线性代数第一章矩阵习题辅导.pdf

第一章矩阵 1.1基本要求、 重点、 难点内容 1.1.1基本要求 1. 熟练掌握矩阵的各种运算及其运算规律; 2. 理解逆阵定义与性质, 掌握逆阵计算方法; 3. 熟练掌握矩阵的初等变换, 了解初等矩阵的性质; 4. 掌握初等变换化矩阵为行阶梯矩阵、 行最简矩阵方法; 5. 了解矩阵的标准形, 理解矩阵秩的定义, 掌握用初等变换求矩阵秩的方法; 6. 了解分块矩阵及其运算, 掌握分块矩阵初等变换; 7. 了解矩阵秩的等式与不等式. 1.1.2重点内容 1. 矩阵运算; 2. 初等变换、 矩阵的相抵; 3. 求逆阵、 矩阵的秩. 1.1.3难点内容 1. 分块矩阵及其初等变换; 2. 矩阵秩的等式与不等式证明. 1.2主要内容 1.2.1矩阵定义 定义1.2.1. 称mn个数aij(i = 1,2, ,m;j = 1,2, ,n)排成的m行n列的矩形 表格 a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn (1.2.1) 为mn矩阵, 简记为(aij)mn, 其中aij称为矩阵的第i行第j列交叉点上的元素(简称元). 注 1. 本书中的矩阵除特别说明外, 都指实矩阵, 即矩阵(aij)mn中元素aij为实数. m n实矩阵全体记为Rmn,m n复矩阵全体记为Cmn. 2. n n矩阵称为n阶方阵. 方阵A = (aij)nn中元素a11,a22, ,ann称为A的主对 角元. 1 2第一章 矩阵 3. 两个m n阶的矩阵称为同型矩阵或同维矩阵. 定义1.2.2. 如果两个同型矩阵A = (aij)mn,B = (bij)mn满足aij= bij(i = 1,2, ,m;j = 1,2, ,n) 则称A和B相等, 记为A = B. 1.2.2特殊矩阵 1. 零矩阵 所有元素都为零的矩阵, 称为零矩阵, 记为0. 2. 行向量 1 n矩阵称为n维行向量. 3. 列向量 m 1矩阵称为m维列向量. 例如 下列n 1矩阵 e1= 1 0 . . . 0 0 ,e2= 0 1 . . . 0 0 , ,en= 0 0 . . . 0 1 , 为n维列向量. 任意一个m n阶矩阵可以表示为行向量和列向量的简单形式. 例如, 矩阵 A = 1211 abcd 1111 , 设1,2,3为A的第1行至第3行对应的行向量, 则A = 1 2 3 . 一般称1,2,3为A的 行向量组. 类似地, 设1,2,3,4分别为A的第1列至第4列对应的列向量, 称1,2,3,4为A的 列向量组. 此时A = (1, 2, 3, 4) 5. 单位矩阵 主对角元全为1, 其余元素全为零的n阶方阵称为n阶单位矩阵,记为I. 6. 对角矩阵 非主对角元均为零的n阶矩阵, 称为对角矩阵, 记为diag(d1, d2, , dn), 其中d1, d2, , dn为主对角元. 如果di= k(i = 1,2 ,n), 则称其为数乘矩阵, 记 为kI. 7. 上 （下） 三角矩阵 主对角元下方 （上方） 元素都为0的n阶方阵, 称为n阶上 （下） 三角矩阵. 8. 对称矩阵 设A = (aij)nn, 且aij= aji(i,j = 1,2, ,n), 则称A为n阶对称矩 阵. 9. 反对称矩阵 设A = (aij)nn且aij= aji(i,j = 1,2, ,n), 则称A为n阶反对 称矩阵. 1.2 主要内容3 1.2.3矩阵的运算 1. 矩阵的加法运算 定义1.2.3. 设A = (aij)mn,B = (bij)mn, 称(aij+ bij)mn为A与B之和, 记为A + B. 2. 矩阵的负运算 定义1.2.4. 设A = (aij)mn, 称(aij)mn为A的负矩阵, 记为A. 利用矩阵的加法运算和负运算, 定义矩阵的减法运算, 即A B = A + (B). 3. 矩阵的数乘运算 定义1.2.5. 设A = (aij)mn, k为数, 称(kaij)mn为矩阵A与k的乘积或数乘, 记为kA 或Ak. 矩阵的加法运算、 数乘运算统称为矩阵的线性运算. 矩阵的线性运算具有下列性质. (1) 加法的交换律 A + B = B + A; (2) 加法的结合律 (A + B) + C = A + (B + C); (3) 零矩阵满足 0 + A = A + 0 = A; (4) 负矩阵满足 A A = 0; (5) 数乘结合律 ()A = (A), 其中, 为数; (6) 数乘分配律 ( + )A = A + A,(A + B) = A + B, 其中,为数; (7) 1A = A; (8) 0A = 0. 