多孔材料弹性模量预测的数值方法.pdf

建材世界 2 0 1 3 年第3 4 卷第2 期 多子L 材料弹性模量预测的数值方法 顾政，郑建军，周欣竹 ( 浙江工业大学建筑工程学院，杭州3 1 0 0 1 4 ) 摘要：讨论了多孔材料弹性模量预测的快速傅里叶变换法。首先在正方形区域中模拟圆孔以获得多孔材料的细 观结构，再选择等距离像素点，通过迭代法获得多孔材料弹性模量。这种方法的主要优点是避免了有限元网格划分，也 不要求形成刚度矩阵，可以直接利用图像。最后，通过与文献中的解析解比较，讨论了该数值方法的收敛性和有效性。 关键词：多孔材料；快速傅里叶变换；弹性模量 AN u m e r i c a lM e t h o df o rP r e d i c t i n gt h eE l a s t i cM o d u l u s o fP o r o u sM a t e r i a l s G U Z h e n g ，Z H E N GJi a n - ju n ，Z H O UX i n z h u ( S c h o o lo fC i v i lE n g i n e e r i n ga n dA r c h i t e c t u r e ，Z h a n gU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y ， H a n g z h o u3 1 0 0 1 4 ，C h i n a ) A b s t r a c t ：Af a s tF o u r i e rt r a n s f o r mm e t h o df o rp r e d i c t i n gt h ee l a s t i cm o d u l u so fp o r o u sm a t e r i a l si sd i s c u s s e d F i r s t ，t h em e s o s t r u e t u r eo fp o r o u sm a t e r i a li sg e n e r a t e db ys i m u l a t i o n gt h ed i s t r i b u t i o no fc i r c u l a rp o r e sw i t h i nas q u a r e d o m a i n P i x e l sw i t he q u i d i s t a n c earet h e ns e l e c t e d T h ee l a s t i cm o d u l u so fp o r o u sm a t e r i a li so b t a i n e db yc o n t i n u o u si t e r a t i o n s T h em a i na d v a n t a g eo ft h i sm e t h o di st oa v o i dm e s h i n ga n dn o tt or e q u i r et h ef o r m a t i o no ft h es t i f f n e s sm a t r i x ，w h i l et h ei m a g ec a nb ed i r e c t l yu s e d F i n a l l y ，t h ev a l i d i t ya n dc o n v e r g e n c eo ft h em e t h o da r ep r e l i m i n a r i l yv e r i f i e d w i t ht h ea n a l y t i c a ls o l u t i o nr e p o r t e di nt h el i t e r a t u r e K e yw o r d s ：p o r o u sm a t e r i a l s ； f a s tF o u r i e rt r a n s f o r m ；e l a s t i cm o d u l u s 多孔材料普遍存在于自然界中，木材、生物的骨骼以及岩石等都是天然的多孔材料。随着科学技术的发 展，出现了越来越多用金属、陶瓷和高聚合物等制成的人造多孔材料 1 。这些多孔材料已广泛应用于各个工 程领域，它们不仅具有多种优异的性能，而且制造工艺简单。因此，研究其力学性能具有突出的重要性。 