绕地轨道运动地面物理试验的建模与分析.pdf

2 0 1 1 年1 2 月中国空间科学技术 2 1 篁!塑篁皇! 望皇皇呈篁呈呈呈呈兰竺! 呈里! 竺量! ! 垒! 呈呈垒呈竺! 呈曼兰 绕地轨道运动地面物理试验的建模与分析 李昊阳余志坤薛白 ( 北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京l 0 0 1 9 1 ) 摘要基于对地面物理试验系统的受力分析建立了数学模型，定性定量地分析了液体 阻力、模拟万有引力及推力对运动轨迹的影响。首先，根据椭圆轨道摄动方程组导出了推 力、液体阻力、模拟万有引力同时存在时地面物理试验的数学模型；然后，通过理论分析 定性定量地给出了推力偏差和模拟万有引力偏差对轨道的影响程度；最后，通过大量的数 值模拟验证了理论分析的结果。 关键词地面物理试验液浮数学模型数值仿真航天器 D 0 1 ：1 0 3 7 8 0 j i s s n 1 0 0 0 7 5 8 X 2 0 1 1 0 6 0 0 4 1引言 对空间飞行器进行地面物理仿真试验是了解其运动规律的重要方法。目前国内外的卫星控制全 物理、半物理仿真系统发展日趋成熟，且都以气浮台为主 1 3 。自1 9 5 9 年以来，以美国为主的一些 国家已经研发了多种气浮台。1 9 6 8 年初我国用三轴气浮台进行“东方红一号”卫星天线伸展试 验。2 0 0 9 年北京航空航天大学宇航学院高华宇等人建立了基于气浮台的小卫星姿态控制全物理仿 真试验系统】。然而，气浮台在多年的实践应用中，暴露出了诸多缺点，例如，它对于高轨道卫星 控制系统正常模式的V 形轮等工作方式一般只能完成功能性验证【4 J 。 近年来，国内一些著名学者尝试做一类新的仿真研究地面液浮试验系统仿真，亦即用液浮 代替传统的气浮、用液体浮力抵消重力、用推力抵消液阻、再加入模拟万有引力，力求开创一种与 传统气浮台不同的新的仿真方法。液浮仿真系统与气浮仿真系统的比较如表1 所示。 根据表1 ，相对于气浮台，液浮台模拟精确度较低。针对这一问题，本文基于航天轨道动力学 摄动方程组对液浮试验系统建立了二自由度数学模型并进行了详细分析，推导出推力、液体阻力、 模拟万有引力偏差同时存在下卫星仿真运动的衰减规律，并进行了大量数值模拟试验。 表1液浮与气浮仿真系统比较 ! ! ! ：!竺2 里已! ! i i 2 里! ! ! ! ! ! 翌! i 旦! l 垒：! ! ! ! i 翌墨! 翌堕! 生：垒! ! ! i 旦g ! i 里! ! ! ! i 翌墨! z ! ! ! 里12 11 巳! ! ! ! ! ! ! ! 比较项气浮液浮 国家自然科学基金( 6 1 0 0 3 0 2 1 ) 资助项目 收稿只期：2 0 1 1 一O l 1 7 。收修改稿| I 期：2 0 1 1 一0 3 1 4 万方数据 2 2中国空间科学超銮 2 0 1 1 年1 2 月 2 数学模型 空间飞行器具有六自由度，因此地面物理试验系统也是六自由度的。为了建模需要，假设地面 模拟卫星为球体( 忽略卫星自身姿态的变化) ，并且只考虑卫星轨道平面，则地面物理试验系统可简 化为二自由度。基于以上思想，本节将构建液浮试验系统的二自由度数学模型。 在无摄动的理想情况下，设卫星运行轨道的长半轴A 。与地面试验轨道的长半轴口。之比为忌- ， 即A 。= 足。n 。；并设卫星运行周期T o 与地面试验运行周期T 之比为愚z ，即T o = 矗zT 。那么，基于 相似性研究，若记对应的地面无摄模型下的万有引力常数为肛7 ，则卢7 一( 惫；是 ) ，其中为地球的 万有引力常数，= 3 9 8 6 1 0 1 4m 2 s 2 。但在真实的液浮试验系统中，由于发动机提供的抵消液阻 的推力和模拟万有引力提供的中心引力存在偏差等因素，使得根本无法实现无摄椭圆运动。 因此，建模之前不妨假设：卫星是一个半径为Z 的光滑小圆球S ，质量研一4 彬3 I D 3 ，其中I D 表 示试验液体( 通常为水) 的密度。定义口，p ，已，P 。分别为地面系统的长半轴、半通径、偏心率及 偏心率在给定时间段内的上界。= o 时刻，卫星位于以系统中的地球( 小球0 ) 为焦点的即时椭圆 轨道坐标系中的近地点，且n ( O ) = 口。，P ( O ) = P 。；时刻卫星的位置矢量为，、极角为口、速度为1 ，。 定义垂直于r 的方向为“向( 称为横向) ，并记 ，与“向的逆时针 夹角为y ，则小球S 单位质量所受到的液体阻力为L 5 3F 1 一一6 兀枷m ， 其中，田表示试验液体的粘滞系数，用来表征液体反抗形变的能 力。进一步，假设：模拟万有引力的大小为F z = 弘7 尹( 1 一& ) ， 方向指向小球0 ；发动机为小球S 单位质量所提供的推力为 F 3 = 6 7 【砂 m ( 1 一向) 。其中，岛为液阻大小修正残余系数，& 为 万有引力大小匹配残余系数。根据参数假设，以小球0 为坐标原点建 立的极坐标系如图1 所示。 