4.矩阵的乘法运算 定义1.2.6. 设A = (aij)ms,B = (bij)sn. 称m n矩阵C = (cij)mn为A与B的乘 积, 其中 cij= ai1b1j+ ai2b2j+ + aisbsj= s k=1 aikbkj (i = 1,2, ,m;j = 1,2, ,n). (1.2.2) 记为C = AB. 注 (1) 行向量与列向量相乘的结果是一行一列的矩阵, 即 (a1,a2, ,as) b1 b2 . . . bs = ( s k=1 akbk ) . 4第一章 矩阵 有时将其简记为对应的数. 4. 方阵的幂运算 定义1.2.7. 设A是方阵, 定义 A0= I,Ak= k z| AAA(k为正整数), 称Ak为A的k次幂. 幂运算满足如下运算律 AkAl= Ak+l, (Ak)l= Akl.(1.2.3) 注 一般未必有(AB)k= AkBk. 当AB = BA时, 有(AB)k= AkBk, 特别有 (A + B)n= n i=1 (n i ) AiBni, 其中(n i ) = n! i!(n i)!. 设多项式f(x) = n i=0 aixi, 称 n i=0 aiAi为矩阵A的多项式, 记为f(A). 6. 矩阵的转置运算 定义1.2.8. 设 A = a11a12a1n a21a22a2n . . . . . . . . . am1am2amn , 称 a11a21am1 a12a22am2 . . . . . . . . . a1na2namn (1.2.4) 为A的转置矩阵, 记为AT. 矩阵转置运算有如下性质 (1) (AT)T= A (2) (A + B)T= AT+ BT; (3) (A)T= AT, 其中为数; (4) (AB)T= BTAT. 注 (1) 一般未必有(AB)T= ATBT, 只有在AB = BA情况下此式成立. 1.2 主要内容5 (2) 当A = (aij)nn时, 有 eT i Aej= aij,(i,j = 1,2, ,n). (3) A是对称矩阵充分必要条件是AT= A; A是反对称矩阵充分必要条件是AT= A. 7. 矩阵的共轭 定义1.2.9. 设A = (aij)mn为复矩阵, 称(aij)mn为A的共轭矩阵, 记为A, 其中aij为 复数aij的共轭. 有下列性质: 性质1.2.1. (1) kA + lB = k A + l B;(2) AB = A B; (3) AT= A T . 1.2.4初等变换与初等矩阵 定义1.2.10. 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 换法变换 交换两行(交换i,j两行, 记为ri rj); (2) 倍法变换 以非零数k乘以某一行的每个元素(k乘第i行, 记为ri k); (3) 消法变换 把某一行每个元素乘以数k加到另一行对应的元素上(第j行乘k加到 第i行上, 记为ri+ krj). 如果这些变换对列施行, 则称其为矩阵的初等列变换. 矩阵的初等行变换与初等 列变换, 统称为矩阵的初等变换. 注 初等列变换用记号“c”; 定义1.2.11. 将n阶单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵, 具 体有下列三种: (1) 换法阵P(i,j) : 将I的第i行与第j行对调(或第i列与第j列对调), 即 P(i,j) = 1 . 1 01 1 . . . . . 1 10 1 . 1 ; 6第一章 矩阵 (2) 倍法阵P(i(k) : 将I第i行(或者第i列)乘上非零数k, 即 P(i(k) = 1 . 1 k 1 . 1 ; (3) 消法阵P(i,j(k) : 将矩阵I的第j行(或者第i列)的k倍加到第i行(或者第j列), 即 P(i,j(k) = 1 . 1k . . 1 . 1 . 性质1.2.2. m n矩阵A作一次初等行(或列)变换得矩阵B, 则B等于A左(或右)乘 相应的m(或n)阶初等矩阵 定义1.2.12. 如果矩阵A通过初等变换化为矩阵B, 则称矩阵A与B相抵的或等价. 矩阵相抵具有下列性质. 性质1.2.3. 设A,B,C为矩阵 (1) 自反性 A与A相抵; (2) 对称性 若A与B相抵, 则B与A相抵; (3) 传递性 若A与B相抵, B与C相抵, 则A与C相抵. 