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3-1 第三章 材料的力学性质 拉压杆的强度计算 3- -1 图示水压机，若两根立柱材料的许用应力为MPa 80， 试校核立柱的强度。 F=600kN . . 工件. . 80 解解： 立柱横截面上的正应力为 59.7MPaPa 41080 2106002 62 3 A F 所以立柱满足强度条件。 3- -2 图示油缸盖与缸体采用 6 个螺栓连接。已知油缸内径 mm 350D，油压MPa 1p。若螺栓材料的许用应力MPa 40， 试求螺栓的内径。 F p D . . . . 解解： 由于内压的作用，油缸盖与缸体将有分开的趋势，依靠六个螺栓 将它们固定在一起。 油缸盖受到的压力为 4 2 D pF 每个螺栓承受的轴向力为 46 1 6 2 N D p F F 由螺栓强度条件 2 2 2 2 N 6 4 46 1 d pD d D p A F 可得螺栓的直径应为 dmm6 .22mm 350 406 1 6 D p 3-2 3- -3 图示铰接结构由杆 AB 和 AC 组成，杆 AC 的长度为杆 AB 长度的两倍，横截面面积均为 2 mm 200A。两杆的材料相同，许用 应力MPa 160。试求结构的许用载荷F。 45 30B C F A F A FNAC FNAB x y 解解： 由0 X ： 030sin45sin NN ACAB FF 可以得到： ABABAC FFF NNN 2，即 AC 杆比 AB 杆危险，故 32N 1020010160 66 N AF AC kN 216 2 1 NN ACAB FFkN 由0 Y ： 030cos45cos NN FFF ACAB 可求得结构的许用荷载为 F7 .43kN 3- -4 承受轴力kN 160 N F作用的等截面直杆， 若任一截面上的 切应力不超过MPa 80，试求此杆的最小横截面面积。 解解： 由切应力强度条件 A F 22 N max ，可以得到 A 6 3 N 10802 10160 2 F m2 3 10mm2 3-3 3- -5 试求图示等直杆 AB 各段内的轴力。 B D C A 2a a a 2F F y FA FB FA FA FNCD FNAC F 2F 2F FB FNDB 解解： 为一次超静定问题。设支座反力分别为 A F和 B F，如图所示。 由截面法求得各段轴力分别为 AAC FF N ，FFF BCD N ， BDB FF N 静力平衡方程为 0 Y ： 02 BA FFFF 变形协调方程为 0 DBCDAC llll 物理方程为 EA aF l AC AC N ， EA aF l CD CD 2 N ， EA aF l DB DB N 由联立解得：FFA 4 7 ，FFB 4 5 故各段的轴力为：FF AC 4 7 N ， 4 N F F CD ，FF DB 4 5 N 。 3- -6 图示结构的横梁 AB 可视为刚体，杆 1、2 和 3 的横截面面 积均为 A，各杆的材料相同，许用应力为。试求许用载荷F。 F ACB D E F y FNAD FNCEFNBF F l 2l l aa 解解： 为一次超静定问题。 由对称性可知， BFAD FF NN ， BFAD ll。 静力平衡条件： 0 Y ： 0 NNN FFFF BFCEAD 变形协调条件： CEAD ll 即 EA lF EA lF CEAD 2 NN 即 CEAD FF NN 2 由解得：FFFF CEBFAD 5 2 2 NNN 由 AD、BF 杆强度条件 A F BFAD 52 ，可得该结构的 许用载荷为 AF 2 5 3-4 3- -7 图示铰接正方形结构，各杆的材料均为铸铁，其许用压应 力与许用拉应力的比值为3 tc ，各杆的横截面面积均为 A。 试求该结构的许用载荷F。 a a F F C B A D (b) N F FN FN D F FN FN (a) B 解解： B 点受力如图(a)所示，由平衡条件可得：2 N FF 由对称性可知，AD、BD、AC、BC 四杆受拉，拉力为2F， 由拉杆强度条件 A F2 t t 可得 FA2 t D 点受力如图(b)所示，由平衡条件可得：FFF NN 2 CD 杆受压，压力为F，由压杆强度条件 A F c 3 tc 可得 FA 3 t 由可得结构的许用载荷为AF2 t 。 