对图1 中的模拟卫星在径向和横向上作受力分析，得到横向力 。 LV r oF 3 小球! 球0F1 rI 图1 极坐标系 F i g 1P o p l a rc o o r d i n a t e s ，。= 一6 7 【叩z ，c o s ) ，( 邢- ) ，径向力大小，= 67 r 口s i n ) ，( 邢- ) + 户7 ( r 2 屉) 。根据空间轨道6 要素公 式，将横向力和径向力大小的表达式以及关系式，= 夕( 1 + P c o s 口) ，扩一卢7 ( 1 + 2 P c o s 口+ P 2 ) 夕， s i n y = ( e s i n 口诉而) u ，c o s y 一 ( 1 + P c o s 护) 杉7 7 万 刨代入到摄动方程组中，可得地面试验小 球S 运动的动力学数学模型，即地面物理试验的数学模型为 警一一譬孥( 1 忆c o s m zh z 学商咧1 h 瑚) z d Z 痧打l痧力 警一一学夕 害= 一学c 小咖，一争s i 删畅咖，z 在初始条件下，求解关于户( f ) 的微分方程可得：户( ) 2 口。( 1 一P 3 ) e x p 一1 2 【叩卵- f 优 。 3 推力大小偏差的影响 学挚q 托咖卯h q l d 口o ( 1 一P 5 ) 优 “。7 塞2 1 2 7 c 郴( 井c 咖) mI 万方数据 2 0 1 1 年1 2 月中国空间科学技术2 3 3 1 定性分析 观察公式( 2 ) 可知，坠等窨罢转丛型号( 1 + 2 P c 。s 口+ P 2 ) o 始终成立。所以，随角取值 符号的不同，口( ) 将呈现出不同的变化情况。当岛 o 时，如d o ，其中，等号当且仅当口一。或 口= 0 时成立。因此，试验过程中小球S 的试验轨道将一直衰减至小球O 为止。特别地，当向= 1 时，系统为小球S 单位质量提供的推力为o ，即对液体阻力未进行任何修正。此时，地面试验椭圆 轨道将以最快速度衰减至圆轨道，然后按圆轨道快速衰减到小球0 。当局 o ，因为 对于任意时刻，口( f ) 口。 O ，故d 口出= o 的情况不会发生。所以随着时间的推迟，小球S 的试 验轨道将持续严格扩张，并由椭圆轨道变为抛物线形轨道。 3 2 定量分析 根据以上定性分析，口( ) 的最大衰减量和最大扩张量将分别在向 O 和卢 o 和岛 o 时，若口( o ，7 c ) ，则d 口d o ，口( ) 随时间逐渐衰减，而 当日继续增大至( 7 c ，2 7 c ) 时，因为s i n 口 番石。当角 磊i i 岛。可见，当岛和屉在系统中同时存在时，届的重要性将 大于位。此外，当系数角和& 的比值不满足以上两个条件时，由于n ( ) ，P ( ) ，户( ) 之间的相互影 响，对长半轴口( ) 的定性分析将无法进行。 5 2 定量分析 基于以上定性分析以及公式( 1 ) 进行定量分析，首先针对公式( 1 ) 中关于P ( f ) 的微分方程，根 据公式( 3 ) 进行放大。类似3 2 节和4 2 节的讨论，在给定的初始条件下，可求得任意时刻下， e 一的一个估计为元j I 差妥苫：竺兰i 譬一，其中6 。= 掣，6 z i 黠。 2 6 2 ( 1 + P o ) 1 一e x p ( 昔6 l ) + 5 6 l ” L “1 川 其次，在任意时间内，根据不等式( 3 ) ，对数学模型中关于口( ) 的微分方程进行放大，得到 最大变化率为A 口2 ，其中 A _ 躺a x + 1 ) 2 唧( 挚卅器粤券a I + 1 ) 2 唧( 挚t ) 万方数据 ! ! ! ! 箜! ! 旦主垦窒旦型兰焦垄 2 假设n ( ) 在试验过程中总是按照最大变化率进行衰减或扩张，则在给定的初始条件下求解相 应微分方程，可以得到长半轴的最大衰减量为A 口5 ( 1 + A 口。) ，最大增长量为A 口5 ( 1 一A 口。) 。 6 数值仿真结果 假定初值时刻，在近地点处航天器与地球表面的距离为4 0 0k m ，并设P O 1 。此时，航天器 运行轨道长半轴为7 5 3 1 1 0 6m ，空间周期为6 5 0 4 1 0 3s 。若取志l = 1 0 6 和足：一1 0 0 ，则对应的 地面理想情况的口o = 7 5 3 1m ，T = 6 5 0 4s ，P = O 1 ，弘= 3 9 8 6m 2 s 2 。取试验小球S 的半径为 z 一0 3m 、试验液体环境为水，对( 岛，屉) 进行了不同的取值试验，其地面试验轨道长半轴变化情 况的数值试验结果如表2 4 所示。需要说明的是，表格中最大衰减量和最大扩张量的数值是根据 前文所给出的关于地面试验轨道变化量的相应估计值计算所得；另外，变化比例和变化量小于零表 示地面试验轨道衰减，大于零表示地面试验轨道扩张。 表2 推力偏差对地面试验轨道的影响 ( p - ，屉) ( 1 0 - 。O )( 一1 0 ，0 ) ( 1 0 。