定义1.2.13. 满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯矩阵: (1) 矩阵的零行在矩阵的最下方； (2) 非零行第一个非零元的列标随着行标的递增而严格增大. 定义1.2.14. 在行阶梯形矩阵中, 非零行的第一个非零元为1,而这些1所在列的其余 元素全为零, 这样的矩阵称为行最简矩阵. 定理1.2.1. 设A为m n矩阵, 则A可以经过一系列初等变换化为 ( Ir0 00 ) , 其中r满足0 r min(m,n)的整数. 1.2 主要内容7 注 根据定理1.2.1, 对矩阵A, 存在非负整数r, 使得A与 ( Ir0 00 ) (1.2.5) 相抵, 当r = 0时, 规定上述矩阵为零矩阵. 称(1.2.5)为A的相抵标准形. 1.2.5矩阵分块及其运算 1. 定义与运算 定义1.2.15. 将n m矩阵A表示如下形式 A = A11A12A1t A21A22A2t . . . . . . . . . As1As2Ast ,(1.2.6) 称为矩阵A的分块表示, 其中Aij为nimj矩阵(i = 1,2, ,s;j = 1,2, ,t), 且 s i=1 ni= n, t j=1 mj= m. 分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意运算的两个矩阵按块 能运算, 并且参与运算的子块也能运算. 特别需要注意分块矩阵的转置运算. 如果A = A11A12A1t A21A22A2t . . . . . . . . . As1As2Ast , 则有 AT= AT 11 AT 21 AT s1 AT 12 AT 22 AT s2 . . . . . . . . . AT 1t AT 2t AT st . 2. 矩阵的特殊分块 设A,B分别为m n,n s矩阵, 且B = (B1,B2, ,Bs), 则 AB = (AB1,AB2, ,ABs)(1.2.7) 有 AB = 0 ABi= 0 (i = 1,2, ,s). 8第一章 矩阵 如果A = (aij)mn,B = 1 2 . . . n , 则 AB = a111+ a122+ + a1nn a211+ a222+ + a2nn . . . am11+ am22+ + amnn (1.2.8) 有 AB = 0 ai11+ ai22+ + ainn= 0 (i = 1,2, ,m). 定义1.2.16. 设Ai为ni(i = 1,2, ,m)阶方阵, 如果 A = A1 A2 . Am , 则称A为准对角矩阵, 记为A = diag(A1,A2, ,Am). 设Ai,Bi为ni(i = 1,2, ,m)阶方阵, 如果 A = diag(A1,A2, ,Am),B = diag(B1,B2, ,Bm), 则 A + B = diag(A1+ B1,A2+ B2, ,Am+ Bm), AB = diag(A1B1,A2B2, ,AmBm),Ak= diag(Ak 1,A k 2, ,A k m), 其中k为非负整数. 1.2.6可逆矩阵 1. 可逆矩阵定义 定义1.2.17. 对于矩阵A, 如果有矩阵B, 使得 AB = BA = I,(1.2.9) 则称A可逆, 否则称A不可逆. 称上式中的B为A的逆阵. 注 (1)可逆矩阵又称为非奇异阵、 非退化阵, 不可逆阵又称为奇异阵; (2) 由矩阵乘法的要求, 可逆矩阵一定是方阵, 它的逆阵也一定是同阶方阵; (3) 在(1.2.9)式中, A与B的位置是对称的. 因此, B也可逆, 并且A与B互为逆阵; 1.2 主要内容9 (4) 若A可逆, 则A的逆阵唯一. (5) 当A可逆时, 用Ak表示(A1)k; (6) 初等矩阵为可逆矩阵, 有 P(i,j)1= P(i,j),P(i(k)1= P(i(k1),P(i,j(k)1= P(i,j(k). 有下列性质 性质1.2.4. 设n阶方阵A,B 可逆, 数 = 0, 则 (1) A1可逆, 且(A1)1= A; (2) A可逆, 且(A)1= 1A1; (3) AT可逆, 且(AT)1= (A1)T; (4) AB可逆, 且(AB)1= B1A1. 2. 矩阵可逆判别方法 定理1.2.2. 