3- -8 图示横担结构， 小车可在梁 AC 上移动。 已知小车上作用的 载荷kN 15F， 斜杆 AB 为圆截面钢杆， 钢的许用应力MPa 170。 若载荷 F 通过小车对梁 AC 的作用可简化为一集中力， 试确定斜杆 AB 的直径 d。 0.8m 1.9m A B F C F C FNAB x A 解解： 由几何关系，有388. 0 9 . 18 . 0 8 . 0 sin 22 取 AC 杆为研究对象 0 C M： 09 . 1sin N FxF AB 由此可知：当m 9 . 1x时， kN66.38kN 388. 0 15 sin maxNN F FF AB 由 4 )( 2 maxN max d F AB 可得 dmm17m 10170 1066.384 4 6 3 maxN F 杆 AB 的直径dmm17。 3-5 3- -9 图示联接销钉。已知kN 100F，销钉的直径mm 30d， 材料的许用切应力MPa 60。试校核销钉的剪切强度，若强度不 够，应改用多大直径的销钉。 F F . . d 解解： 1校核销钉的剪切强度 62 3 22 1030 1010022 4 2 d F d F Pa7 .70MPa 销钉的剪切强度不够。 2设计销钉的直径 由剪切强度条件 4 2 2 d F ，可得 d 6 3 1060 101002 2 F m6 .32mm 3- -10 图示凸缘联轴节传递的力偶矩为mN 200 e M，凸缘之 间用四个对称分布在mm 80 0 D圆周上的螺栓联接，螺栓的内径 mm 10d，螺栓材料的许用切应力MPa 60。试校核螺栓的剪切 强度。 M . n n n-n 截面 螺栓 D0 . . . . . . e Me 解解： 设每个螺栓承受的剪力为 Q F，则由 e 0 Q 4 2 M D F 可得 0 e Q 2D M F 螺栓的剪应力 362 0 2 e 2 0 e Q 10801010 20022 4 2 Dd M d D M A F Pa 9 .15MPa 螺栓满足剪切强度条件。 3-6 3- -11 图示矩形截面木拉杆的接头。已知轴向拉力kN 50F，截 面的宽度mm 250b，木材顺纹的许用挤压应力MPa 10 bs ，顺 纹的许用切应力MPa 1。试求接头处所需的尺寸 l 和 a。 FF ll a b 解解： 1 由挤压强度条件 ab F bs bs ，可得 a 63 3 bs 101010250 1050 b F m20mm 2由剪切强度条件 bl F ，可得 l 63 3 10110250 1050 b F m200mm 3- -12 图示螺栓接头。已知kN 40F，螺栓的许用切应力 MPa 130，许用挤压应力MPa 300 bs 。试求螺栓所需的直径 d。 F F d 10 . 20 10 . . . . 解解： 1由螺栓的剪切强度条件 4 2 2 d F ，可得 d 6 3 10130 10402 2 F m14mm 2由螺栓的挤压强度条件 3 bs 1020 d F bs ，可得 d 63 3 bs 3 103001020 1040 1020 F m7 . 6mm 综合 1、2，螺栓所需的直径为d14mm。 3-7 3- -13 图示结构的 AB 杆为刚性杆，A 处为铰接，AB 杆由钢杆 BE与铜杆CD吊起。 已知CD杆的长度为m 1， 横截面面积为 2 mm 500， 铜的弹性模量GPa 100E；BE 杆的长度为m 2，横截面面积为 2 mm 250， 钢的弹性模量GPa 200E。试求 CD 杆和 BE 杆中的应力 以及 BE 杆的伸长。 FNEB F lCD C D E B 0.5m F=200 kN A 0.5m 1m lEB FNCD A 解解：为一次超静定问题。 静力平衡条件： 0 A M： 05 . 120012 NN CDEB FF 变形协调方程： CDEB ll2 即： 11 N 22 N 1 2 2 AE F AE F CDEB 即： 1 500100 250200 11 22 N N AE AE F F CD EB 由解得：kN100 N EB F kN100 N CD F 各竖杆应力： MPa400Pa 10250 10100 6 3 EB MPa200Pa 10500 10100 6 3 CD 钢杆伸长： mm4m2 10200 10400 2 9 6 2 E l EB EB 3- -14 由两种材料粘结成的阶梯形杆如图所示，上端固定，下端 与地面留有空隙mm 08. 