O ) ( 一1 0 _ ，O )( 1 0，0 )( 一1 04 ，O ) 变化比例 一6 7 9 1 0 28 1 7 1 0 一2 7 3 5 1 0 - 37 4 8 1 0 3 7 4 l 1 0 “7 4 2 1 0 4 变化量m O 4 65 5 4 1 0 一14 9 8 1 0 _ 25 0 7 1 0 一25 0 2 1 0 - 35 0 3 1 0 1 最大衰减量m O 7 0O一6 8 5 1 0 一2O一5 8 3 1 0 - 3O 最大扩张量m O7 9 5 1 0 一1O6 9 3 1 0 一2O6 8 4 1 0 一3 从表2 中可以看到，当肛 o 时，地面试验轨道衰减；当卢- o 时，地面试验轨道扩张；且随旧l 的 减小，地面试验轨道的变化比例明显地变小。而且，当I 且I = 1 0 叫时，地面试验轨道的变化比例可以 达到1 0 “的数量级。 表3 万有引力偏差对地面试验轨道的影响 ( 岛，屉) ( O ，1 02 )( O 。一1 02 )( 0 1 0 - 3 )( O 。一1 0 3 )( O ，1 0 1 )( O ，一1 0 “) 变化比例 一1 4 9 1 0 。一1 5 4 l O 7 1 5 8 1 0 _ 7一1 4 5 l O 一7一1 5 8 l O 一71 5 9 1 0 - 7 变化量m 一1 0 1 1 0 “一1 0 5 1 0 “ 一1 0 7 1 0 6 9 8 1 1 0 7 1 0 7 1 0 6 1 0 8 l O 一6 最大衰减量m3 7 5 1 0 一34 6 7 1 0 一41 9 7 1 0 41 6 5 1 0 11 8 5 1 0 一51 7 9 1 0 5 最大扩张量m 4 0 2 1 0 一34 6 3 1 0 一41 9 8 1 0 一41 6 4 1 0 一41 8 2 1 0 一51 7 9 1 0 5 表4推力与万有引力偏差对地面试验轨道的综合影响 ( 岛，屈) ( 1 0 一。1 02 )( 1 03 。一1 02 )( 一1 03 。1 02 )( 一1 03 。一1 02 )( 1 0 ，1 0 1 )( 1 0 ，一1 04 ) 变化比例 一7 5 2 1 0 - 37 1 8 1 0 17 6 7 1 0 - 37 3 l 1 0 。37 3 5 1 0 - 37 3 5 1 0 - 3 变化量m 一5 1 0 1 0 - 2 4 8 7 1 0 一25 1 9 1 0 一24 9 6 1 0 2 4 9 8 1 0 2 4 9 8 1 0 一2 最大衰减量m 3 3 5 1 0 一1 3 2 7 l O - 13 3 7 1 0 一13 2 9 1 0 一17 0 5 1 0 一27 0 5 1 0 一2 最大扩张量m 3 6 8 1 0 一13 5 7 1 0 一13 7 1 1 0 一13 6 0 1 0 一17 1 9 1 0 一27 1 8 1 0 一2 根据表3 中可知，随I 屉I 的减小，地面试验轨道衰减比例并没有明显的变化，始终按照1 0 _ 7 的数量级衰减。 万方数据 2 垦窒囹型堂堇垄 ! ! ! ! 生! ! 旦 由表4 可知，当两个参数同时存在时，随着屉的减小，地面试验轨道的衰减比例变小，但变 化程度很小。由此可见，当两参数同时存在时，液阻残余修正系数对地面试验轨道衰减情况的影响 起到了主导作用。 此外，由表2 4 还可以看到，每次数据模拟试验所得到的地面试验轨道衰减量都处于前文所 给的关于地面试验轨道最大衰减量和最大扩张量估计值的范围之内。 7 结束语 基于推力及模拟万有引力偏差对地面试验轨道影响的定性定量分析以及数值模拟结果，可得： 1 ) 当推力偏差或模拟万有引力偏差单独存在时，偏差的符号将影响轨道的衰减或扩张性质， 且偏差的绝对值越小，试验轨道相对变化越小； 2 ) 当两种偏差同时作用于试验小球时，推力偏差对试验轨道的影响将大于模拟万有引力偏差 所产生的影响。这些结果将对新概念飞行原理地面物理试验系统的构建具有一定的指导意义。 事实上，文中关于轨道衰减或扩张的范围估计较大，尚需进一步精确。另外，新概念飞行原理 地面物理试验过程中，还可能存在模拟万有引力和推力的方向偏角等诸多摄动因素，这些因素对试 验轨道的影响需要进一步的分析与研究。而且将此二自由度模型向更高自由度模型推广是必要的。 另外，基于混杂系统等新概念飞行原理 7 喝 ，今后将发展一套新概念飞行器的智能控制方法， 也就是设计“自适应误差系数修正模型”，有针对性地进行分析研究，从而减少试验轨道的偏差。 