设A为n阶方阵, 则当下列条件之一成立时, 矩阵A可逆. (1) A与单位矩阵相抵(或A的相抵标准形为单位矩阵). (2) A可以表示为若干初等矩阵的乘积. (3) 存在n阶方阵B, 使得AB = I 或BA = I. (4) r(A) = n(参见书第一章第五节). (5) |A| = 0(参见书第二章). (6) Ax = 0只有零解(参见书第一章第五节). (7) Ax = b有唯一解(参见书第四章). (8) A的行（列）向量组线性无关(参见书第四章). (9) 数零不是A的特征值(参见书第五章). 3. 逆阵计算 (1) 初等变换方法 设A为n阶可逆矩阵, 求A1的方法如下: (A,I) 初等行变换 (I,A1) (1.2.10) 或 ( A I ) 初等列变换 ( I A1 ) (1.2.11) 注 可将上述求逆的方法推广到求解矩阵方程AX = B和Y A = C. 如果A为n阶可逆矩阵, B,C分别为nm,sn矩阵, 那么可以确定nm矩阵X = A1B与s n矩阵Y = CA1, 使得AX = B与Y A = C, 具体解法如下: (A,B) 初等行变换 (I,A1B), (1.2.12) 10第一章 矩阵 或 ( A C ) 初等列变换 ( I CA1 ) .(1.2.13) (2) 伴随矩阵方法(参见下面伴随矩阵内容) 设A为A的伴随矩阵, 如果A可逆, 则 A1= 1 |A|A . 注 伴随矩阵方法, 通常适用阶数较低的矩阵. (3) 分块矩阵逆阵计算 利用分块矩阵的初等变换, 我们可以计算分块矩阵的逆阵, 对于特殊形式的分块 矩阵有下列公式. 设Ai,Bi为ni(i = 1,2, ,m)阶可逆阵, 则有 diag(A1,A2, ,Am)1= diag(A1 1 ,A1 2 , ,A1 m ); A1 A2 Am 1 = A1 m A1 m1 A1 1 . 1.2.7矩阵的秩 1. 相抵标准形与矩阵秩定义 定理1.2.3. 任意矩阵的相抵标准形唯一. 定义1.2.18. 称矩阵A的相抵标准形 ( Ir0 00 ) 中的r为A的秩, 记为r(A). 定理1.2.4. 矩阵相抵的充分必要条件是其秩相等. 命题1.2.1. 行阶梯矩阵的秩等于其非零行的行数. 注 上述命题给出了求矩阵的秩的具体方法: 将矩阵化为行阶梯矩阵, 那么行阶梯 阵的非零行行数就是矩阵的秩. 2. 矩阵秩的等式 (1) r ( A0 0B ) = r(A) + r(B); (2) 设P,Q分别为m阶与n阶可逆矩阵, A为nm矩阵, 则r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) = r(A); (3) r(A) = r(AT). 3. 矩阵秩的不等式 1.2 主要内容11 (1) 设A为n m矩阵, 则r(A) min(n,m); (2) 如果B为A的子阵, 则r(B) r(A); (3) r(A + B) r(A) + r(B); (4) r(AB) min(r(A),r(B); (5) 设A,B分别是m n,n s矩阵, 且AB = 0, 则r(A) + r(B) n. 定理1.2.5. 设A为m n矩阵, 则线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件 是r(A) 0. 1.3 典型题析15 1.3.2矩阵幂运算 设A为方阵, 计算Ak的常用方法如下； (1) 运用乘法结合律; (2) 运用数学归纳法; (3) 利用分块矩阵; (4) 利用矩阵对角化(参见第五章内容). 例1.3.6. 计算(ABA1)n, 其中 A = 111 011 001 ,B = 100 010 001 . 解经过计算有A1= 110 011 001 , 且B2k= I. 由于 (ABA1)n= n z| (ABA1)(ABA1)(ABA1) = AB(A1A)B(A1A)B(A1A)BA1= ABnA1 = AA1n = 2k; ABA1n = 2k + 1. = I,n = 2k; 122 012 001 , n = 2k + 1 注 如果n阶方阵A,B满足P1AP, 则称A与B相似. 矩阵相似关系是矩阵三大关系 “相抵、 合同、 相似”之一, 是研究矩阵结构的重要方法. 利用相似可以计算复杂矩阵的 幂. 如果f(x)是x的多项式, 则有 P 1f(A)P = f(P1AP). 例1.3.7. 已知T= (1,2,1),A = T, 计算An. 解因为T = 6, 且 A2= (T)T= 6T= 6A. 进一步得A3= A2A = 6A2= 62A, 可猜测An= 6n1A. 采用数学归纳法证明此式. 当n = 1时, 结论成立. 