《力学竞赛辅导》PPT课件.ppt

一. 质点运动学 二.静力学 三.牛顿运动定律 四. 动量与能量 五.角动量定理 角动量守恒定律 六.万有引力与天体运动 七.简谐振动,力学竞赛辅导,一. 质点运动学,1质点运动的一般描述,1.1 运动方程与轨道方程,轨道方程,运动方程,（一）基本知识,1.2 速度,反映质点运动的快慢和方向的物理量,瞬时速度沿轨道切线方向,1.3 加速度,反映速度（大小和方向）变化快慢的物理量,加速度与速度的方向一般不同。,2. 抛体运动,速度：,运动方程：,轨道方程：,推论,3.1 圆周运动的加速度,3. 圆周运动,3.2 圆周运动的角量描述,角位置：=(t),角速度:,角加速度:,3.3 角量和线量的关系,4.相对运动,4.1 运动描述与参照系：对物体运动的描述与参照系有关位移、速度、加速度的测量与参照系有关。,4.2 不同参照系间位移、速度和加速度的变换,绝对速度=牵连速度+相对速度,1.一般曲线运动,1.1 一般曲线运动中的加速度,（二）拓展知识,1.2 曲率半径的物理求法,椭圆的曲率半径：,轨道方程：,对应运动方程：,A点：,同理：,抛物线的曲率半径：,轨道方程：,对应运动方程：,其中：,2. 连体运动问题,解题方法一：运动的分解,情形1：两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连，他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。,情形2：两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。,情形3：两直线相交点的运动等于各直线沿对方直线方向运动的合运动：,解：,P,例1.2 如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为 时竖直杆运动的速度。,解：,R,O,例1.3 水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度。,解：,A对B：,解题方法二：运动的合成（相对运动）,一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换：,B对地：,A对地：,例1.4 如图，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上。今以恒定速度v拉绳，当绳与竖直方向夹角为时，求线轴中心O的运动速度v。设线轴的外半径为R，内半径为r，线轴沿水平面作无滑动滚动。,解：,情况1：线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为。,B点相对于地面的速度：,B点相对O的速度大小：,由式（3）可知，情况1出现的条件为：,情况2：线轴座顺时针方向转动。同理可得：,出现情况2的条件为：,例1.5 续例1.1，求重物上升的加速度。,以地面为参照系，A的加速度,以O点为参照系，绳子末端A作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为,解：,例1.6 续例1.2，求竖直杆运动的加速度。,P,R,O,以圆心O为参照系，P点作圆周运动，其速度大小为：,P点相当于地面的加速度：,向心加速度：,关键：找出各物体间位移间的关系，进而得到速度、加速度之间的关系。,解题方法三：微积分,解：,P,v0,vP,例1.8 如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为 时竖直杆运动的速度和加速度。,y,R,x,O,A,解：,例1.9 水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度和加速度。,解：,1.两辆汽车的挡风玻璃与水平方向的夹角分别为 。冰雹竖直下落，打在玻璃上，两司机都看到冰雹从玻璃上反弹后竖直向上运动，求两车速率之比。（假设碰撞前后相对速度遵循反射定律）,2. 如图所示，一串相同的汽车以等速v沿宽度为c的直公路行驶，每车宽为b，头尾间距为a，则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用时间为多少？,v,V,-v,u,相对速度：V 牵连速度：v 绝对速度：u,13 在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h，若出手时速度为v0，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？,vt,vy=gt,v0,14A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？,解法二：在AB连线上，相对距离为a，相对速度为vA对B。,解法三：设在一个极短的时间t内，猎犬做匀速直线运动，正三角形边长依次变为a1、a2、a3、an。,15一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FDAB，且FD=L，如图所示，求猎犬的加速度的大小。,二. 静力学,1.摩擦角,1）全反力:接触面上弹力和摩擦力的合力称为全反力，也叫约束反力。,2）摩擦角：全反力与界面法线方向所成的最大夹角叫摩擦角。,2.刚体平衡条件（一般物体的平衡条件）,1）物体受力的矢量和为零：,2）对矩心的合力矩为零,3.刚体平衡的稳定性,满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为随遇平衡。