参考文献 1 许剑，杨庆俊，包钢，等多自由度气浮仿真试验台的研究与发展 J 航天控制，2 0 0 9 ，2 7 ( 6 ) ：9 6 1 0 1 _ X UJ I A N ，Y A N GQ I N G J U N ，B A oG A N G ，e ta 1 R e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n to fa i rb e a r i n gs p a c e c r a f ts i m u l a t o r o nt h em u l t i p l ed e g r e e so ff r e e d o m J J o u r n a lo fA s t r o n a u t i c s ，2 0 0 9 ，2 7 ( 6 ) ：9 6 - 1 0 1 2 J A EJ u NK I M ，B R UNA G R A w A L A u t o m a t i cm a s sb a l a n c i n go fa i r - b e a r i n g - b a s e dt h r e e - a x i sr o t a t i o r m ls p a c e c r a f ts i m u l a t o r J J o u r n a lo fG u i d a n c e ，C o n t r o I ，a n dD y n a m i c s ，2 0 0 9 ，3 2 ( 3 ) ：1 0 0 5 1 0 1 7 3 高华宇，董云峰基于气浮台的小卫星姿态控制全物理仿真实验系统 J 计算机测量与控制，2 0 0 9 ，1 7 ( 6 ) ： 11 5 3 1 1 5 6 G A 0H U A Y U ，D o N GY U N F E N G F u I l p h y s i c a ls i m u l a t i o ne x p e r i m e n ts y s t e mo fm o o n l e ta t t i t u d ec o n t r o l b a s e do na i rb e a r i n gt e s t _ b e d J C o m p u t e rM e a s u r e m e n ta n dC o n t r o l ，2 0 0 9 ，1 7 ( 6 ) ：1 1 5 3 1 1 5 6 4 李季苏，牟小刚，张锦江，等气浮台在卫星控制系统仿真中的应用 J 航天控制，2 0 0 8 ，2 6 ( 5 ) ：6 4 6 9 L IJ I S U ，M O UX I A O G A N G ，Z H A N GJ 1 N J I A N G ，e ta 1 A p p l i c a t i o no fa i rb e a r i n gt a b l ei ns a t e l l i t ec o n t r o ls y s t e ms i m u l a t i o n J A e r o s p a c eC o n t r o l ，2 0 0 8 ，2 6 ( 5 ) ：6 4 6 9 5 朱克勤，许晓春粘性流体力学 M 北京：高等教育出版社，2 0 0 9 ：7 6 Z H uK E Q I N ，X UX I A 0 c H U N V i s c o u sf l u i dm e c h a n i c s M B e 幻i n g ：H i g h e rE d u c a t i o nP r e s s ，2 0 0 9 ：7 6 6 肖业伦航空航天器运动的建模：飞行动力学的理论基础 M 北京：北京航空航天大学出版社，2 0 0 3 ：8 6 9 1 X I A 0Y E L U N T h em o d e l i n go fm o v e m e n to fa i r c r a f ta n ds p a c e c r a f t ：t h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no ff l i g h td y n a m i c s M B e 巧i n g ：B e i h a n gU n i v e r s i t yP r e s s ，2 0 0 3 ：8 6 9 1 7 佘志坤，刘铁钢，郑志明空间非开普勒轨道分析与控制中的数学问题 J 宇航学报，2 0 0 9 ，3 0 ( 1 ) ：5 4 5 8 S H EZ H I K U N ，L I UT I E G A N G ，Z H E N GZ H I M I N G M a t h e m a t i c a lp r o b l e m si nt h ea n a I y s i sa n dc o n t r o Io f s p a t i a ln o n - K e p l er i a no r b i t s J J o u r n a lo fA s t r o n a u t j c s ，2 0 0 9 ，3 0 ( 1 ) ：5 4 5 8 8 薛白，余志坤，余婧，等基于混杂系统的空间飞行器悬停控制 J 中国空间科学技术，2 0 1 0 ，3 0 ( 2 ) ：6 卜6 7 x u EB A l ，s H Ez H I K u N ，Y uJ I N G ，e ta 1 c o n t r o lo nt h es p a c e c r a f th o v e r i n gb a s e do nh y b r i ds y s t e m s J C h i n e s eS p a c eS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y ，2 0 1 0 ，3 0 ( 2 ) ：6 1 6 7 ( 下转第3 5 页) 万方数据 ! Q ! ! 