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文档简介

1 / 4 关于抛物线的十个最值问题 本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 .为方便读者摘用 , 现用定理形式叙述如下 : 定理 1.抛物线的所有焦半径中 ,以过顶点的焦半径为最短 . 证明 :不妨设抛物线的极坐标方程为 = ,则显然有 ,其中等号成立当且仅当 =2k + (k Z)即焦半径通过抛物线的顶点时 .证毕 . 定理 2.抛物线的过焦点的所有弦中 ,以抛物线的通径为最短 . 证明 :设抛物线极坐标方程为 = ,焦点 弦 为 AB, 且设 A( 1, ),B( 2, + ), 则有 AB = 1+ 2 = + = 2p =通径长 , 其中等号成立当且仅当 =k + /2 (k Z) 即弦 AB为通径时 .证毕 . 定理 3.设 A(a,0)是抛物线 y2=2px(p 0)的对称轴上的定点 ,M(x,y) 是 抛 物 线 上 的 动 点 ,则 MA m in = 证明 :2 / 4 由 MA 2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = x-(a-p)2+p(2a-p),并且注意到 x 0,+ ),立知结论成立 .证毕 . 定理 4.设 A(a,b)是抛物线 y2=2px(p 0)内一定点 , F 是 焦 点 ,M 是 抛 物 线 上 的 动 点 ,则 y( MA + MF )min =a+p/2. Q M A(a,b) 证明 :如图 1 所示 , 作 AQ 准线 L:x=-p/2 于 Q, 则知 O F x( MA + MF )min = AQ = a-(-p/2)=a+p/2. 证毕 . 图 1 定理 5.设线段AB 是抛物线 y2=2px(p 0)的过焦点的弦 ,分别以 A、 B 为切点的抛物线的两条切线相交于点 M,则三角形 ABM的面积的最小值为 p2. 证明 :设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由 A、 F、 B 三点共线可得 :x1y2-x2y1=p/2 (y2-y1) (1) 于是3 / 4 利用 (1) 式 由 两 切 线 方程 y AM: y1y=p(x+x1), A BM: y2y=p(x+x2), M F
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