假设n 2时, An1= 6n2A, 则 An= An1A = 6n2A A = 6n2A2= 6n1A. 16第一章 矩阵 得证. 所以有 An= 6n1A = 6n1 121 242 121 . 例1.3.8. 设A = 10 01 001 , 计算An. 解 方法一 设J = 010 001 000 , 注意到 J2= 001 000 000 ,J 3 = 0, 且JI = IJ, 则有 An= (I + J)n= n i=1 (n i ) Ini(J)i= I + (n 1 ) J + 2 (n 2 ) J2, 由此得 An= 1n n(n1) 2 2 01n 001 . 方法二 数学归纳法. 对n = 2,3,4 计算An, 有 A2= 122 012 001 ,A 3 = 1332 013 001 ,A 4 = 1462 014 001 . 由此猜测 An= 1n n(n1) 2 2 01n 001 . 当n = 2 时上式成立. 假设n 1上式成立, 即 An1= 1(n 1) (n2)(n1) 2 2 01(n 1) 001 , 1.3 典型题析17 则 An= A An1= 10 01 001 1(n 1) (n2)(n1) 2 2 01(n 1) 001 = 1n n(n1) 2 2 01n 001 . 故得结论. 注 本例中解法一, 是针对特殊结构的矩阵A = B + C,且BC = CB. 由此运用二 项展开式起到化简作用. 例1.3.9. 计算An, 其中 A = diag(A1,A2),A1= ( 21 12 ) ,A2= ( 11 01 ) . 解经计算有A2 1 = 5I, 因此可得A2k 1 = 5kI,A2k+1 1 = 5kA1. 又 An 2 = ( 1n 01 ) . 由于An= diag(An 1,A n 2), 得 A2k= 5k000 05k00 0012k 0001 , A2k+1= 2 5k5k00 5k2 5k00 0012k + 1 0001 . 1.3.3逆阵计算 设A为n阶可逆矩阵, 计算A1方法有 (1) 运用初等行变换化(A|I)为行最简阵(I|A1); (2) 运用分块矩阵初等行变换方法; (3) 运用分块矩阵性质; (4) 运用伴随矩阵方法(参见第二章内容). 注 当矩阵阶数较大时, 伴随矩阵方法运算量大, 一般不采用此法求逆阵. 18第一章 矩阵 例1.3.10. 设A = 1111 1211 0011 0012 , 求A1. 解 法一 初等变换 (A|I) = 11111000 12110100 00110010 00120001 r2r1,r4r3 11111000 0100-1100 00110010 000100-11 r1r2r3,r3r4 10002-1-10 0100-1100 0010002-1 000100-11 . 所以A1= 2110 1100 0021 0011 . 法二 分块矩阵初等行变换方法 设B = ( 11 12 ) ,C = ( 11 11 ) . ( BCI0 0B0I ) B1r1,B1r2 ( IB1CB10 0I0B1 ) r1B1Cr2 ( I0B1B1CB1 0I0B1 ) . 由于B1= ( 21 11 ) , 得B1CB1= ( 10 00 ) . 所以 A1= 2110 1100 0021 0011 . 例1.3.11. 设A = 020 001 400 ,B = 0A10 00A2 A300 , 且A1,A2,A3可逆. 求A1,B1. 1.3 典型题析19 解B1= ( 20 01 ) , 则A = ( 0B1 40 ) . 因此有A1= ( 041 B1 1 0 ) , 而B1= ( 1 2 0 01 ) , 得 A1= 00 1 4 1 2 00 010 . 同法可得 B1= 00A1 3 A1 1 00 0A1 2 0 . 注 本例利用分块矩阵的性质计算逆阵. 例1.3.12. 设B = ( 31 13 ) ,A = ( 3BB B3B ) , 求A1 解经过计算B2= 10I, 且 A2= ( 10B20 010B2 ) . 得A2= 100I, 故 A1= 1 100 9331 3913 3193 1339 . 例1.3.13. 已知n阶方阵A满足 A2 2A 3I = 0.(1.3.1) 求A1,(A 4I)1; 分析 此类问题通过拼凑与因式分解方法对表达进行变形. 题目预先假设A为已 知矩阵, 所求逆阵需表示为A的多项式. 