数值分析第四版习及答案.pdf

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设 x0,x 的相对误差为 ,求ln x的误差. 2. 设 x 的相对误差为 2,求 n x的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: * 12345 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.xxxxx 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * 12412324 ( ),( ),()/,i xxxii x x xiii xx 其中 * 1234 ,x x x x 均为第 3 题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为 1,问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设 0 28,Y 按递推公式 1 1 783 100 nn YY ( n=1,2,) 计算到 100 Y .若取 78327.982(五位有效数字),试问计算100 Y 将有多大误差? 7. 求方程 2 5610xx 的两个根,使它至少具有四位有效数字( 78327.982). 8. 当N充分大时,怎样求 2 1 1 N dx x ? 9. 正方形的边长大约为 100 ,应怎样测量才能使其面积误差不超过1 2 ? 10. 设 2 1 2 Sgt 假定g是准确的,而对t的测量有0.1 秒的误差,证明当t增加时S的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 n y 满足递推关系 1 101 nn yy (n=1,2,),若 0 21.41y (三位有效数字), 计算到 10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算 6 ( 21)f ,取 21.4 ,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 11 ,(32 2) ,9970 2. ( 21)(32 2) 13. 2 ( )ln(1)f xxx ,求 f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 改用另一等价公式 22 ln(1)ln(1)xxxx 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 1010 12 12 1010 ; 2. xx xx 假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin , 2 sabc 其中 c 为弧度, 0 2 c ,且测量 a ,b ,c 的误差分别为 ,.abc 证明面积的误差 s满足 . sabc sabc 第二章 插值法 1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令 2 000 011 2 111 2 1 ( )(, ) 1 1 n nnn n nnn n xxx V xV x xxx xxx xxx L LLLLL L L L 证明 ( ) n V x 是 n 次多项式,它的根是 01 , n xx L ,且 101101 ( )(,)()() nnnn V xVx xxxxxx LL . 2. 当 x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求 f(x)的二次插值多项式. 3. 给出 f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算 ln 0.54 的近似值. x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 4. 给出 cos x,0x 90的函数表,步长 h =1=(1/60),若函数表具有 5 位有效数字, 研究用线性插值求 cos x 近似值时的总误差界. 5. 设 0k xxkh ,k=0,1,2,3,求 03 2 max( ) xx x l x . 6. 设 j x 为互异节点(j=0,1,n),求证: i) 0 ( )(0,1, ); n kk jj j x l xxkn L ii) 0 ()( )1,2, ). n k jj j xx l xkn L 7. 设 2 ( ),f xCa b 且 ( )( )0f af b ,求证 2 1 ( )()( ) . 8 maxmax a x ba x b f xbafx 8. 在 44x 上给出 ( ) x f xe 的等距节点函数表,若用二次插值求 x e 的近似值,要使截 断误差不超过 6 10,问使用函数表的步长h应取多少? 9. 若 2n n y ,求 4 n y 及 4 n y . 10. 如 果 ( )f x 是m次 多 项 式 , 记 ( )()( )f xf xhf x , 证 明 ( )f x 的k阶 差 分 ( )(0) k fxkm 是m k 次多项式,并且 ( )0( m l f xl 为正整数). 11. 证明 1 () kkkkkk f gfggf . 12. 证明 11 001 00 . nn kknnkk kk fgf gf ggf 13. 证明 1 2 0 0 . n jn j yyy 14. 若 1 011 ( ) nn nn f xaa xaxa x L 有n个不同实根 12 , n x xxL ,证明 1 0,02; ,1. 1 () n k n jk n ak n j j x fx 15. 证明n阶均差有下列性质: i) 若 ( )( )F xcf x ,则 0101 , nn F x xxcf x xxLL ; ii) 若 ( )( )( )F xf xg x ,则 010101 , nnn F x xxf x xxg x xxLLL . 16. 74 ( )31f xxxx ,求 017 2 ,2 ,2 f L 及 018 2 ,2 ,2 f L . 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是 (4)22 311 ( )( )() () /4!,(,) kkkk R xfxxxxx x 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18. 求一个次数不高于 4 次的多项式 ( )P x ,使它满足 (0)(1)PPk 并由此求出分段三次 埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于 4 次的函数多项式 ( )P x ,以便使它能够满足以下边界条件 (0)(0)0PP , (1)(1)1PP , (2)1P . 