关于三角教材与教法的新思考

1 / 6 关于三角教材与教法的新思考 关于三角教材与教法的新思考 1998 年 4 月 21 日，国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容，其中的调整意见第 (7)条为： “ 对三角函数中的和差化积、积化和差的 8 个公式，不要求记忆。 ” 再联想到 1998 年全国高考数学卷中，已尽可能减少了这 8 个公式的出现次数，在仅有的一次应用中，还将公式印在试卷上，以供查阅，而当时调整意见尚未生 效效。这不能不说对和积 互互化的 8 个公式的要求 是是大大降低了。 但是 ，这次调整的，难道仅 仅仅是 8 个公式吗？如果 认认为仅仅是降低了对 8 公公式的要求，那就太表 面面、太肤浅了。 我们 知知道，和积互化历来是 三三角部分的重点内容之 一一。相当部分的三角题 都都是围绕它们而设计的 ，它们也确实在很大程 度度上体现了公式变形的 技技巧和魅力。现在，要 求求降低了，有关的题目 已已不再适合作为例题选 用用了。这样一来，三角 部部分还要我们教些什么 ？又该怎样教？立刻成 了了部分教师心头的一大 困困惑。 有鉴于此，我 认认为很有必要重新审视 这这部分的知识体系，理 清清新的教学思路，以便 真真正落实这次调整的意 见见，实现“三个有利于 ”的既定目标。 一、 是是“三角”还是“函数 ” 2 / 6 应当说，三角函数 是是由“ 三角”和“函数 ”两部分知识构成的。 三三角本是几何学的衍生 物物，肇始于古希腊的希 帕帕克，经由托勒玫、利 提提克思等。至欧拉而终 于于成为一门形态完备、 枝枝繁叶茂的古典数学学 科科。历史上的很长一段 时时期，只有三角学 盛盛行于世，却无“三角 函函数”之名。 “三角 函函数”概念的出现，自 然然是在有了函数概念之 后后，从时间上看距今不 过过 300 余年。但是， 此此概念一经引入，立刻 极极大地改变了三角学的 面面貌。特别是经过罗巴 切切夫斯基的开拓性工作 。致使三角函数可以完 全全独立于三角形之外， 而而成为分析学的一个分 支支，其中的角 也不限于 正正角，而是任意实数了 。有的学者甚至认为可 将将它更名为角函数，这 是是有见地的。 所以， 作作为一门学科的三角 学学已经不再独立存在 。现行中学教材也取消 了了原来的代数、 三三角、几何的格 局局，将三角并入了代数 内内容。这本身即足以说 明明“函数”在“三角” 中中应占有的比重。 再 从从代数学的历史演 变变来看，在相当长的历 史史时期内，“式与方程 ”一直是它的核心内容 ，那时的教材都是围绕 着着它们展开的。所以， 书书中的分式变形、根式 变变形、指数式变形和对 数数式变形可谓连篇累牍 、所在皆是。这是由 当 时时的数学认知水平决定 的的。而现在，函数已取 代代了式与方程成为代数 的的核心内容，比起运算 技技巧和变形套路来，人 们们更关3 / 6 注函数思想的认 识识价值和应用价值。 19963 年颁布的数学 教教学大纲提出数学三 大大能力时，首要强调的 是是 “ 形式演算能力 ” ， 11990 年的大纲突出 强强调的则是 “ 逻辑思维 能能力 ” 。现行高中代 数数课本中，充分阐发 了了幂函数 、指数函数、 对对数函数的图象和性质 及及应用，对这三种代数 式式的变形却轻描淡写。 所以，三角函数部分应 重重在“函数的图象和性 质质”是无疑的，这也是 国国际上普遍认可的观点 。 现行高中代数 的的三角函数部分，也单 列列了一章专讲“三角函 数数的图象和性质”，这 是是与数学发展的潮流相 一一致的。但若提起三角 函函数，大多数师生头脑 中中反映出来的，还是“ 众众多的公式，纷繁的变 换换”，而三角函数的“ 图图象和性质”倒是在其 次次的。