0。铜杆的 2 1 cm 40A，GPa 100 1 E， 16 1 C 105 .16 ； 钢 杆 的 2 2 cm 20A，GPa 200 2 E， 16 2 C 105 .12 ，在两段交界处作用有力 F。试求： (1) F 为多大时空隙消失； (2) 当kN 500F时，各段内的应力； (3) 当kN 500F且温度再上升C20时，各段内的应力。 1m F 2m . . 1铜 钢2 . . 2 F 1 FF1 F2 F (a) (b) 解解： 1由 11 1 AE F 可得 493 11 1040101001008. 0 AEFN32kN 2当kN500F时，空隙已消失，并在下端产生支反力，如图(a) 所示，故为一次超静定问题。 (1) 静力平衡方程 0Y： 0 21 FFF 即 3 21 10500 FF 3-8 (2) 变形协调方程： 22 2 11 1 21 AE F AE F l 即： 3 49 2 49 1 1008. 0 102010200 2 104010100 FF 即： 3 21 10322 FF 由解得： 344 1 FkN， 156 2 RkN 4 3 1 1040 10344 Pa86MPa 4 3 2 1020 10156 Pa78MPa 3设由于温度再上升 20而引起的两端支反力如图(b)所示 静力平衡条件： 0Y： 0 21 FF， 即 FFF 21 变形协调方程： 021 21 21 22 2 11 1 tt AE F AE F l 即 02201025. 11201065. 1 102010200 2 104010100 55 4949 FF 由此求得： kN7 .110F MPa7 .27Pa 1040 107 .110 4 3 1 MPa4 .55Pa 1020 107 .110 4 3 2 当kN500F作用时，温度再上升 20后各段应力为: 3 .587 .2786 111 MPa 4 .1334 .5578 222 MPa 4-1 第四章 扭 转 4- -1 某 圆 轴 作 用 有 四 个 外 力 偶 矩1 1e MmkN， 6 . 0 2e MmkN，2 . 0 4e3e MMmkN。 (1) 试作轴扭矩图； (2) 若 1e M、 2e M位置互换，扭矩图有何变化？ 解解： 0.4 0.2 0.6 1.0 0.4 0.2 T ( kNm) (2) (1) 4- -2 如图所示一传动轴AC， 主动轮A传递外扭矩1 1e MmkN， 从动轮B、C传递的外扭矩分别为4 . 0 2e MmkN，6 . 0 3e MmkN， 已知轴的直径4dcm，各轮间距50lcm，切变模量80GGPa， (1) 试合理布置各轮的位置； (2) 试求各轮在合理位置时轴内的最大切应力以及轮 A 与轮 C 之间的相对扭转角。 T ( kNm ) 1.0 0.6 0.4 0.6 解解： 1由扭矩图可以看出：按原先的布置，轴的最大扭矩为mkN 0 . 1； 当主动轮 A 位于中间位置时，轴的最大扭矩降低为mkN 6 . 0，因此， 将主动轮 A 布置在两从动轮 B 和 C 中间较为合理。 247.7MPaPa 104 16 106 . 0 63 3 p max W TAC 854. 0rad0149. 0 104 32 1080 1050106 . 0 849 23 p GI lTAC AC 或 22 p p max d GW lT GI lT d G l ACAC AC 2m2.5m2.5m mmmm 342 1 l m mm 21 3 l ACB l m m m2 1 3 l BCA 4e M 3e M 2e M 1e M 3e M 2e M 1e M 3e M 2e M 1e M 4-2 4-3 一空心圆轴的外径90Dmm，内径60dmm，试计算该 轴的抗扭截面系数 p W；若在横截面面积不变的情况下，改用实心圆 轴，试比较两者的抗扭截面系数 p W，计算结果说明了什么？ 解解： 1空心圆轴的抗扭截面系数 34 444444 p mm105 .11 9016 6090 162 32 D dD D dD W 2实心圆轴的抗扭截面系数 设实心圆轴的直径为 d ， 由实心圆轴与空心圆轴的横截面面积相 等，即 222 44 dDd ，可得 mm1 .676090 2222 dDd 故实心圆轴的抗扭截面系数为 343 p mm109 . 