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第六章第六章第六章第六章 习习习习 题题题题 6.1 图题 6.1 所示电路，求 u(t)对 i(t)的系统函数 H(s)=U(s) I(s)。 L + _ U(t) i(t) (a) R2 1H C 1F 1 L + _ U(s) I(s) (b) R2 Ls 1 Cs R1 图题 6.1 答案答案答案答案 解：图解 6.1（a）电路的 s 域电路模型图解 6.1（b）所示。故 有 2 1 2 1 Ls R Cs ( ) R( ) 1 LsR Cs I sU s + += + 代入数据得 2 2 U(s)2s2s 1 ( ) I(s)ss 1 H s + = + + R2 + - L U1 U2(t) (a) F 3 1 C 1 1H 2 + - R1 R2 + - Ls U1(s)U2 (b) Cs 1 + - 图题 6.2 6.2 图解 6.2（a）所示电路，求 ( )tu2 对 ( )tu1 的系统函数 ) s (U ) s (U ) s (H 1 2 = 。 答案答案答案答案 解：图解 6.2（a）所示电路的 s 域电路模型如图解 6.2（b）所 示。故有 22 1 2 2 U (s)LsR H(s) 1 U (s) LsRR Cs + = + 代入数据得 ( ) ( )35ss 2ss sU sU ) s (H 2 2 1 2 + + = 6.3 已知系统的单位冲激响应 5 ( )5( ) t h tteU t = ，零状态响应 55 ( )( )2( )5( ) tt y tU teU tteU t =+ 。求系统的激励 f(t)。 答案答案答案答案 解： ( ) 5s 5 sh + = ()25s 5 5s 2 s 1 ) s (Y + + + += 故得激励 f(t)的像函数为 () 5s 1 s 1 5 3 5s 5 5s 5 5s 2 s 1 ) s (H ) s (Y ) s (F 2 + += + + + + + = 故得 () -5t-5t 33 ( )(t)U(t)e U(t)(t)1eU(t) 55 f t =+=+ 6.4 已知系统函数 55ss 5s ) s (H 2 2 + + = ，初始状态为 ( )00y= ， ( )-20y / = 。 (1).求系统的单位冲激响应 h(t); (2). 当激励 f(t)=(t)时，求系统的全响应 y(t)； (3)当激励 f(t)=U(t)时，求系统的全响应 y(t)。 答案答案答案答案 解: (1) () ()()41s 2 12s 1s2s 1 52ss s2 1 55ss 5s ) s (H 2222 2 + + + + += + += + + = 故 () t (U2sin2tcos2t2e-(t) t (sinUe) t (costU2e-(t)h(t) -2t-2t-2t =+= （2）系统的微分方程为 ( )( )( )( )( )t5ftft5yt2yty / +=+ 对上式等号两边同时求拉普拉斯变换，并考虑到拉普拉斯变换的 微分性质，有 ( )( )( )s (5F) s (Fs) s (5Y02y) s (2sY0y0sy) s (Ys 2/2 +=+ 今 ( ), 20y, 0)0(y, 1) s (F / = 代入上式得 () ()41s 1s2 1 52ss 3s ) s (Y 22 2 + + = + + = 故得全响应为 ) t (costU2e-(t) t (y -t = （3）将 ( )20y, 0)0(y, s 1 ) s (F / = 代入上式，有 ()()41s 2 2 s 1 55sss 52ss ) s (Y 22 2 + = + + = 故得全响应为 () t (Usin2t2e1) t (y t = 6.5 图题 6.5 所示电路。 (1)求电路的单位冲激响应 h(t)； (2)今欲使电路的零输入响应 x u (t)=h(t)，求电路的初始状态 ( ) 0i 和 ( ) 0u ； (3)今欲使电路的单位阶跃响应 g(t)=U(t)，求电路的初始状态 ( ) 0i 和 ( ) 0u 。 答案答案答案答案 解（1）零状态条件下的 s 域电路模型如图解 6.5（b）所示。故 根据该图得 ( ) ( )()2 2 1s 1 12ss 1 s 1 s2 s 1 sF sU ) s (H + = + = + = 故得单位冲激响应为 ( )V) t (Ute) t (h t = （2） 非零状态条件下求零输入响应 ( )tux 的 s 域电路模型如图 6.5 （c）所示。