解由式(1.3.1)知A(A 2I) = 3I, 得A1 3(A 2I) = I. 由此得 A1= 1 3(A 2I). 由式(1.3.1)有 A2 2A 8I = 5I, 等式左边因式分解得(A 4I)(A + 2I) = 5I, 由此得 (A 4I)1= 1 5(A + 2I). 20第一章 矩阵 1.3.4矩阵方程求解 含有未知矩阵的等式称为矩阵方程. 一般通过对矩阵方程变形处理, 将其转化为 计算 X = A1B, X = BA1, X = A1BC1. 例1.3.14. 设n阶矩阵A,B满足A + B = AB, 且 B = 200 022 014 , 求A. 解方法一 由A + B = AB, 即A(B I) = B, 得 A = B(B I)1, 而 (B I)1= 100 012 013 1 = 100 032 011 , 得 A = 200 022 014 100 032 011 = 200 042 012 . 方法二 由A+B = AB, 有(AI)(BI) = I , 所以AI 可逆, 且AI = (BI)1, 于是 A = I + (B I)1. 又 (B I)1= 100 012 013 1 = 100 032 011 , 得 A = 200 042 012 . 例1.3.15. 设A = 630 130 001 ,B = 12 21 11 , 求X使AX = 2X + B. 1.3 典型题析21 解由AX = 2X + B得(A 2I)X = B, 有X = (A 2I)1B. 方法一 先计算(A 2I)1, 由于A 2I为准对角矩阵, 设C = ( 43 11 ) ,得 (A 2I)1= ( C0 01 )1 = ( C10 01 ) . 根据计算有C1= ( 13 14 ) . 故 X = (A 2I)1B = 130 140 001 12 21 11 = 51 72 11 . 方法二 直接利用初等行变换计算(A 2I)1B. (A 2I|B) = 43012 11021 00111 r1r2 11021 43012 00111 r24r1,r2,r3 11021 01072 00111 r1r2 10051 01072 00111 . 所以X = 51 72 11 . 例1.3.16. 设矩阵A = 111 111 111 ,B = 100 110 111 矩阵X 满足8X = AX + 2A1B, 其中A是A的伴随矩阵, 求矩阵X . 解在8X = AX+2A1B 两边左乘A, 得8AX = AAX+2B, 由AA= |A|I, 有8AX = |A|X + 2B, 根据行列式计算有|A| = 4, 从而 X = 1 2(2A I) 1B. 根据 2A I = 122 212 221 , 计算得 (2A I)1= 1 9 122 212 221 . 22第一章 矩阵 于是 X = 1 18 122 212 221 100 110 111 = 1 18 502 132 131 . 注 如果注意到(2A I)2= 9I, 则得(2A I)1= 1 9(2A I), 这样就减少了计算 量. 1.3.5矩阵秩的计算 具体矩阵秩的计算最简答方法是通过初等变换将矩阵化为行阶梯矩阵, 利用行阶 梯阵秩等于非零行行数性质得到原有矩阵的秩. 例1.3.17. 求矩阵A = 11230 4310101 32a + 171 1161b 的秩. 解将A化为行阶梯阵 A = 11230 4310101 32a + 171 1161b 11230 01221 01a + 721 0244b 11230 01221 00a + 900 0000b + 2 . 当a = 9 且b = 2时, r(A) = 2; 当a = 9 且b = 2时, r(A) = 3; 当a = 9 且b = 2时, r(A) = 3; 当a = 9 且b = 2时, r(A) = 4. 例1.3.18. 讨论矩阵A,AAT的秩, 其中 A = a1b1a1b2a1bn a2b1a2b2a2bn amb1amb2ambn . 解 记 = a1 a2 am , = b1 b2 bn , 1.3 典型题析23 可得 A = a1b1a1b2a1bn a2b1a2b2a2bn amb1amb2ambn = a1 a2 am (b1, b2, ,bn) = T. (1) 当 = 0 或 = 0时, A = 0,AAT= 0, 所以r(A) = r(AAT) = 0. (2) 当 = 0, = 0时, A = 0, 且1 r(A) r(), 所以r(A) = 1. 