5 16 dW 3比较 1 和 2 可知：在横截面相同的情况下，空心圆截面要比实心 圆截面的抗扭截面模量大，因而，在扭转变形中，采用空心圆截面要 比实心圆截面合理。 4- -4 图示阶梯形圆轴的直径分别为4 1 dcm、7 2 dcm，轴上 装有三个皮带轮。已知由轮 3 输入的功率为30 3 PkW，轮 1 输出的 功率为13 1 PkW，轴作匀速转动，转速200nr/min，材料的许用切 应力60MPa，切变模量80GGPa，许用单位长度扭转角 2/m 。试校核该轴的强度和刚度。 解解： 62. 0 200 13 55. 9 1e MmkN 43. 1 200 30 55. 9 3e MmkN MPa3 .49Pa 104 16 1062. 0 63 3 p max AC AC AC W T m77. 1mrad 031. 0 104 32 1080 1062. 0 849 3 p AC AC AC IG T MPa2 .21Pa 107 16 1043. 1 63 3 p max DB DB DB W T m43. 0mrad 008. 0 107 32 1080 1043. 1 849 3 p DB DB DB IG T 0.62 1.43 T (kNm) 0.5m m m m 1 2 3 ACBD 0.3m1m 3e M 2e M 1e M 4-3 4- -5 图示外径100Dmm，内径80dmm 的空心圆轴与直径 80 1 Dmm 的 实 心 圆 轴 用 键 相 连 。 轴 的 两 端 作 用 外 力 偶 矩 6 e MmkN， 轴 的 许 用 切 应 力80MPa ； 键 的 尺 寸 为 mm30mm10mm10，键的许用切应力100MPa，许用挤压应 力280 bs MPa，试校核轴的强度并计算所需键的个数 n。 解解： 1校核轴的强度 空心轴： 1244 33 44 e max 1080100 10 2 100 10632 32 2 dD D M Pa8 .51MPa 实心轴： 93 3 3 1 e max 1080 10616 16 D M Pa7 .59MPa 轴满足强度条件。 2求所需键的个数 3 3 1 e 1080 1062 2 D M FN150kN 由 6 103010 n F 可得：n5 10100103010 10150 66 3 由 6 bs 10305 n F bs 可得：n6 . 3 1028010150 10150 66 3 所需键的个数n5。 4- -6 图示两圆轴用法兰上的 12 个螺栓联接。 已知轴传递的扭矩 50 e MmkN，法兰边厚2tcm，平均直径30Dcm，轴的许用 切应力40MPa，螺栓的许用切应力60MPa，许用挤压应力 120 bs MPa，试求轴的直径 d 和螺栓直径 1 d。 解解： d mm D d1 tt . . . . . . 1求轴的直径 由轴的剪切强度条件： 16 3 e max d M ，可得 d 3 6 3 3 e 1040 105016 16 M m185mm 2求螺栓的直径 每个螺栓所受到的力为 2 3 e 10306 1050 212 1 D M FN8 .27kN 由螺栓的剪切强度条件： 2 1 2 1 Q4 4d F d F ，可得 1 d 6 3 1060 108 .274 4 F m24mm 由螺栓的挤压强度条件： 1bs bs bs td F A F bs ，可得 1 d 62 3 bs 10120102 108 .27 t F m12mm 1 d24mm。 F m D 10 Dd 1 m m 10 30 e Me M e M e M e M 4-4 4-7 图示密圈螺旋弹簧的平均直径250Dmm，簧杆直径 5 .12dmm，承受轴向拉力180FN。已知弹簧有效圈数10n，切 变模量80GGPa。试求该弹簧的轴向变形和簧杆内的最大切应力。 解解： 1弹簧的轴向变形 8 64 4 3 4 3 Gd nFD Gd nFR mm 2 .115m 105 .121080 10250180108 1249 93 2簧杆内的最大切应力 20 5 .12 2502 d D d R c 333 max 8615. 0 44 14816 d FD cc c d FD k d FR k MPa 8 .62Pa 105 .12 102501808 20 615. 