堡! ! 旦 生里窒囹壁堂垫查 一一堑一 d y n a m i c sm o d e l ，t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo ft r a j e c t o r yo p t i m i z a t i o nw a st r a n s f o r m e dm t oa n o n l i n e a rp r o g r a mp r o b l e m( N L P )b yu s i n gL e g e n d r e G a u s s - L o b a t t op s e u d o s p e c t r a l m e t h o d S e c o n d l y ，s e q u e n t i a lq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ( S Q P )m e t h o dw a su s e dt o s o l V et h et r a n s o r m e d p r o b l e m F i n a l l y ，t h eo p t i m a lt r a j e c t o r yw a sv e r i f i e db yu s i n gg e n e t i ca l g o r i t h m A n dam e t h o do f p r o v i d i n gi n i t i a l v a l u e d a t a b a s ef o rS Q Po n b o a r dt r a j e c t o r yp r o g r a m m i n gb yu s l n gg e n e t l c a l g o r i t h mw a sp r o p o s e d T h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h i sm e t h o d o l o g ya n ds t r a t e g yl o r o p t i m a ln o m i n a lt r a j e c t o r yo n - b o a r dr a p i dp r o g r a m m i n gc a nm e e tt h en e e do fl u n a rP P Lr e a l t i m e g u i d a n c e K e yw o r d sG u i d a n c eP i n p o i n tl a n d i n gO p t i m a ln o m i n a lt r a j e c t o r yP s e u d o s p e c t r a lm e t h o d S e q u e n t i a lq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g G e n e t i ca l g o r i t h mL u n a re x p l o r a t i o n 一一一一一 _ 、 p ，v 、- 、 ，_ 、， ，_ u ，y V 、 ，V ，y V 、 ，_ 、，、 ，V 、 ，- V 、 ，V V V 、，一 ( 上接第2 6 页) 作者简介 李吴阳 1 9 8 8 年生，2 0 0 9 年毕业于中央民族大学统计学专业，现为北京航空航天大学应用数 学专业硕士研究生。主研究方向为混杂系统与空间轨道控制。 M o d e l i n ga n dA n a l y s i s0 fG r O u n dP h y s i c sE x p e r i m e n t s o nO r b i tM o v e m e n t sA r o u n dt h eE a r t h L iH a o y a n gS h eZ h i k u nX u eB a i ( S c h o o lo fM a t h e m a t i c sa n dS y s t e m sS c i e n c e ，B e i h a n gU n i V e r s i t y ，B e i j i n g1 0 0 1 9 1 ) A b s t r a c tB a s e do nt h ef o r c ea n a l y s i so