故 ( ) ( )( ) ( ) + + =0u s 1 s 1 s 1 s2 0u s 1 0i sux + - (a) ) t ( f + - 2 ) s (U L 1F C R 1H + - (b) ) s (F + - 2 R s s 1 ) s (U ) s ( I - + - (c) ) t (f + - 2 ) s (U R s )0( i - s 1 )0(u s 1 + - + - (d) + - 2 ) s (U s )0( i - s 1 - + + 1 s 1 (0 )u s 图解 6.5 依题意要求，应使 ( ),s (HsUx= 即应有 ()21s 1 )0(u s 1 s 1 s 1 s2 )0(u s 1 )0( i + =+ + 从而有 (2) (0 )(0 )1sui += (0 )0, (0 )1uiA = （3）非零状态条件下求电路单位阶跃响应 g（t）的 s 域电路模 型，如图解 6.5（d）所示。故 )0(u s 1 s 1 s 1 s2 )0(u s 1 )0( i s 1 ) s (G + + + = 依题意要求，应使 , s 1 ) s (G= 即应有 s 1 )0(u s 1 s 1 s 1 s2 )0(u s 1 )0( i s 1 =+ + + 从而有 ( )( )( )2s0i0u2s+=+ 故得 ( )( )00i ,1V0u= 6.6 图题 6.6 所示电路。(1)求 ( ) ( ) 2 1 Us ( ) Us H s = ； (2)若 ( )( )1F,C,V) t (cos2tUtu1= 求零状态响应 ( )tu2 ； (3)在 ( )tu1 不变的条件下，为使响应 ( )tu2 中不存在正弦稳态响 应，求 C 的值及此时的响应 ( )tu2 。 + 1 u 2 u C 1H ( )a 答案答案答案答案 + ( )su1( )su2 Cs 1 s ( )b 解（1）图解 6.6（a）电路的 s 域电路模型如图题 6.6（b）所示。 故 ( ) C 1 s C 2 s C 1 s Cs 1 s Cs 1 s 2 1 2 1 sH 2 2 + + = + + = （2） ( ),1FC, 4s s sU 2 1 = + = 则 ( ) ()2 2 2 2 1s 1s 12ss 1s sH + + = + + = 故 ( )( )( ) ()()()j2s K j2s K 1s K 1s K 4s s 1s 1s sUsHsU 3212 2 11 22 2 12 + + + + + + = + + + = () ()()( ) 5 2 1s 4s1s s1s K 2 2 2 2 11 =+ + + = （ 1s= ） () ()()( ) 25 16 1s 4s1s s1s ds d K 1s 2 2 2 2 12 = + + + = = () () ()() () 10 3 J2s j2sj2s1s s1s K j2s 2 2 2 =+ + + = = 。 1 .53 10 3 KK 23 =。 1 .53 故得 ( ) ttj2tj53.1j2tj53.1 2 21633 utteeeee e 5251010 = += 。 ()( )( ) t 3 83 t ecos 2t53.1u tV 2 55 + 1442443 14243 正弦稳态响应 瞬态响应 （3） ( )( )( ) 4s s C 1 s C 2 s C 1 s sUsHsU 2 2 2 12 + + + = 由此式可见，欲使 ( )tu2 中不存在正弦稳态响应，就必须有 , 4s C 1 s 22 +=+ 故得 25F. 0C = 。代入上式有 ( ) 324s 077. 0 324s 077. 1 48ss s sU 2 2 + + + = + = 故得 ( ) ()() ( )( )VtU077e.0077e.1tu t324t324 2 = + 4444434444421 瞬态响应 6.7 图题 6.7 所示电路。 (1)求 ( ) ( )sU sU ) s (H 1 2 = ； (2)求 K 满足什么条件时系统稳定； (3)求 K=2 时，系统的单位冲激响应 h(t)。 + - + - 11s 1 s 1 + - ) s (U ) s (U2 + - ) s (U1 图解 6.7 答案答案答案答案 解（1）对节点列写 KCL 方程为 ( )( )sUssKU-(s)s s 1 s 1 1 1 = + + + 又 ( ) += s 1 1 s 1 sU (s) ( )( )sKUsU2= 以上三式联解得 ( ) ( ) ( )()1sK3s K sU sU sH 2 1 2 + = （2）当 K3 时， ( )sH 的极点位于 s 平面的左半开平面，系统稳 定。 （3）当 K=2 时， ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 1 s 2 3 3 2 2 2 3 2 1 s 2 1ss 2 sH + + = + + = + = 故得 ( )V) t (tU 2 3 sine 3 4 ) t (h t 2 1 = 6.8 已知系统函数 64ss 5s ) s (H 2 + + = 。 (1)写出描述系统响应 y(t)与激励 f(t)关系的微分方程； (2)画出系统的一种时域模拟图； (3)若系统的初始状态为 ( )10y, 2)0(y / = ，激励 ( )tUe) t (f t = ， 求系统的零状态响应 ( )tyf ，零输入响应 ( )tyx ， 全响应 y(t)。 答案答案答案答案 解（1）因 ( ) ( ) ( )65ss 5s sF sY sH 2 + + = 故得系统的微分方程为 ( )( )( )( )( )t5ftft6yt5yty / +=+ （2）该系统的一种时域模拟图如图题 6.8 所示。 5 1 5 6 y ) t ( f 图解 6.8 （3）求零状态响应 ( )tyf ( ) 1s 1 sF + = 故 ( ) ( ) ()()()()()3s 1 2s 3 1s 2 3s2s1s 5s 65ss1s 5s sHsFY 2 f + + + + + = + + = + + = 故得 ( )()( )tUe3e2ety 3t2tt f += （4）求零输入响应 ( )tyx 系统的特征方程为 065ss2=+ ，故得特征根为 . 3p2,p 21 = 故得零输入响应的通解形式为 ( ) 3t 2 2t 1x eAeAty += 又 ( ) 3t 2 2t 1 x / e3Ae2Aty = 故有 ( )( ) ( )( )13A2A0y0y 2AA0y0yy 21 / / x 21x = =+= + + 联解得 5A, 7A 21 = 故得零输入响应为 ( )()( )()( )()( ) 4444444421 14434421 瞬态响应 自由响应 2etU4e4etUe3e2etU5e7ety 3t2t3t2tt3t2t x +=+= 6.9 已知系统的框图如图题 6.9 所示，求系统函数 ( ) ( ) ( )sF sY sH= ， 并画出一种 s 域模拟图。 ) s (y ) s (F 1s 1 + 2s 1 + s 1 s 1 ( )a 答案答案答案答案 ) s (y ) s (F s 1 s 1 2 ( )b s 1 3 1 解 ( )( )( )( )sY 2s 1 sY s 1 1s 1 sY s 1 sF= + + + + 故解得 ( ) 2s3ss s sH 23 + = 其中一种 s 域模拟如图解 6.9（b）所示。 6.10 已知系统的框图如图题 6.10 所示。 (1)欲使系统函数 ( ) ( ) ( )65ss s sF sY sH 2 + = ，试求 a，b 的值； (2)当 a=2 时，欲使系统为稳定系统，求 b 的取值范围； (3)若系统函数仍为(1)中的 H(s)，求系统的单位阶跃响应 g(t)。 ) s (F ) s (y ()()as1s s + s b 图题 6.10 答案答案答案答案 解（1） ( )( ) ()() ( )sY as1s s sY s b sF= + 解得 ( ) ( ) ( )()()bas1as s sF sY sH 2 + = 故有 ()()bas1as s 65ss s 22 + = + 故有 =+ =+ 6ba 51a 解得 a=4,b=2. 当 a=2 时， ( ) b23ss s sH 2 + = 故欲系统为稳定系统，就必须有 2+b0,b-2. (3) ( ) s 1 sF= ,故 ( )( ) ( ) 3s 1- 2s 1 65ss 1 s 1 65ss s sFsHsG 22 + + + = + = + = 故得系统的单位阶跃响应为 ( )()( )tUeetg 3t2t = 6.11 已知系统的框图如图题 6.11 所示。 (1)求系统函数 ( ) ( ) ( )sF sY sH= ； (2)欲使系统为稳定系统，求 K 的取值范围； (3)在临界稳定条件下，求系统的单位冲激响应 h(t)。 ) s (F) s (y 44ss s 2 + K 图题 6.11 答案答案答案答案 解（1） ( )( )( )sYK 44ss s sYsF 2 = + + 解得 ( ) ( ) ( )()4sK4s Ks sF sY sH 2 + = （2）欲为稳定系统，则必须有 0k4 ，故 4k 。 （3）当 K=4 时 ，系统为临稳定，即 ( ) 4s 4s sH 2 + = 故得临界稳定条件下的单位冲激响应应为 ( )( )t4cos2tUth= 6.12 图题 6.12 所示为 H(s)的零、极点分布图，且知 ( )20h= + 。 求该系统的 H(s)。 2 pj3 j2 j2- j3- 1 z 2 z 1 p 3 p 123 j1 o j 答案答案答案答案 图题 6.12 解 ( ) ()() ()()() ()() ()()() () ()()279s3ss 54ss H 9s3s 12s H j3sj3s3s j12sj12s H pspsps zszs HsH 23 2 0 2 2 00 321 21 0 + + = + + = + + = = 又有 2 279s3ss 54ss limH) s (limsH)0(h 23 2 0S = + + = + 即 2)0(h= 故得 () 279s3ss 54ss2 ) s (H 23 2 + + = 6.13 已知系统的微分方程为 ( )( )( )( )( )( )tftftytytyty3485 / +=+ （1）求系统函数 ( ) ( ) ( )sF sY sH= ； （2）画出系统的三种形式的信号流图。 答案答案答案答案 解 （1） ( ) ( ) ( )()()2 23 11 3 485 2 + + = + + = ss s sss s sF sY sH （2）直接形式的信号流图如图题 6.13（a）所示。 （3） ( ) 2 1 2 3 1 1 + + + + = ss s s sH 级联形式的信号流图如图题 6.13（b）所示。 （4） ( ) () + + + + = + + + + + =2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ssssss sH 并联形式的信号流图如图题 6.13（c）所示。 (a) 1 1 -4 -8 -5 1s-1s-1s-1 F(s) Y(s) s-1s-1s-1 -1 11 1 11 -2-2 (b) F(s) (sY F(s) 1 1 1 1 12 -2-2 -2 -1 -1 s-1s-1 s-1 Y(s) (c) 6.14 已知系统的信号流图如图题 6.14（a）所示。 （1） 求系统函数 ( ) ( ) ( )sF sY sH= 及单位冲激响应 )(th ； （2） 写出系统的微分方程； （3） 画出与 )(sH 相对应的一种等效电路，并求 出电路元件的值 1 F(s)Y(s) 1 13 -4 -3 s-1s-1 （a） 答案答案答案答案 解 （1） ( ) ( ) ( )()()1 1 31 3 34 3 2 + = + + = + + = sss s ss s sF sY sH 故得系统的单位冲激响应为 )()(tUeth t = （2）系统的微分方程为 ( )( )( )( )( )tftftytyty334 / +=+ 注意， 写系统的微分方程时， )(sH 分子与分母中的公因式不能约 去。 （3） s s s s s s sH 3 13 3 1 3 4 3 1 )( + + = + + = 根据上式即可画出与之对应的一种等效电路，如图题 6.14（b） 所示，与之相对应的时域电路则如图 题 6.14（c）所示。 1 F(s)Y(s) 1 13 -4 -3 s-1s-1 （a） + - (b) + - ( )sF s 3 1 s 3 ( )sY + - (c) + - ( )tf H1 3 1 F 3 1 ( )ty 图解 6 - 14 6.15 图题 6.15（a）所示系统，其中 ( )( )( ), 31 s esHtUth = 大系 统的 () ()12)(=tUtth 。求子系统的单位 冲激响应 ( )th2 。 解 图题 6.15（a）系统的 s 域系统如图 6.15（b）所示。故大 系统的系统函数为 ( )( )() () ss e s e s tUtLthLsH += 11 111 2 又题图 6.15（b）得 ( )( )( )sHsHsHsH 321 )(= 即 ( ) ssss esHe s e s e s =+ 2 2 111 故 2 2 1 )( s sH= 故得 ( )( )ttUth= 2 6.16 系统的信号流图如图题 6.16（a）所示。