0 4204 1204 93 3 4-8 图示端部固定的钢圆杆和铜圆管以销钉联接。联接前，因 制造误差，两杆销孔中心相差一角度035. 0rad。已知60Dmm， 40dmm，钢杆和铜管的长度及切变模量分别为400 1 lmm， 600 2 lmm，80 1 GGPa，40 2 GGPa。试求强行联接后二杆内的最 大切应力。 Dd A A A- A ll1 2 解解： mm 为扭转超静定问题。设杆件的约束外扭矩为 e M，根据题意有 21 4 1 1e 1 p1 1e 1 32 dG lM IG lM ， 44 2 2e 2 p2 2e 2 32 dDG lM IG lM 由和式可求得 mN 1012 1040601040 10600 10401080 10400 32 035. 0 12449 3 1249 3 e M MPa 5 .80Pa 1040 101216 16 933 e max 1 d M MPa 7 .29Pa 104060 1060101216 16 1244 3 44 e max 2 dD DM d D 2 _ F F e M e M 5-1 第五章 梁的基础问题 5- -1 试用截面法求图示梁中nn截面上的剪力和弯矩。 FQ (b) q=4kN/m n n (a) A B 1m 2m 1m n n A B C C FAy 2m 2m 2m F1=8kN F2=6kN FQ 4kN/m 6kN M O 8kN 6kN M O 解解： (a) 将梁从 n-n 截面处截开，截面形心为 O，取右半部分研究。 0 Y ： 068 Q F， 14 Q FkN 0 O M： 03618M， 26MmkN (b) 对整个梁 0 B M： 01644 Ay F， 6 Ay FkN 将梁从 n-n 截面处截开，截面形心为 O，取左半部分研究。 0 Y ： 0246 Q F 2 Q FkN 0 O M： 024 2 1 26 2 M 4MmkN 5- -2 试用截面法求图示梁中 1-1、2-2 截面上的剪力和弯矩。并 讨论这两个截面上内力的特点。设 1-1、2-2 截面无限接近于载荷作 用位置。 Me FBy FAy FBy FAy A B 1 2 21 (b) l/2 l/2 (a) A B 1 2 21 l/2 l/2 F FQ1 M1 F/2 FQ2 M2 F/2 FQ1 M1 Me /l FQ2 M2 Me /l 解解： (a) 以整个梁为研究对象，求得支反力： 2 F FF ByAy 由截面法， 分别以 1-1 截面左半部分、2-2 截面右半部分为研究对象， 求得： 2 1Q F F， 4 1 Fl M 2 2Q F F， 4 2 Fl M 可见，集中力作用处，剪力有突变，突变值为 F，弯矩不变。 (b) 以整个梁为研究对象， 求得支反力： l M FAy e ， l M FBy e 由截面法， 分别以 1-1 截面左半部分、2-2 截面右半部分为研究对象， 求得： l M F e 1Q ， 2 e 1 M M l M F e 2Q ， 2 e 2 M M 可见，集中力偶作用处，弯矩有突变，突变值为 e M，剪力不变。 5-2 5- -3 试写出图示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。 (a) F=10kN (a) Me=12kNm A B C FAy FBy x x x FQ(kN) 7 3 M(kNm) 12 9 M(x) FQ(x) 7kN 12kNm 3kN FQ(x) M(x) (a3) (a2) (a1) 3m 3m 解解： 1求支反力，图(a)， 0 C M： 0310126 Ay F， kN7 Ay F 0 Y ： 010 ByAy FF， kN3 By F 2列内力方程，图(a)和( 1 a)， 63 kN 3 30 kN 7 )( Q x x xF 63 30 mkN )6( 3 mkN 127 )( x x x x xM 3作内力图，图( 2 a)，( 3 a)。 (b) FQ FQ(x) FBy FAy q A C B (b) l l/2 ql x x ql M(x) FQ(x) q M(x) (b1) ql ql (b2) M ql2/2 (b3) 解解： 1求支反力，图(b)， 0 B M： 0 22 1 2 l qlqllFAy， 0 Ay F 0 Y ： 0qllqFF ByAy ， qlFBy2 2列内力方程，图(b)和( 1 b)， 23 0 )( Q lxl lx ql qx xF 23 0 )23( 2 )( 2 lxl lx xlql qx xM 3作内力图，图( 2 b)，( 3 b)。 