如果T = n i=1b 2 i(记为k) = 0, 则AA T = kT= 0, 且有r(AAT) = 1; 如果T = n i=1b 2 i = 0, 则AAT= 0 且有r(AAT) = 0. 注 当为实向量时, 如果 = 0, 则T = n i=1b 2 i = 0. 但当为复向量时, T可 能为0, 例如 T= (1, 1), 则T = 1 + (1) = 0. 1.3.6证明题 例1.3.19. 设A,B,A + B为可逆矩阵, 求证A1+ B1可逆. 解对矩阵A1+ B1变形, 有 A1+ B1= A1(I + AB1) = A1(B + A)B1, 由条件A1,B1,A + B可逆, 而可逆矩阵的乘积为可逆矩阵, 所以A1+ B1可逆. 注 本例采用的方法称为”和化积”方法：把矩阵和式表达式转化为矩阵乘积表达 式. 例1.3.20. 设A,B分别是mn与nm 矩阵, 若ImAB 可逆, 求证InBA 可逆. 解方法一 利用方程组解理论 假设InBA不可逆, 则存在非零n维列向量x0使得(InBA)x0= 0,即BAx0= x0. 设Ax0= y0, 由x0= 0, 知y0= 0. 由BAx0= x0得ABAx0= Ax0, 即ABy0= y0, 故(In AB)y0= 0, 由In AB可逆得y0= 0, 矛盾. 所以In BA 可逆. 方法二 利用”和化积” 由 B(Im AB) = (In BA)B 得 B = (In BA)B(Im AB)1. 由于 In= (In BA) + BA = (In BA) + (In BA)B(Im AB)1A 24第一章 矩阵 可得 In= (In BA)(In+ B(Im AB)1A). 所以In BA 可逆, 且 (In BA)1= (In+ B(Im AB)1A). 注 方法一只证明了InBA可逆, 方法二给出了InBA的逆阵与A,B,ImAB之 间关系. 此外证明In BA可逆的最简洁的方法是利用下列行列式等式证明. |In AB| = |Im BA|. 例1.3.21. 设A 为m n实矩阵, 且Ax = b 有唯一解. 证明ATA可逆, 且Ax = b 的 解为 x = (ATA)1ATb. 解由Ax = b 有唯一解知Ax = 0 只有零解. 下面采用反证法. 如果ATA不可逆, 则存在非零实向量x0使得ATAx0= 0, 等式两边乘上xT 0得 xT 0A TAx0 = 0. 设Ax0= y0, 由上式得yT 0y0 = 0, 又y0是实向量, 得y0= 0, 即Ax0= 0, 由Ax = 0 只有 零解知x0= 0, 矛盾. 于是ATA可逆. 由Ax = b得 ATAx = ATb, 因此有 x = (ATA)1ATb. 注 利用线性方程组结论可以证明, 对任意实m n矩阵A有r(ATA) = r(A), 本例只证 明在r(A) = n时结论. 例1.3.22. 设A是n阶方阵, 且A2 A 2I = 0, 求证r(A 2I) + r(A + I) = n. 证 方法一 由A2 A 2I = 0, 得 (A 2I)(A + I) = 0, 由此得 r(A I) + r(A + I) n. 又因为 r(A + I) + r(A 2I) r(A + I + 2I A) = r(3I) = n. 1.4 习题选解25 所以 r(A + I) + r(A 2I) = n. 方法二 ( A + I0 0A 2I ) r2+r1 ( A + I0 A + IA 2I ) c1c2 ( A + I0 3IA 2I ) r11 3(A+I)r2 ( 01 3(A 2I)(A + I) 3IA 2I ) c21 3(A2I)c1 ( 00 3I0 ) , 其中用到(A 2I)(A + I) = 0. 根据等价矩阵具有相同秩得 r(A 2I) + r(A + I) = r ( A + I0 0A 2I ) = n. 1.4习题选解 习题1.1.17 设A为m n矩阵, 如果对于任意n维向量x都有Ax = 0, 求证A = 0. 证 设1,2, ,n为A的列向量组. 有 Aei= i(i = 1,2, ,n) 又由条件有Aei= 0 (i = 1,2, ,n), 得i都为零向量, 于是A是零矩阵. 习题1.1.18 设A,B为同阶对称矩阵， 求证AB +BA是对称矩阵， AB BA是反对 称矩阵. 证由条件有AT= A,BT= B. 