由于多孔材料是由孔隙和固相所组成的复合体，孔结构( 如孔形状、孔隙率和孔的连通性等) 是影响宏观弹 性性能的主要因素，因而细观结构与宏观力学性能之间的定量关系成为当前国际工程界的前沿课题之一。 V o i g t 和R e u s s 分别根据等应变和等应力假设给出了多晶体材料体积模量和剪切模量的近似解 2 ，G i b s o n 和 A s h b y ；3 在单孔单元的基础上建立模型，获得了蜂窝多孔材料二维弹性参数，即G i b s o n - A s h b y 方程，R o b e r t s c 4 3 研究了开孔和闭孔泡沫的弹性性能。随着数值方法和计算机技术的H 益发展，有限元法被广泛用于多孔材料 的力学性能分析 5 ，对“代表性体积元”进行数值求解，获得宏观力学性能。但对于复杂的多孔材料，不仅网格 划分极其困难，总刚度矩阵占据大量内存，而且总刚度方程求解花费大量时间，以至于无法获得满意的数值解。 为此，该文在前人工作的基础上，应用快速傅里叶变换法讨论了多孔材料弹性模量的计算方法。 1 数值方法 1 1 多孔材料模拟 类似于“代表性体积元”，可以从细观结构图像的像素点上获得结构单元的代表性信息嘲。因而为了能 收稿日期：2 0 1 3 0 1 2 1 基金项目：浙江省自然科学基金项目( Y 1 2 E 0 8 0 1 1 4 ) 作者简介：顾政( 1 9 8 8 一) ，硕士生D m a i l ：n e v e r l a n d 0 8 0 2 1 6 3 c o r n 5 万方数据 建材世界 2 0 1 3 年第3 4 卷第2 期 较准确地预测多孔材料的弹性模量，首先应建立多孔材料模型，作为初步尝试，文章仅考虑二维模型。多孔 材料区别于普通密实固体材料的最显著特点是具有孔隙，多孔材料建模时应着重考虑孔隙分布特点以及孔 隙率大小。大量的试验研究表明 7 ，多孔材料中的孔隙率、孑L 径分布、孑L 隙位置等均服从一定的统计分布规 律，如随机分布和正态分布等。因此，建立多孔材料几何模型的关键是按照一定的概率分布确定孑L 隙大小和 位置，在数学上可以通过各种变换或抽样来实现。 为了便于计算，该文假设孑L 隙为圆形，而且大小相等、互不重叠。在模拟孔隙时，先选取一边长为L 的 正方形，在分布第i 个半径为R 的圆孔时，在正方形区域内生成其圆心坐标( z ：，y ：) ，如果第i 个圆孔与前面 已经分布某一个或几个圆孑L 重叠，则重新生成第i 个圆孔的圆心坐标；如果第i 个圆孑L 不与前面已经分布的 ( i 一1 ) 个圆孔重叠，那么继续分布第i + 1 个圆孔，直到达到给定的孔隙率为止。作为一个算例，设L 一 1 0 0m m ，R = 4m m ，孑L 隙率C 分别为0 1 、0 3 和0 5 ，所获得的孔分布如图l 所示。 f a lC = 0 1 l b JL = O ( c ) C = O 5 图1 不同孑L 隙率下的孔结构模拟 1 2 基本方程 首先在模拟区域内等距离选取像素点，根据快速傅里叶变换原理，每个二维细观结构分布图都包含2 K 2 K 个像素点，这些像素点各自具有力学性质，且相互独立，计算步骤如下： 1 ) 将图像划分为2 K 2 K 个细胞单元，如图2 所示，取每个细胞单元的中 心点为像素点，这里称K 为像素点个数指数。 2 ) 对每个像素点进行判断，如果落在孔隙内，弹性模量取为零；如果落在 固相内，弹性模量取单位值，这样所获得的多孔材料的弹性模量为相对值。 多孑L 材料各点的弹性张量C o “( z ) 是坐标z 的函数，其应力一应变关系可 表示成 仃。一( 焉肚赶+ 而( z ) ( 1 ) 式中，G 削为弹性张量常数，矗( z ) 定义为 “( z ) 一 C o 削( z ) 一( 焉“ e 赶 ( 2 ) 通过引入周期性格林张量f 删，式( 1 ) 的解可表示为 6 1 i 一一P O k t ( z ) 功( z ) 对式( 3 ) 进行傅里叶变换有 对于各向同性材料，凡i ( ) 为6 3 r UL) 一 n1 1 ，、 厂、 U 3、() 一 U( _P 、 U CC ) L一) r) U 图2 像素点的选取 您卜卉蛾& 针瞄焉抵已已+ 黼色卜耥瞥 式中，A 和口为拉梅常数，i 为傅里叶空间坐标。 1 3 迭代求解 方程( 1 ) 方程( 4 ) 可以通过以下迭代方法进行求解： 1 ) 给定初始均匀应变；，由式( 1 ) 求得初值应力嘞0 ； 2 ) 对于第i + 1 次迭代，先由( 2 ) 计算r 。