5-3 5- -4 试画出图示梁的剪力图和弯矩图。 q (b) a a qa2 a a (a) C Fa 2F A B C A B Fa Fa M FQ qa2 2qa qa2/2 qa2/2 M FQ 2F q B A q=30kN/m (b) 1m 1m 1m 1m F=20kN D C E (a) l/2 l/2 q B A C FCy=40kN FEy=40kN M ql2/16 9ql 2/128 FAy=3ql/8 FBy=ql/8 30 FQ (kN) 10 10 30 M(kNm) 15 15 5 FQ 3l/8 3ql/8 ql/8 5-4 5- -5 试用 Q F、 M与q 之间的微分关系判断图示梁的内力图形态， 画出内力图，并求出 max Q F和 max M。 (a) q BA aa q C (a) M FQ qa qa2/2 qa2 解解： 根据微分关系： xF x xM Q d d 和 q x xM x xF 2 2 Q d d d d AC 段：q为常数，且0q，FQ图从左到右为向下的斜直线，M 图为 向上凸的抛物线。 CB 段：q为常数，且0q，FQ图从左到右为向上的斜直线，M 图为 向下凹的抛物线。 在 C 截面处，FQ图连续，M 图光滑。 (b) q C AB 2a a qa2 (b) M FQ 5qa/3 qa2 18 25 2 qa qa/3 3 4 2 qa 5a/3 解解： 1求支反力 0 A M： 02 2 1 3 22 aqqaaFBy， 3 qa FBy 0 Y ： 02 aqFF ByAy ， 3 5qa FAy 2判断内力图形态并作内力图 AC 段：q为常数，且0q，FQ图从左到右为向下的斜直线，M 图为 向上凸的抛物线，在距A端a 3 5 截面处，M 取极大值。 CB 段：0q，FQ图为水平直线，且0 Q F，M 图从左到右为向下的 斜直线。 在 C 截面处，FQ图连续，M 图光滑。 FBy FAy 5-5 (c) q D AB aa P=qa a C (c) 3qa2/2 M FQ 2qa qa qa2 解解： 1求支反力 0 A M：02 2 1 3 2 aqaaqaFBy， qaFBy 0 Y ： 02qaaqFF ByAy ， qaFAy2 2判断内力图形态并作内力图 AC 段：q为常数，且0q， Q F图从左到右为向下的斜直线，M 图为 向上凸的抛物线。C截面处，有集中力F作用， Q F图突变， M 图不光滑。 CD 段：q为常数，且0q， Q F图从左到右为向下的斜直线，M 图 为向上凸的抛物线。 DB 段：0q， Q F图为水平直线，且0 Q F；M图从左到右为向下 的斜直线。 注注： AC、CD 两段)(xM曲线非同一函数表示的曲线。 (d) q=6kN/m C AB 1m m=8kN m. 1m4m D (d) b FQ(kN) 9.33 14.67 9.33 17.93 1.33 2.44 a b c e d M( mkN ) 解解： 1求支反力 0 B M： 046 2 1 86 2 Ay F，kN 33. 9 Ay F 0 Y ： 046 ByAy FF， kN 67.14 By F 2判断内力图形态，作内力图 Q F图： AD 段，0q，为水平直线； DB 段，0q，从左到右为向下的斜直线。 M 图： AC 段，0q，且0 Q F，从左到右为向上的斜直线； C 截面处，有集中力偶 e M作用，有突变； CD 段，0q，且0 Q F，从左到右为向上的斜直线，且abcb/； DB 段，0q，为向上凸的抛物线，且c b 与ce在c点相切； 在距D端m 9 22 截面处，0 Q F，M 取极大值。 e M FAy FBy F FBy FAy 5-6 5- -6 图示起吊一根单位长度重量为 q（kN/m）的等截面钢筋混 凝土梁，要想在起吊中使梁内产生的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对 值相等，应将起吊点 A、B 放在何处（即?a）？ 解解： 作梁的计算简图及其 M 图。 