20. 设 ( ),f xC a b ,把 , a b 分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数 ( ) n x 并证明当n时, ( ) n x 在 , a b 上一致收敛到 ( )f x . 21. 设 2 ( )1/(1)f xx ,在 55x 上取 10n ,按等距节点求分段线性插值函数 ( ) h Ix , 计算各节点间中点处的 ( ) h Ix 与 ( )f x 的值,并估计误差. 22. 求 2 ( )f xx 在 , a b 上的分段线性插值函数 ( ) h Ix ,并估计误差. 23. 求 4 ( )f xx 在 , a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下: j x 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 j y 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条插值 ( )S x 并满足条件 i) (0.25)1.0000,(0.53)0.6868;SS ii) (0.25)(0.53)0.SS 25. 若 2 ( ),f xCa b , ( )S x 是三次样条函数,证明 i) 222 ( )( )( )( )2( )( )( ) bbbb aaaa fxdxSxdxfxSxdxSxfxSx dx ; ii) 若 ( )( )(0,1, ) ii f xS xinL ,式中 i x 为插值节点,且 01n axxxbL ,则 ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) b a SxfxSx dxS bf bS bS af aS a . 26. 编出计算三次样条函数 ( )S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图( ( )S x 可用(8.7) 式的表达式). 第三章 函数逼近与计算 1. (a)利用区间变换推出区间为 , a b 的伯恩斯坦多项式. (b)对 ( )sinf xx 在 0,/2 上求 1 次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的 马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证: (a)当 ( )mf xM 时, ( , ) n mBf xM . (b)当 ( )f xx 时, ( , ) n Bf xx . 3. 在次数不超过 6 的多项式中,求 ( )sin4f xx 在 0,2 的最佳一致逼近多项式. 4. 假设 ( )f x 在 , a b 上连续,求 ( )f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a,使 3 01 max x xax 达到极小,又问这个解是否唯一? 6. 求 ( )sinf xx 在 0,/2 上的最佳一次逼近多项式,并估计误差. 7. 求 ( ) x f xe 在 0,1 上的最佳一次逼近多项式. 8. 如何选取r,使 2 ( )p xxr 在 1,1 上与零偏差最小?r是否唯一? 9. 设 43 ( )31f xxx ,在 0,1 上求三次最佳逼近多项式. 10. 令 ( )(21),0,1 nn T xTxx ,求 * 0123 ( ),( ),( ),( )Tx Tx Tx T x . 11. 试证 *( ) n Tx 是在 0,1 上带权 2 1 xx 的正交多项式. 12. 在 1,1 上利用插值极小化求 1 1 ( )f xtg x 的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设 ( ) x f xe 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 ( ) n L x ,若 n fL 有界, 证明对任何 1n ,存在常数 n 、 n ,使 11 ( )( )( )( ) ( 11). nnnnn Txf xL xTxx 14. 设在 1,1 上 2345 11315165 ( )1 28243843840 xxxxxx ,试将 ( )x 降低到 3 次多 项式并估计误差. 15. 在 1,1 上利用幂级数项数求 ( )sinf xx 的 3 次逼近多项式,使误差不超过 0.005. 16. ( )f x 是 , a a 上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数, ( )f x 的最佳逼近多项式 *( ) nn FxH 也是奇(偶)函数. 17. 求a、b使 2 2 0 sinaxbx dx 为最小.并与 1 题及 6 题的一次逼近多项式误差作比较. 18. ( )f x 、 1 ( ),g xC a b ,定义 ( )( , )( )( );( )( , )( )( )( ) ( ); bb aa af gfx g x dx bf gfx g x dxf a g a 问它们是否构成内积? 19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计 6 1 01 x dx x 的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界, 并比较其结果. 20. 选择a,使下列积分取得最小值: 11 2 22 11 (),xaxdxxax dx . 21. 设空间 100101 2 1,spanxspan xx ,分别在 1 、 2 上求出一个元素,使得其为 2 0,1xC 的最佳平方逼近,并比较其结果. 22. ( )f xx 在 1,1 上,求在 24 1 1,spanxx 上的最佳平方逼近. 23. 2 sin (1)arccos ( ) 1 n nx ux x 是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系 11 2 nnn uxxuxux . 24. 将 1 ( )sin 2 f xx 在 1,1 上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼 近多项式并画出误差图形,再计算均方误差. 25. 把 ( )arccosf xx 在 1,1 上展成切比雪夫级数. 26. 用最小二乘法求一个形如 2 yabx 的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差. i x 19 25 31 38 44 i y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 27. 