检测与转换技术的理论基础.ppt

1,第一章 检测与转换技术的理论基础,第一节 测量误差的基本理论,1、测量误差的定义：,测量误差 = 测得值 - 真值,客观真实值（未知）,一、测量误差的基本理论, 约定真值：世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值, 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值,：测量所得数据与其相应的真值之差,1）绝对误差,x = x x0, 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值,2）相对误差,测量的绝对误差与被测量的真值之比,定义：,相对误差 = 100%,绝对误差,真值, = 100%,x,x0,2、误差的特点,普遍性,- 所有的测量数据都存在误差 - 不可避免的,最高基准的测量传递手段（测量仪器/测量方法）- 不绝对准确, 减小误差的影响，提高测量精度,测量精度 - 测量技术水平的主要标志之一,精度提高受到限制 - 测量误差的影响作出评定, 对测量结果的可靠性给出评定（精确度的估计）,与检测系统的组成和各组成环节有关,3、误差原因, 检测系统各环节所使用的材料性能和制造技术引起的误差, 检测系统各环节动力源的变化引起的误差, 检测系统器件特性变化引起的误差 - 偏离设定值, 检测环境引起的误差, 检测方法误差, 检测人员造成的误差, 由被测对象本身引起的误差, 因检测理论的假定产生的误差, 组成检测系统各环节的传递特性方面产生的误差,4 、误差分类,按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差, 系统误差（System error）,由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生,按掌握程度：已知误差、未知误差,按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差,- 有规律可循,装置、环境、动力源变化、人为因素,再现性 - 偏差（Deviation）,理论分析/实验验证 - 原因和规律 - 减少/消除, 随机误差（Random error）,因许多不确定性因素而随机发生,偶然性（不明确、无规律）,概率和统计性处理（无法消除/修正）, 粗大误差（Abnormal error）,检测系统各组成环节发生异常和故障等引起,异常误差 - 混为系统误差和偶然误差 - 测量结果失去意义,分离 - 防止,按变化速度：静态误差、动态误差,5、检测精度,- 检测系统的基本内容,不同场合 - 检测精度要求不同,例：服装裁剪（身长/胸围）- 半厘米；发动机活塞直径 - 微米级,精度高 - 系统复杂 - 造价高,- 系统误差大小的反映,坐标原点 - 真值点的位置,按误差原因：,点 - 多次测量结果, 正确度：表征测量结果接近真值的程度, 精密度：反映测量结果的分散程度（针对重复测量而言）,- 表示随机误差的大小, 准确度：表征测量结果与真值之间的一致程度,- 系统误差和随机误差的综合反映,例：,6、确定测量误差的方法,1）逐项分析法,与被测对象有关的专业知识 - 物理过程、数学手段,对测量中可能产生的误差进行分析、逐项计算出其值，并对其中主要项目按照误差性质的不同，用不同的方法综合成总的测量误差极限,2）实验统计法,综合使用，互相补充、相互验证,利用实际测量数据估算 - 反映各种因素的实际综合作用,反映出各种误差成分在总误差中所占的比重,应用数理统计的方法对在实际条件下所获得的测量数据进行分析处理，确定其最可靠的测量结果和估算其测量误差的极限,适用： 一般测量,适用： 拟定测量方案, 研究新的测量方法、设计新的测量装置和系统, 对测量方法和测量仪器的实际精度进行估算和校验,1、系统误差的消除, 测量方法 - 避免出现系统误差,- 防止系统误差出现的最基本办法,数据处理 - 被测量的估计值 - 可信程度（评定）, 找出规律 - 修正值,2）引入修正值进行校正,3）检测方法上消除或减小,- 现有仪器设备取得更好的效果（提高测量准确度）,1）分析系统误差产生的原因,- 已出现的系统误差,理论分析/专门的实验研究 - 系统误差的具体数值和变化规律,- 确定修正值（温度、湿度、频率修正等）,测量前 - 对可能产生的误差因素进行分析，采取相应措施,- 修正表格、修正曲线、修正公式 - 按规律校正,- 实际测量中，采取有效的测量方法,二、数据处理的一般方法, 抵消法,例：等臂天平称重 - 左右两臂长的微小差别 - 恒值系统误差,引起系统误差的条件（如被测量的位置）相互交换 - 其他条件不变, 换位法/替代法,- 产生系统误差的因素对测量结果起相反的作用 - 抵消,a）X与P左右交换 - 两次测量的平均值 - 消除系统误差,被测物 -X；平衡物 - T；砝码 - P,改变测量条件（如方向）- 两次测量结果的误差符号相反 - 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差,例：千分尺 - 空行程（刻度变化，量杆不动）- 系统误差,- 异号相消法,b）T与X 平衡,测量结果,P与T平衡,已知量替换被测量,正反两个方向对准标志线,顺时针 -,逆时针 -,正确值 -,换位/替代法,不含系统误差a，空程引起误差, 差动法,被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用,- 被测量的作用相加 - 干扰的作用相减,抑制干扰 提高灵敏度和线性度,作用：, 比值补偿法,利用比值补偿原理 - 影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现 - 约消,例：比色高温计 - 消除辐射率变化的影响, 半周期偶数观测法,- 系统误差随某因素成周期性变化,两次测量所得的周期系统误差 - 数值相等、正负相反 - 取平均值,自动检测 - 检测的时间间隔为周期（克服随时间周期变化因素的影响）,测量 - 变化周期,第三节 随机误差概率密度的正态分布,一、随机误差的分析处理,- 统计方法,正态分布（高斯分布） - 大多数；,其它 - 正弦分布、二次分布、卡方分布、指数分布、 分布、 分布等,1）分布：,均匀分布 - 量化误差、舍入误差；,N次测量结果 - xi ( i =1, 2, , N ),2)随机误差的实验结果频率直方图,研究一组无系统误差且无粗差的独立的等精度实验结果： 以频率 为纵坐标，以随机误差 为横坐标画出频率直方图,14,15,二、概率密度的正态分布,根据概率论的中心极限定理知：大量的、微小的及独立的随机变量的总和服从正态分布。随机误差必然服从正态分布。理论证明可以得到起概率密度分布曲线的数学表达式为：,或为：,其中：,16, 对称性,特点:, 有界性, 抵偿性, 单峰性,- 可正可负 - 绝对值相等的正负误差出现的机会相等,P() - 曲线对称于纵轴,- 绝对值不会超过一定的范围（一定的测量条件下）,绝对值很大的误差几乎不出现,全体随机函数的代数和,- 绝对值小的误差出现的机会多（概率密度大）, =0 处随机误差概率密度有最大值,17,此外注意：,1） 的大小说明了测量值的离散性，即测量值对于真值的离散程度。故等精度测量是一种 值相同的测量。,18,许多随机变量都是服从正态分布的。 但是有些误差是按其它规律分布，如：,计算中的舍入误差、数字式仪表末位的读数误差等都是按均匀分布的；,圆盘偏心引起的角度误差是按反正弦分布的；放射性元素的原子衰变则遵从泊松分布等。,19,第四节 算术平均值与标准误差,现若以测量值x作为随机变量，如果它遵从正态分布，那么它的概率密度f(x)可由下式表示：,式中，被测量真值 及标准误差 为测量值的正态分布中的两个重要特征量，它们可以唯一确定正态分布曲线。,20,随机误差的评价指标,由于随机误差大部分按正态分布规律出现的，具有统计意义，通常以正态分布曲线的两个参数算术平均值和均方根误差作为评价指标。 （1）算术平均值 （2）标准差,问题：在已知一组测量数据后，如何确定 和 值？,一、算术平均值 与数学期望,正态分布的数学期望即真值；几何意义即曲线下面积重心的横坐标就是数学期望。,数学期望的几何意义：,平均值：,数学期望（一阶原点矩）：,正态分布的数学期望：,表示了随机变量的中心位置。,一般情况下，f(x)不是连续，对等精度无限测量列， 设测得有限个值是 而取得这些值的概率分别是 此时数学期望表示为：,所测的样本平均值 与数学期望之间有密切的的关系： 计算随机变量的样本平均值：,结论：样本平均值即数学期望。所以求样本平均值即能代替求上述的数学期望。,二、方差与标准误差,方差：随机变量的二阶中心矩，表征了随机变量相对于其中心位置。对于连续随机变量，母体方差可表示为,对正态分布：,或,故,几何意义:,对于等精度的有限测量列：,这个公式称之为贝塞尔公式。是子样在未知真值情况下计算标准误差 的重要公式,对于等精度的无限测量列：,下面介绍另一形式的贝塞尔公式，它在实际计算中，特别是n较大时计算比较方便。,根据公式（124）：,所以：,？,？,所以：,因为,所以,问题解决：在已知一组测量数据后，如何确定 和 值？,结论：样本平均值即数学期望。所以求样本平均值即能代替求上述的数学期望。,贝塞尔公式是子样在未知真值情况下计算标准误差 的重要公式,第五节 置信区间与置信概率,31,置信度几何意义：置信区间和概率密度曲线f(x)之间的面积，表示随机变量在置信区间内的概率。,32,随机误差数据处理 - 被测量真值的取值范围（概率）,不确定度（Uncertainty）,测量可以置信的限度 - K,Z -置信系数（K=1, 2, 3等）,概率 - 置信概率,直接测量,正态分布,把二倍或三倍的标准误差称为极限误差。,35,第六节 粗差的判别与坏值的舍弃,1）判别方法,粗大误差的减少办法和剔除准则,显然与事实不符 - 歪曲测量结果 - 主观避免 - 剔除（发现）,36,2）剔除准则,解：作变换，令 ，并列表14计算如下：,38,先求得平均值 ,39,计算：,根据公式（126）得标准偏差：,首先按拉依达准则判别。