由 maxmax MM， 即 22222 2 2 qalq a lql 即 0 4 2 2 l laa 求得 lla207. 0 2 12 5- -7 图示简支梁受移动载荷 F 的作用。试求梁的弯矩最大时载 荷 F 的位置。 B A l F x F l xlx M 解解： 当载荷 F 移动到距 A 支座为 x 位置时，梁的最大弯矩为 F l xlx xM max 由 02 d d max xl l F x xM 求得 2 l x 即：当移动载荷F位于梁的中点时弯矩M达到最大。 2 2222 lq a lql q M 2 2 qa 2 2 qa ql/2 ql/2 F=ql B A a a l 5-7 5- -8 长度mm 250l、截面宽度mm 25b、高度mm 8 . 0h的 薄钢尺，由于两端外力偶矩的作用而弯成中心角为 60的圆弧。已知 钢的弹性模量GPa 210E，试求钢尺横截面上的最大正应力。 解解： 根据题意 l ， z EI M 1 可以得到 l E E I M z 故钢尺横截面上的最大正应力为 MPa 352 Pa 2 108 . 0 10250 3 10210 2 3 3 9 max max h l E I My z 5- -9 图示矩形截面简支梁。试求 1-1 截面上 a、b 两点的正应力 和切应力。 8kN 1 AB 1000 12001000 1 . . 10 150 40 75 b a 解解： 1求 1-1 截面上的剪力和弯矩 0 B M： 0182 . 2 Ay F， kN 11 40 Ay F 1-1 截面上的剪力和弯矩为：kN 11 40 11Q F，mkN 11 40 11 M 2求 1-1 截面上 a、b 两点的应力 46 123 m 1009.21 12 1015075 z I MPa 03. 6Pa 1009.21 1040 2 150 10 11 40 6 33 11 z a a I yM MPa 0.38Pa 1009.211075 10 2 40 2 150 407510 11 40 63 93 * 11Q z z a bI SF MPa 93.12Pa 1009.21 10 2 150 10 11 40 6 33 11 z b b I yM 0 b FAy 5-8 5- -10 为了改善载荷分布，在主梁 AB 上安置辅助梁 CD。若主 梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为 1z W和 2z W，材料相同，试求 a 的 合理长度。 4 alF 4 Fa 2 al 2 a 2 a 2 al B A F C D MCD MAB 解解： 1作主梁 AB 和辅助梁 CD 的弯矩图 2求主梁和辅助梁中的最大正应力 主 梁： 111 max max 4 4 zzz AB AB W alF W alF W M 辅助梁： 222 max max 4 4 zzz CD CD W Fa W Fa W M 3求a的合理长度 最合理情况为 max max CDAB 即： 21 44 zz W Fa W alF 由此求得： l WW W a zz z 21 2 5- -11 钢油管外径mm 762D，壁厚mm 9t，油的重度 3 1 mkN 3 . 8/， 钢 的 重 度 3 2 mkN 67/， 钢 管 的 许 用 正 应 力 MPa 170。若将油管简支在支墩上，试求允许的最大跨长 l。 q ql2/8 l/2 762 744 解解： 1作油管的受力简图 kN/m 1029762 4 3 . 8 1029762762 4 76 62 622 q kN/m 23. 5 2求允许的最大跨长 l 4124444 m 1029762762 6464 dDIz 43m 1051. 1 由 zz I Dql I yM 28 2 maxmax max ，得到 lm 1 .32m 107621023. 5 101701051. 11616 33 63 qD Iz 允许的最大跨长为m 1 .32。 5-9 5- -12 图示正方形截面悬臂木梁承受载荷作用。已知木材的许用 正应力MPa 10。现需要在梁的 C 截面中性轴处钻一直径为 d 的 圆孔， 试问在保证该梁强度的条件下， 圆孔的最大直径 d 可达多少 （不 考虑圆孔处应力集中的影响）？ 