因此 (AB BA)T= (AB)T (BA)T= BTAT ATBT, 于是 (AB BA)T= BA AB = (AB BA). 即AB BA是反对称矩阵. 同理可证AB + BA是对称矩阵. 注 当A,B为同阶反对称矩阵, 题中结论仍然正确. 习题1.2.1 设A,B为方阵, C = ( A0 0B ) . 求证 (1) C为对称(反对称)矩阵充分必要条件是A,B为对称(反对称)矩阵; (2) C为正交矩阵充分必要条件是A,B为正交矩阵. 证(1)因为 CT= ( AT0 0BT ) . 26第一章 矩阵 所以CT= C(或CT= C)充分必要条件是AT= A,BT= B(或AT= A,BT= B), 即C为对称(反对称)矩阵充分必要条件是A,B为对称(反对称)矩阵. (2) 因为 CTC = ( AT0 0BT )( A0 0B ) = ( ATA0 0BTB ) . 又C为正交阵的充分必要条件是CTC = I, 因此C为正交阵的充分必要条件是 ATA = I,BTB = I, 即C为正交矩阵充分必要条件是A,B为正交矩阵. 习题1.2.2 称复方阵A为Hermite阵(H-阵), 如果A T = A. 设复方阵A分解为A = B + 1C, 其中B,C为实方阵, 求证A为H-阵的充分必要条件是(BC CB ) 为对称 矩阵. 证 根据矩阵共轭运算, 有 A T = (B + 1C)T = (B 1C)T = BT 1CT . 因此A T = A充分必要条件是 BT= B,CT= C. 又因为 ( BC CB )T = ( BTCT CTBT ) , 所以 ( BC CB ) 为对称矩阵充分必要条件是 BT= B,CT= C. 故A为H-阵的充分必要条件是 ( BC CB ) 为对称矩阵. 习题1.2.3 设A,B为同阶方阵, C = ( 0A B0 ) , 计算Ck, 其中k为正整数. 解 有 C2= ( 0A B0 )( 0A B0 ) = ( AB0 0BA ) , C3= C2C = ( AB0 0BA )( 0A B0 ) = ( 0A(BA) B(AB)0 ) . 1.4 习题选解27 假设 C2n1= ( 0A(BA)n1 B(AB)n10 ) ,C2n= ( (AB)n0 0(BA)n ) . 则有 C2n+1= ( 0A B0 )( (AB)n0 0(BA)n ) = ( 0A(BA)n B(AB)n0 ) , C2n+2= ( 0A B0 )( 0A(BA)n B(AB)n0 ) = ( (AB)n+10 0(BA)n+1 ) . 故对于任意自然数n, 有 C2n1= ( 0A(BA)n1 B(AB)n10 ) ,C2n= ( (AB)n0 0(BA)n ) . 习题1.2.5 利用分块法计算AB,其中 A = 12700 13600 32500 00012 00005 , B = 30012 03034 00356 00034 00051 . 解 设 A1= 127 136 325 ,A 2= ( 12 05 ) , B11= 300 030 003 ,B 12= 12 34 56 ,B 22= ( 34 51 ) . 有 AB = ( A10 0 A2 )( B11B12 0B22 ) = ( A1B11A1B12 0A2B22 ) . 经计算得 AB = 36213036 39183846 96152228 000132 000255 . 28第一章 矩阵 习题 1.3.2 设A,B 是n阶方阵, 且A可逆, B2+ BA + A2= 0, 试证B和A + B均 可逆， 并求B和A + B的逆阵. 证 由A可逆, 且B2+ BA + A2= 0 有 B(B + A)A2= I, A2B(B + A) = I. 于是B和A + B均可逆, 且 B1= (B + A)A2, (B + A)1= A2B. 习题 1.3.4 设A,B是同阶正交矩阵, 求证 (1) A1是正交矩阵; (2) 对任一正交方阵P, P1AP是正交矩阵; (3) 如果A + B是正交阵, 则(A + B)1= A1+ B1. 证 (1) 因为 A1(A1)T= A1(AT)1= A1(A1)1= A1A = I. 所以A是正交矩阵. (2) 设A,B为正交矩阵, 则有 (AB)(AB)T= (AB)(BTAT) = A(BBT)AT= AAT= I. 于是正交矩阵的乘积是正交矩阵. 由于P1,P,A为正交矩阵, 所以P1AP是正交矩阵. (3) 由于正交矩阵的逆阵