其判别值为 ，没有一个值的残余误差超过 ，即：,故初步检查这组测量数据没有粗差及坏值。,40,其次按格拉布斯准则复查。按照表13（P16）查得格拉布斯的判别系数g(,n)2.44（常取 0.05），其鉴别值g(,n) 2.440.380.93，,重点检查第八个测量值y8(或x8），有,故知，v8为粗差，第八个测量值为坏值，应予舍弃。舍弃后应进一步进行检查计算。,计算：舍弃y8后重新计算标准偏差：,按拉依达准则：,按格拉布斯准则复查：,检查各个测量值，所有残余误差均小于鉴别值，即,至此粗差判别结束，全部测量值中仅x8为坏值，应予舍弃。,43,第七节 系统误差,除随机误差、粗大误差外，还有系统误差，它是按一定规律变化的误差。,一、系统误差产生的原因及分类 1、恒定系统误差：误差大小和符号恒定不变，分为恒正系差和恒负系差。,2、变化系差：按一定规律变化的系差 分为累计系差、周期系差、复杂变化系差等,复杂变化系差：变化规律未知的系差，可按随机误差处理。,累计系差：随着时间的增长误差逐渐加大或减少的系差。 原因：元件老化、磨损、电池使用过长,周期系差：误差大小和符号均按一定周期发生变化的系差。 原因：外界因素的周期性干扰或器件本身的周期性变化。,45,系差产生的原因主要是下列两方面的原因：,一是测量仪器和系统以及测量方法本身不够完善而引起的系差。例如仪器本身的质量问题；测量方法不正确；传感器的输入信号与被测信号有一定的差值，形成仪表示值的系差。,二是仪表使用不当造成的，由于测量时环境条件（如温度、湿度、电源等）偏离仪表规定的工作条件而引起的系差；由于仪表操作人员的经验及技术水平的限制产生的系差等。,三、系统误差的估计方法,1、恒定系差的估计,由此得：,？,式（135）表明：测量值真误差的平均值 就是测量过程中的恒定系差，其修正值为,2.变化系差的估计 为了较精确的估计变化系差的影响，常需要采用解析的方法或实验的方法，找出变化系差的变化规律，并以函数关系式或实验公式描述。 但是在很多情况下往往难以找到复杂变化规律的数学模型。此外在测量精度要求不高的情况下没必要找到精确的表述式。在这种情况下常常估计出变化系差的下限值a和上限值b即可。,设ab，则可将变化系差分为两部分：,式中， 称为变化系差的恒定部分； 是变化系差变化部分的幅值，又称系统不确定度，用来估计系差的变化范围。,3. 系统误差的发现,（1）理论分析及计算 （2）实验对比法 （3）残余误差观察法 （4）残余误差校核法 （5）计算数据比较法,（1）理论分析及计算 因测量原理或使用方法不当引入系统误差时，可以通过理论分析和计算的方法加以修正。 （2）实验对比法 实验对比法是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差，这种方法适用于发现恒定系统误差。 （3）残余误差观察法 根据测量列的各个残余误差的大小和符号变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差，这种方法主要适用于发现有规律变化的系统误差。,50,（4）残余误差校核法, 用于发现累进性系统误差 马利科夫准则：设对某一被测量进行n次等精度测量，按测量先后顺序得到测量值x1，x2，xn，相应的残差为v1，v2，vn。把前面一半和后面一半数据的残差分别求和，然后取其差值 用于发现周期性系统误差 阿卑-赫梅特准则：,则认为测量列中含有周期性系统误差。,当存在,设,(5) 计算数据比较法,对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。 任意两组结果与间不存在系统误差的标志是,52,第九节 误差的合成,一、随机误差的合成,总的不确定度：,设有来自几方面的、彼此独立的随机误差因素，则按方和根法，可以得到 总标准误差：,二、系统误差的合成,1、恒定系差的合成,54,2、变值系差的合成,55,变值系差的合成方法有以下几种：,（2）方和根法,（1）线性相加法,（3）广义方和根法,三、随机系差与系统系差的合成,一般取随机误差的随机不确定度与系统误差的系统不确定度e进行合成，合成后可得被测量的综合不确定度g。合成方法有三种：,1.线性相加法,2.方和根法,3.广义方和根法,四、最后结果的表示,实验结果在剔除粗大误差后，含有随机与系统误差两项。因此最后的结果可用系差不确定度与随机不确定度来表示。表示的方法有两种：,（1）随机不确定度与系统不确定度在结果中分别表明。最后结果可表示为：,(2)用随机不确定度与系统不确定度合成后的综合不确定度表示，最后结果可写成：,58,59,第十节 数据处理的基本方法,数据处理:从获得数据起到得出结论为止的整个数据加工过程。 常用方法: 列表法、作图法和最小二乘法拟合。 最小二乘法原理是指测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和为最小的条件下求出。在自动检测系统中，两个变量间的线性关系是一种最简单、也是最理想的函数关系。,最小二乘法原理,最小二乘法原理：等精度测量的有限测量系列，寻求一个真值，使得误差的平方和达到最小。,现在来证明，只有按公式（116） 计算得到