,4. 质心,5质心运动定理,系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。,内力不影响系统质心的运动。,例2.1 匀质杆OA重P1，长为l1，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连另一重为P2、长为l2的均匀杆AB，在AB杆的B端加一水平力F。求平衡时此两杆与水平线所成的角度与的大小，以及OA与AB间的作用力。,解：,以AB为研究对象，有,（1）,以OA+AB为研究对象，有,以AB为研究对象，其所受的合力为零，因此,（2）,N 的方向与水平线的夹角满足：,解：,设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则,（i=2 6）,考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得,例2.3 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长为hl/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。,解：,例2.4 有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触。现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手。己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30。若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径的值各应满足什么条件？,B,A,r,R,对A球：,对B球：,解：,联立（1）（6）解得：,（1） （2） （3）,（4） （5） （6）,圆柱B与墙面的接触点不发生滑动：,圆柱A在地面上不发生滑动：,两圆柱的接触点不发生滑动：,综合上述结果，可得到r满足的条件：,三. 牛顿运动定律,（一）基本知识,第一定律：定性反映了物体的运动与其受力之间的关系，引入惯性参照系的概念。,第二定律：定量性反映了物体的运动规律与其受力之间的关系：,第三定律：反映了力的来源：力来自物体间的相互作用。,正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状态不断发生改变，使得自然界不断地变化发展。,1牛顿运动定律,2自然界中的力,2.1 万有引力,任何物体之间都存在的相互吸引力：,2.2 重力：使物体产生重力加速度的力。,重力来源于地球对物体的引力，若忽略地球的惯性离心力，则,重力加速度与物体质量无关,2.3 弹力：物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用力。,2.4 摩擦力：相互接触的物体间产生的一对阻止相对运动或相对运动趋势的力。,滑动摩擦力：,摩擦力总是阻止相对运动。,（二）拓展知识,接触面:沿法线方向,1关于弹力,1.1 弹力的大小,微小形变,微小振动为简谐振动,1.2 弹力的方向:弹力的方向总是与形变方向相反.,杆：较复杂,绳子：沿绳子方向,1.3 弹簧的串联与并联,2关于摩擦力,2.1 摩擦力的大小,两接触物体相对滑动的条件：fs=N,无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：,有滑动：,摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。,2.2 摩擦力的方向,无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：,有滑动：与相对运动速度方向相反。,2.3 摩擦力的作用时间,可能有两种情况：,解：,解：,例3.3 一质量为M的平板沿光滑水平面以速度V0运动。质量为m的小球从h处落下，与平板发生碰撞后弹起，已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小与碰撞前速度大小之比为e，球与平板间的摩擦系数为。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。,解：,情况1：tf= tN,tf = tN的条件：vxV，即,情况2：tf tN,tf tN的条件：,3. 非惯性参照系的动力学问题,3.1 惯性参照系与非惯性参照系,3.2 非惯性参照系中的牛顿第二定律,m,M,解：,例3.5 在光滑的水平桌面上有质量为m的小车C，车上有质量为4m和m的立方块A和B，它们与小车表面之间的摩擦系数=0.5。今用一恒力F 沿水平方向作用在滑轮上。求A、B、C的加速度。,A,B,C,解：,第一种情况：A、B与小车间均无相对滑动。,A、B与小车间无相对滑动的条件：,结论：,A,O,a,解：,无滑动条件：fN,为使大、小环间始终无滑动，以上不等式对任意 都要成立。因此,令,例3.7 如图所示，长为2l的轻绳，两端各系一个质量为m的小球，中央系一个质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态，三球在一条直线上。今给小球M以一个冲量，使它获得水平速度v0，v0的方向与绳垂直。求： （1）M刚受冲量时绳上的张力； （2）在两端的小球发生碰撞前瞬间绳中的张力。,解：,（1）以M为参照系，m绕M作以速度v0作圆周运动。