试用梅森公式求 系统函数 ( ) ( ) ( )sF sY sH= 。 )(tf )( 1 th )( 2 th + - )( 3 tH)(ty （a） 答案答案答案答案 解 （1）求 求 i L i :该信号流图共有 3 个环路，其传输函数分别为 1 3 1 2 1 1 2,2, =sLsLsL 故 1111 123 225 i i LLLLssss =+= = 求 nmL L nm, ：该信号流图中两两互不接触的环路共有 3 组： 2 13 2 32 2 21 2,4,2 =sLLsLLsLL 故 2222 m,n 2428 mn L Lssss =+= 求 rqp LLL rq,p, ：该信号流图中三个互相不接触的环路只有 1 组 1 L ， 2 L 与 3 L ，故 3 321 rq,p, 4 =sLLLLLL rqp （2）求 k P k k 求 k P ：该信号流图共有 4 条前向通路，其传输函数分别 为 () () 11 4 11 3 11 2 11 1 1111 212111 21211 311311 = = = = ssP ssP ssP ssP 求 k ：除去 1 P前向通路中所包含的支路和节点后，所剩 子图如图题 6.16（b）所示。根据该图可 求得 221 1 4851 +=sss 除去 2 P 前向通路所包含的支路和节点后，所剩子图如图题 6.16 （d）所示。根据该图可求得 1 4 1 +=s （3 3 3 3）求求求求 ( )sH ( ) ss ss ppppPsH KK 85 1631 1 34 24 44332211 k + + =+ = = 此题也可从信号流图直接求得，即 ( ) ()ssss sss ssss sH 485 1227163 2 1 2 2 1 1 23 234 24 + + = + + + + + += F(s) 1 1 1 1 2 3 -2-2 -2 -1 1 s-1s-1 s-1 Y(s) s-1 -1 ( )a 1 s-1 -1 ( )b -2 1 -2 ( )c s-1s-1 s-1 -2 -2 ( )d( )e 6.17 已知系统为单位冲激响应 ( )( )tUeth t = 2 。求 （1） 系统函数 ( )sH ； （2） 若激励 ( )( )tUtfcos= ，求系统的正弦稳态响应 )(ty 答案答案答案答案 解 （1） ( ) 1 2 + = s sH （2）由于系统的稳定系统，故 ()( ) 1 2 + = = jw sHjH js 即 ( ) = + =452 21 2 1 j jH 故得系统的正弦稳态响应为 ( )()( )tUtty =45cos2 6.18 已知系统函数 ()()541 13 )( 2 + = sss sH ，求激励 f(t)=10cos2tU(t)时的正弦稳态响应 y(t)。 答案答案答案答案 解 (1)用解析法求 因 )(sH 的极点全部位于 s 平面的作半开平面,系统为稳定 的系统,故系统的频率特性为 () js sHjH = =)( 即 () ()()()() = = + = + = 3 .146 3 .14687.82430.63 72. 0 135 13 655 13 8112 13 58412 13 2 j jjj e eee jjjj jH 故得正弦稳态 响应为 ( )()() ( )tUttty=3 .1462cos2 . 73 .1462cos72. 010 (2) 用图解法解 ()()121 13 )( 2 + = ss sH 故 )(sH 的极点为 ,2, 12, 1 321 jpjpp=+=)(sH 的 零极点图如图题 6.18 所示.由图可求得 =+= =+= =+= 3 .56 2 3 arctan,1332 57.26 2 1 arctan , 521 43.63 1 2 arctan , 512 3 22 3 2 2 2 1 2 1 M M M 故 () () + = 3 .146 321 72. 0 13 2 321 j j e eMMM jH 故得 ( )()() ( )tUttty=3 .1462cos2 . 73 .1462cos72. 010 可见两种求解方法所得结果全同. 12 1 M 2 M 3 M j 1 j 1 j O 1 2 3 图题 6.18 6.19 系统的零、极点分布如图题 6.9 所示。 (1)