250 1000 2kN/m 5kN A B C 160 160 y z C 截面 解解： C 截面为危险截面。 mkN 1025010002 2 1 1025010005 623 C M mkN 31. 4 4334 33 mm 160 3 40 mm 12 160 12 160160 d d Iz mm 80mm 2 160 max y 由 10160 3 40 1233 maxmax max d yM I yM C z C ，可得 dmm 1040 3 160 3 12 max 3 yMC mm 115mm 10101040 10801031. 43 160 3 612 33 3 5- -13 图示 T 形截面铸铁梁承受载荷作用。 已知铸铁的许用拉应 力MPa 40 t ，许用压应力MPa 160 c 。试按正应力强度条件 校核梁的强度。 若载荷不变， 但将 T 形横截面倒置成形， 是否合理？ 为什么？ 解解： q=10kN/m B A F=20kN D C 200 200 30 30 y zC 30kN 10kN 2m 3m 1m yC 10 20 M(kNm) 1作 M 图，求 zC I mm 5 .157 3020030200 1003020021530200 C y 47 2 3 2 3 mm 1001. 6 5 .5730200 12 20030 5 .5730200 12 30200 zC I 2强度校核 B 截面：24.1MPaPa 105 .721020 t 33 t zC BB I 上 .2MPa25Pa 105 .1571020 c 33 c zC BB I 下 C 截面：12.1MPaPa 105 .721010 c 33 c zC CC I 上 26.2MPaPa 105 .1571010 t 33 t zC CC I 下 3若倒置成形时，MPa 2 .52 tt 上BB ，不合理。 5-10 5- -14 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知kN 5F， m 5 . 1a，木材的许用正应力MPa 10。试确定当抗弯截面系数 最大时矩形截面的高宽比bh/以及锯成此梁所需木料的最小直径 d。 B A F C D F a a 3a h d y b z Fa M 解解： 1作弯矩图 2求高宽比 222 6 1 6 1 bdbbhWz 由0 d d b Wz ，求得 3 d b ，dh 3 2 抗弯截面系数最大时的高宽比为：2 b h ，此时， 39 3 d Wz 3确定所需材料的最小直径 由 3 max max 39 d Fa W M z ，得到 dm 0.227m 1010 5 . 110539 39 3 6 3 3 Fa 5- -15 一悬臂梁长为mm 900，在自由端受集中力 F 作用，此梁 由三块mm 100mm 50的木板胶合而成，如图所示，图中 z 轴为中性 轴， 胶合缝的许用切应力MPa 35. 0。试按胶合缝的切应力强度条 件确定许用载荷F，并求在此载荷作用下梁的最大正应力。 F FQ M Fl F 100 z y 50 50 50 解解： 1求许用载荷 45 1233 m 108125. 2 12 10150100 12 bh Iz 359* m 1025105010050 z S 由胶合缝的剪切强度条件 z z z z bI FS bI SF * * Q ，得到 FN 3938N 1025 1035. 0108125. 21 . 0 5 65 * z z S bI F 2求梁的最大弯曲正应力 MPa 45. 9Pa 108125. 2 2 15. 0 9 . 03938 5 maxmax max z I yM 5-11 5- -16 若图示梁的许用正应力MPa 160，许用切应力 MPa 100，试选择工字钢的型号。 10kN/m B A 4kN C 4m 2m FAy=18kN FBy=26kN 22 16.2 8 M(kNm) 1.8m 18 4 FQ ( kN ) 解解： 1求支反力，作剪力、弯矩图。 kN 22 maxQ F，mkN 2 .16 max M 2按正应力强度条件选择工字钢型号 由 z W Mmax max ，得到 z W 3 6 3 max cm 25.101 10160 102 .16 M 查表选 14 号工字钢，其 3 cm 102 z W，mm 5 . 5b，cm 0 .12 * zz S