( z ) ，对岛( z ) 进行傅里叶变换求得毛( e ) ，再检验收敛性； 3 ) 由式( 4 ) 计算第i + 1 次迭代应变，再将应变进行傅里叶反变换； 6 ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 万方数据 建材世界 2 0 1 3 年第3 4 卷第2 期 4 ) 由式( 1 ) 计算应力。 一旦迭代收敛，计算各点的加权应力和加权应变，最后获得多孑L 材料的弹性模量。该文以前后两次迭代 值的相对误差小于1 0 - 3 作为收敛准则。 2 收敛性和有效性验证 2 1 收敛性验证 在下面的计算中，取正方形边长为10 0 0m m ，孑L 隙率C = 0 2 ，像素点个数为2 8 2 8 个，固相材料的泊松 比为0 3 ，计算所得的相对弹性模量与孔隙个数之间的关系如图3 所示，其中，虚线表示解析解 8 。从该图 可以看出，当孔隙个数较少时，弹性模量上下波动，当孑L 隙数大于1 0 0 时，弹性模量基本趋于稳定，这与文献 9 的结论一致，这是因为孔隙越多，材料越均匀，像素点所代表的结构单元性质越接近于真实情况。再取孔 隙个数为1 0 0 ，相对弹性模量与像素点个数指数之间的关系如图4 所示。从该图可以看出，当K 较小时，弹 性模量上下波动幅度较大，随着K 的增大，结果趋于稳定，K 一1 0 与K 一1 1 之间弹性模量的相对误差仅为 0 3 ，表明该方法已经收敛。图4 还表示，随着像素点的增加，数值解与解析解越接近，这是因为随着像素 点的增加，结构单元性质得到更细致的描述，更接近于真实情况，另一方面，由于傅里叶变换本身具有一定的 误差，当像素点超过一定值后，累积误差也会影响计算结果。由图4 还可以得出，当像素点个数为2 5 6 2 5 6 时，数值解与解析解最接近。 N K 图3 弹性模量与孔个数的关系图4 弹性模量与像素点个数指数的关系 2 2 有效性性验证 I 基于前面的讨论，取孔隙个数为1 0 0 ，像素点个数为2 5 6 X 2 5 6 ，相对0 弹性模量随孔隙率变化如图5 所示。从图5 可以看出，数值解与解析解0 良好吻合，当孔隙率为0 1 0 、0 2 0 、0 3 0 、0 4 0 和0 5 0 时，两者之间的误0 差分别为6 7 0 、1 1 7 、2 1 2 、3 3 6 和7 0 3 ，其平均值为4 3 7 。0 因此，文中方法的有效性得到初步证实。 1 图5 弹性模量随孔隙率变化 3 结论 a 基于M o u l i n e c 和S u q u e t 所提出的快速傅里叶变换法，讨论了多孔材料弹性模量计算，通过与文献中 的解析解比较，初步证实了该数值方法的有效性。 b 定量评价了孔隙个数和像素点个数对计算结果的影响，发现多孔材料越均匀、像素点个数越多，数值 解越精确。 ( 下转第4 2 页) 7 O O 0 O O O O 目 O O 0 O O O 0 目 万方数据 建材世界 2 0 1 3 年第3 4 卷第2 期 温段呈延性破坏，在1 0 附近则呈延性一脆性破坏，而低于0 后脆性破坏趋势逐渐增强。 C 不同温度下，环氧铺装材料、环氧沥青混凝土和S M A 沥青混凝土3 种材料的弯曲强度从大到小顺序 为：环氧沥青混凝土、环氧铺装材料和S M A 沥青混凝土。在高温6 0 时，环氧沥青混凝土和环氧铺装材料 仍具与足够高的强度，表现出比S M A 沥青混合料更好的高温性能。 d 在不同的温度下，环氧铺装材料的劲度模量介于环氧沥青混凝土与S M A 沥青混凝土之间，表明其适 用于道路铺装材料。 e 在不同的温度下，环氧铺装材料的最大弯曲应变均大于S M A 沥青混凝土和环氧沥青混凝土。 一1 0 低温弯曲应变大于40 0 0 1 m r n ，表明环氧铺装材料抗温缩开裂性能良好。 f 环氧铺装材料和环氧沥青混凝土均在常温区出现断裂应变能密度的峰值，S M A 沥青混凝土出现峰值 对应的温度为1 0 。在低温- - 1 0 时，环氧铺装材料的断裂应变能密度均大于环氧沥青混凝土和S M A 沥 青混凝土，表现出较好的抗裂纹扩展性能。 