这一点，与前面 所所述的“幂、指、对” 函函数有着极大的反差， 恐恐怕也与编者的意图大 相相径庭。个中缘由固然 与与三角本身多公式有关 ，其中和积互化 8 公式 的的干扰作用尤其明显。 8 公式形式类似，记忆 也也属不易，变形尤难把 握握，是师生教与学的共 同同难点。为此反复记忆 、题海操练实所难免。 调整以后，降低这部 分分的要求，大面积地减 少少了题量，目标中“第 一一和第三”两个有利于 是是可以实现的。但另一 个个该如何理解呢？把“ 函函数”作为关键词，将 目目光放在“图象4 / 6 和性质 ”上，应当是正确的选 择择，负担轻了，障碍小 了了，这更方便于我们将 注注意力转移到对函数图 象象和性质的关注上，这 才才是“三个有利于”得 以以贯彻的根本。 二、 国国外的观点及启示 下 面面来看一下美国和德国 的的观点： 美国没有全 国国统一的教材和考试 说说明，只有一个课 程程标准，在课程标 准准中，他们对三角函 数数提出 了下面的要求： 会会用三角学的知识解三 角角形；会用正弦、余弦 函函数研究客观实际中的 周周期现象；掌握三角函 数数图象；会解三角函数 方方程；会证基本的和简 单单的三角恒等式；懂得 三三角函数同极坐标、复 数数等之间的联系。 他 们们还特别指出：不要在 推推导三角恒等式上花费 过过多的时间。只要掌握 一一些简单的恒等式推导 ，如：之类就可以了。 比比较复杂的恒等式如之 类类，就应该完全避免了 。 德国在 10 到 12 年年级每年都有三角内容 。 10 年级要求如下： (1)一个角的弧度。 (2)三角函数 sinx cosxtgx 和和它们的图象 周期性。 (3)三角形中角和 边边的计算。 (4)重 要要关系。 另外，在 11 年级和 12 年级的 “ 无无穷小分析 ” 中，继续 研5 / 6 研究三角函数的图象变 换换、求导、求积分、求 极极限。 从以上罗列， 我我们可以看出下面的共 同同点： 第一，突出强 调调三角函数的图象和性 质质。 第二，淡化三角 式式的变形，仅涉及同角 变变换。而且要求较低； 8 公式根本不予介绍。 第三，明确变换的目的 是是为了三角形中的实际 计计算。 第四，注意三 角角函数和其它知识的联 系系。 这带给我们的启 示示还是很强烈的。美国 和和德国的中学教育以实 用用为主，并不太在乎 教 材材体系是否严谨，知识 系系统是否完整。我国的 教教材虽作调整，对 8 公 式式不要求记忆。同期颁 布布的考试说明仍要 求求 “ 能推导并掌握 ” 。 不不要求记忆却要求推导 并并掌握，怎样实施且不 去去细说，有一个意图是 可可猜到的，那就是要让 学学生知道教材是严谨与 完完整的。我认为这大可 不不必。严谨与完整是相 对对的。现在看来严谨的 东东西，在更高的观点下 是是否还严谨？在圈内看 是是完整的，跳出圈子看 ，是否还完整？在一个 小小地方钻得太深，在另 外外更大的地方就可能无 暇暇顾及。人家能在中学 学学到向量、行列式 、微 分分、积分。我们却热衷 于于 在个别地方穷追不舍 ，这早已引起行家的注 意意。从这个意义上说。 此此次调整应当只是第一 步步。在中学阶段即试图 严严谨与完整。其实是受 前前苏联教育家赞可夫的 三三高影响太深的缘故。 6 / 6 三、调整后的知识体 系系分析 根据以上的分 析析，我认为本部分知识 应应分为两大块。即“三 角角函数的图象和性质” 与与“三角变换”，虽然 笔笔者认为后者该进一步 删删减，但毕竟目前没有 做做到。即使以后能大幅 删删减，也肯定会保留适 当当篇幅，因为三角变换 在在理论和实际中都有广 泛泛的应用。 现将本部 分分知识体系列表如下： 这些知识点中，重点 应 应是 (11 )(14)(15)( 18)，其实前几年 的的高考对它们也都有充 分分的体现。只是被 8 公 式式的光环所笼罩，我们