE Y t Y tRtt E Yt = = = ( )( ) ( )Z tX t Y t=，且( )X t与( )Y t是统计独立的，可得 12121122 12121212 121221 2 ( )( ) ( )( ) ( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( , )( , )( )( ),| XY Z XYXY E Z tE X t Y tE X tE Y tmm Rt tE Z t Z tE X t Y tX t Y t E X t X tY t Y tE X t X tE Y t Y t Rt tR t tRRtt E Z = = = = 为一常数 只与时间间隔有关 222222 ( )( )( )( )( ) XY tE XtYtE XtE Yt= 由平稳条件可知 ( )( ) ( )Z tX t Y t=也是平稳的随机信号 8、设随机信号 00 ( )( )co s( )sinZ tX ttY tt=，其中 0 为常数，( )X t、( )Y t为平稳信 号。试求： (1)( )Z t的自相关函数( ,) Z Rt t+； (2)若( )( ) XY RR=，( )0 XY R=，求( ,) Z Rt t+。 解：(1)( )X t，( )Y t是平稳的随机信号 0000 0000 0000 ( ,) ( )() ( )cos( )sin) ()cos ()()sin() ( )()coscos ()( ) ()cos sin() () ( )sincos ()( ) ()sin()sin c Z Rt tE Z tZ t E X ttY ttX ttY tt E X t X tttX t Y ttt X tY tttY t Y ttt +=+ =+ =+ + = 0000 0000 oscos()( )cossin()( ) sincos()( )sin()sin( ) XXY YXY ttRttR ttRttR + + (2) 0000 0000 0 ( )( ),( )0 ( )()( )() ( )()( )() ( ,)0 ( ,)coscos()( )sinsin()( ) ( )coscos()sinsin() ( )cos XYXY YX zXY X X RRR X tY tY tY t X tY tY tX t Rt RtttRttR Rtttt R = +=+ +=+ += +=+ =+ = 11、已知随机信号( )sincosX tAtBt=+，式中，A 与 B 为彼此独立的零均值随机变量。 求证 X(t)是均值各态历经的，而 X2(t)无均值各态历经性。 解 题 思 路 ： 若( )X t 是 一 平 稳 过 程 ， 定 义 1 ( )lim( )d 2 T TT X tX tt T = ， 若 ( )( ) X X tE X t=，则称( )X t的均值具有各态历经。 证： ( )sincos ( ) sincos sin cos 0 1 ( )sincoslim( sincos ) 2 2sinsin limlim0 2 ( )( )0 T TT TT X tAtBt E X tE AtBtt E At E B X tAtBtAtBt d T BtBt TT E X tX t =+ =+=+= =+=+ = = ( )X t是均值各态历经的 22222 2222 2222 22222 2222 ( )sincos2sincos sincos2 sincos sincos 1 ( )lim(sincos2sincos ) 2 1 limsincossin2 2 AB T TT TTT TTTT E XtE AtBtABtt tE AtE BE ABtt tt XtAtBtABtt dt T AtdtBtdtABtdt T =+ =+ =+ =+ =+ 22222 22 22222 22 1 cos2 sinsin 2 111 sin2 sin2 242 1 cos2 coscos 2 111 sin2 sin2 242 1 sin2sin2cos2 0 2 TTT TTT T T TTT TTT T T TT T T TT t AtdtAtdtAdt AttA TT t BtdtBtdtBdt BttB TT ABtdtABtdtABt = =+=+ + = =+=+ = 222 2222 222222 111 ( )limsin2 sin2 222 1sin21 () lim()() 242 1 ()sincos 2 T T AB XtA TTB TT T T ABAB T ABtt =+ =+=+ + 2( ) Xt无均值各态历经性 第四章 6、已知随机信号 00 ( )( )co s( )sinZ tX ttY tt=+，式中( )X t，( )Y t联合平稳， 0 为常 数。 (1)讨论( )X t，( )Y t的均值和自相关函数在什么条件下，才能使随机信号( )Z t宽平稳； (2)利用（1）的结论，用功率谱密度( ) X P，( ) Y P，( ) XY P表示( )Z t的功率谱密度 ( ) Z P; (3)若( )X t，( )Y t互不相关，求( )Z t的功率谱密度( ) Z P。 解:(1)由宽平稳的定义可知， 当 ( ) z E Z t=为常数，( ) ( ) () Z RE z t z t=+只与时间常数 有关，则称( )Z t为宽平稳或广义平稳过程。 0000 ( )( )co s( )sin( )co s ( )sinE Z tE X ttY ttE X ttE Y tt=+=+ 又( )X t与( )Y t均为平稳过程，( )E X t与 ( )E Y t只能为常数， 若要求 ( )E Z t为常数，则( )0E X t=， ( )0E Y t=。 0000 0000 0000 ( ,) ( ) () ( )cos( )sin()cos ()()sin() ( )()cos cos ()( )()sincos () ( ) ()cos sin()( ) ()sinsin() Z Rt tE z t z t EX ttY ttX ttY tt E X t X tttY t X ttt X t Y tttY t Y ttt +=+ =+ =+ + ( )X t与( )Y t均为平稳过程，( )( )() X RE X t X t=+，( ) ( ) () Y RE Y t Y t=+ 又( )X t与( )Y t为联合平稳， ( )( ) () XY RE X t Y t=+，( )() ( )() YXXY RRE Y t X t=+ 故 000000 000000 11 ( ,)( ) cos(2)cos( ) cos(2)cos 22 11 () sin(2)sin( ) sin(2)sin 22 ZXY XYXY Rt tRtRt RtRt +=+ + 若要求( ,)( ) ZZ Rt tR+=，则需满足( )( ) XY RR=，()( ) XYXY RR= 此时， 00 ( ,)( )co s( )sin( ) ZXXYZ Rt tRRR +=+=，仅与有关。 综上，当( )0E X t=， ( )0E Y t=，( )( ) XY RR=，()( ) XYXY RR= 时，( )Z t为宽平 稳信号。 （2）令( ) Z P为( )Z t的功率谱密度，则利用维纳-辛钦定理，可得 00 0000 ( )( )( )co s( )sin 1 ()()()() 22 ZZXXY XXXYXY PF RF RR j PPPP =+ =+ （3）若( )X t，( )Y t互不相关，则( )0 XYXY Rm m=， 000 1 ( )( )cos()() 2 ZXXX PF RPP =+ 9、随机信号( )X t和( )Y t是统计独立的平稳信号，均值分别为 X m和 Y m，协方差函数分别 为 | | ( ) X Ce =和 | | ( ) Y Ce =。求( )( ) ( )Z tX t Y t=的自相关函数与功率谱密度。 思路：先求( ) Z R，再利用( )( ) ZZ RP ( ) ( ) ()( ) ( )() () ( )() ( ) () ( )( ) Z XY RE Z t Z tE X t Y t X tY t E X t X tE Y t Y t RR =+=+ =+ = 又 2| |2 ( )( )()( ) () ( )( ) X XXXX CE X t X tE X t E X t RCmem =+ =+=+ 同理 | |2 ( ) YY Rem =+ | |2| |2 ()| |2| |2| |22 ( )()() ZXY XYXX Remem em em em m + =+ =+ 又( )( ) ZZ RP 利用“双边指数脉冲”的傅里叶变换，可得 2222 222222 2()22 ( )2( ) () ZXYXY Pmmm m + =+ + 第五章 5、