参考文献 1 王兴昌，李灏，方星，等S M A 沥青混凝土断裂与疲劳性能试验研究 J 公路，2 0 1 1 ( 9 ) ：1 9 62 0 0 E 2 1 汪林，陈仕周，黄冰释掺纤维环氧沥青混合料性能试验研究口 公路，2 0 1 0 ( 1 1 ) ：1 8 9 1 9 1 3 1 赵锋军，李宇峙钢桥面薄层环氧树脂混凝土铺装材料路用性能试验研究 J 1 公路，2 0 1 0 ( 2 ) ：7 5 7 8 4 1 黄成造，刘泽佳，汤立群，等基于钢箱梁结构改进的铺装层受力优化研究口 公路，2 0 1 0 ( 1 1 ) ：9 - 1 3 5 H u u r m a nM ，M oLT R e s e a r c hi n t oM e m b r a n ea n dS u r f a c i n gS y s t e mP e r f o r m a n c ea n dT e s t i n g ，O r t h o t r o p i cS t e e lD e c k F i n i t eE l e m e n tM o d e l l i n ga n dP a s tP e r f o r m a n c eo ft h eM e r w e d e b r u g R R e p o r t7 - 1 0 1 2 7 9 ，D e l f tU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y ，t h eN e t h e r l a n d s ，2 0 1 0 E 6 赵锋军，李宇峙，邵腊庚正交异性钢桥面沥青铺装受力特征的有限元分析 J 公路交通科技，2 0 0 4 ，2 1 ( 2 ) ：1 4 1 8 7 1 方星，王昌兴，磨炼同，等薄层环氧铺装材料加速加载试验研究 J 1 公路，2 0 1 0 ( 1 0 ) ：2 1 4 2 1 9 8 1M oLT ，F a n gx ，Y a nDP ，e ta 1 I n v e s t i g a t i o no fM e c h a n i c a lP r o p e r t i e so fT h i nE p o x yP o l y m e rO v e r l a yM a t e r i a l s u p o n O r t h o t r o p i cS t e e lB r i d g eD e c k s J C o n s t r u c t i o na n dB u i l d i n gM a t e r i a l s ，2 0 1 0 ( 3 3 ) ：4 1 4 7 ( 上接第7 页) 参考文献 1 1 刘培生多孔材料引论 M 1 北京：清华大学出版社，2 0 0 4 z lT o r q u a t oS R a n d o mH e t e r o g e n e r o u sM a t e r i a l s ：M i c r o s t r u c t u r ea n dM a c r o s c o p i cP r o p e r t i e s M 1 N e wY o r k ：S p r i n g e r - v e r l a g ，2 0 0 1 3 G i b s o nLJ ，A s h b yMF C e l l u l a rS o l i d s ：S t r u c t u r ea n dP r o p e r t i e s M C a m b r i d g e ：C a m b r i d g eU n i v e r s i t yP r e s s ，1 9 9 7 4 1 R o b e r t sAP ，G a r b o c z iEJ E l a s t i cm o d u l io fm o d e lr a n d o mt h r e e - d i m e n s i o n a lc l o s e d - c e l lc e l l u l a rs o l i d s J A c t am a t e r i a l i a ，2 0 0 1 ，4 9 ( 2 ) ：1 8 9 1 9 7 5 1B a r d e n h a g e n aSG ，B r y d o n aAD ，G u i l k e yJE I n s i g h ti n t ot h ep h y s i c so ff o a md e n s i f i c a t i o nv i an u m e r i c a ls i m u l a t i o n J J o u r n a lo ft h eM e c h a n i c sa n dP h y s i c so fS o l i d s ，2 0 0 5 ，5 3 ( 3 ) ：5 9 7 6 1 7 6 3 M o u l i n e cH ，S u q u e tP AN u m e r i c a lM e t h o df o rC o m p u t i n gt h eO v e r a l