M刚受冲量时，绳子对M的作用合力为零，M为惯性参照系，因此,（2）,以M为参照系，m绕M以速度v 作圆周运动。此时M有加速度aM，为非惯性参照系。,四:动量和能量,一、动量与冲量,1. 动量： 动量是状态量； 动量是矢量：动量的方向就是速度的方向； 动量与动能之间的互换式：,2. 冲量： 冲量是过程量：反映力的时间积累效应； 冲量是矢量：冲量的方向由力的方向决定；,*.变力的冲量,力对时间的平均值,二、动量定理,1.内容：物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化量。研究对象可以是单个物体，也可以是系统。 2.表达式： 3.定性应用： 4.定量计算：选对象，定过程，列方程。,三、动量守恒定律,系统不受外力或者受外力的合力为0，则系统动量守恒。,系统受外力，但外力远小于内力（如碰撞等），则系统动量守恒。,若系统在某一方向所受的合力的冲量为零，则该方向动量守恒。,*.动量定理、定理守恒定律与参考系,动量定理、动量守恒定律只适用于惯性参照系。 在非惯性参照系中使用动量定理，需计入惯性力的冲量； 在非惯性参照系中，动量守恒定律的适用条件为外力与惯性力的合力为零.。,四、碰撞,（1）弹性碰撞：e=1,（2）完全非弹性碰撞：e=0,五、动能定理,1. 质点的动能定理：,文字表述：合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量。,2质点组的动能定理,文字表述：外力做的功和内力做功之和等于质点组（系统）动能的变化量。,六、势能,1.保守力：做功只与物体的始、末位置有关，而与物体的运动路径无关的力。,3. 特点：系统共有，相对值，位置的函数,重力势能:,弹力势能:,引力势能:,七、功能原理 机械能守恒定律,1.功能原理,2.机械能守恒定律,封闭保守系统：,1. 质心,八、质心运动定理,2质心运动定理,系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。,内力不影响系统质心的运动。,九、柯尼希定理,质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为柯尼希定理。,特别地：两质点构成的质点系统的总动能为,推论：质心参照系中两质点构成的质点系统的总动能为,例4.1 如图所示，四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接，置于光滑水平面上，三根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量作用在质点A，并使这个质点速度变为u，方向沿绳向外，试求此瞬间质点D的速度,u：A的速度或B的速度在B、A连线方向的分量 u1：B或C的速度在C、B连线方向的分量 u2：D的速度或C的速度在D、C连线方向的分量,解：,B球：,C球：,D球：,联立以上各式，解得：,解：,根据（1）（5）可得,解：,（1）,以上不等式有解：,即开始上升时，,M,m,v,R,V,解：,脱离球面的条件：N0，则,M,m,R,O,解：,五. 角动量定理 角动量守恒定律,1力矩,质点对参考点O的角动量定义为：,2质点的角动量,3质点的角动量定理和角动量守恒定律,质点的角动量守恒,角动量守恒，动量未必守恒,4质点系的角动量定理和角动量守恒定律,质点系的角动量守恒,内力不改变系统的总角动量,解：,例5.2 如图所示，质量为 m的小球 B放在光滑的水平槽内，现以一长为 l的细绳连接另一质量为m的小球A，开始时细绳处于松弛状态, A与B相距为l/2。球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右运动。当A运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运动时速度vB的大小。,l/2,l,B,A,A,300,解：,机械能守恒:,角动量定理：,（1）,解：,对小球1：,同理对小球2：,.,.,初速度的方向与水平线的夹角：,得任意 t 时刻球2的位置坐标：,球2脱离细杆时，,解：（1）,螺旋环的角动量：,角动量守恒：,（2）根据角动量守恒和机械能守恒定律,解得：,另解： （1）,（2）,六. 万有引力与天体运动,1.开普勒三定律,第一定律：行星围绕太阳运动的轨道为椭圆，太阳在椭圆轨道的一个焦点上。,第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积：,第三定律：各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方之比值相等：,2.万有引力与引力势能,2.1 万有引力,2.2 引力势能,解：,r,S,r,例6.2 地球和太阳的质量分别为m和M ，地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a，半短轴为b ，如图所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度大小及轨迹在A、B、C 三点的曲率半径。,M,m,A,C,O,b,a,B,解：,A、B两点：,A、C两点：,例6.3 质量为M的宇航站和对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着，其轨道半径是地球半径的n倍（n1.25）。某一瞬时，飞船从宇航站沿原运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其