观测物体的直线运动,得出以下数据: 时间t(秒) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(米) 0 10 30 50 80 110 求运动方程. 28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下: 时间 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 浓度 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64 用最小二乘拟合求 ( )yf t . 29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进 FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录 4,3,2,1,0,1,2,3 k x ,试用改进 FFT 算法求出序列 k x 的离散频谱 k C (0,1,7).k L 第四章 数值积分与数值微分 1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具 有的代数精度: (1) 101 ( )()(0)( ) h h f x dxA fhA fA f h ; (2) 2 101 2 ( )()(0)( ) h h f x dxA fhA fA f h ; (3) 1 12 1 ( )( 1)2 ( )3 () /3f x dxff xf x ; (4) 2 0 ( )(0)( ) /1(0)( ) h f x dxh ff hahff h . 2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分: (1) 1 2 0 ,8 4 x dx n x ; (2) 1 2 1 0 (1) ,10 x e dx n x ; (3) 9 1 ,4xdx n ; (4) 2 6 0 sin,6dx n . 3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有 5 次代数精度. 4. 用辛普森公式求积分 1 0 x e dx 并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式: (1) 2 ( ) ( )() ( )() 2 b a f f x dxba f aba ; (2) 2 ( ) ( )() ( )() 2 b a f f x dxba f bba ; (3) 3 ( ) ( )() ()() 224 b a abf f x dxba fba . 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n时收敛到积分 ( ) b a f x dx . 7. 用复化梯形公式求积分 ( ) b a f x dx ,问要将积分区间 , a b 分成多少等分,才能保证误差不 超过(设不计舍入误差)? 8. 用龙贝格方法计算积分 1 0 2 x e dx ,要求误差不超过 5 10. 9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是 22 2 0 1 ( ) sin c Sad a ,这里a是椭圆 的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距 离, 6371R 公里为地球半径,则 (2)/2,()/2aRHhcHh .我国第一颗人造 卫星近地点距离 439h 公里,远地点距离 2384H 公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式 35 24 sin 3!5! n nnn L 试依据 sin( / )(3,6,12)nn n 的值,用外推算 法求的近似值. 11. 用下列方法计算积分 3 1 dy y 并比较结果. (1) 龙贝格方法; (2) 三点及五点高斯公式; (3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式. 12. 用三点公式和五点公式分别求 2 1 ( ) (1) f x x 在x 1.0,1.1 和 1.2 处的导数值,并估计误 差. ( )f x 的值由下表给出: x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 ( )f x 0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736 第五章 常微分方程数值解法 1. 就初值问题 0)0(,ybaxy 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达 式，并与准确解 bxaxy 2 2 1 相比较。 2. 用改进的尤拉方法解初值问题 , 1)0( ; 10 , y xyxy 取步长 h=0.1 计算，并与准确解 x exy21 相比较。 3. 用改进的尤拉方法解 , 0)0( ; 2 y yxxy 取步长 h=0.1 计算 )5 . 0(y ，并与准确解 1 2 xxey x 相比较。 4. 用梯形方法解初值问题 , 1)0( ; 0 y yy 证明其近似解为 , 2 2 n n h h y 并证明当 0h 时，它原初值问题的准确解 x ey 。 5. 利用尤拉方法计算积分 dte x t 0 2 在点 2 , 5 . 1 , 1 , 5 . 0x 的近似值。 6. 取 h=0.2，用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题： 1） , 1)0( ; 10 , y xyxy 2） . 1)0( ; 10),1/(3 y xxyy 7. 证明对任意参数 t，下列龙格库塔公式是二阶的： ).)1 (,)1 ( );,( );,( );( 2 13 12 1 321 hKtyhtxfK thKythxfK yxfK KK h yy nn nn nn nn 8. 证明下列两种龙格库塔方法是三阶的： 1） ); 3 2 , 3 2 ( ); 3 , 3 ( );,( );3( 4 23 12 1 311 hKyhxfK K h y h xfK yxfK KK h yy nn nn nn nn 2） ). 4 3 , 4 3 ( ); 2 , 2 ( );,( );432( 9 23 12 1 3211 hKyhxfK K h y h xfK yxfK KKK h yy nn nn nn nn 9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题： , 0)0(,1yyy 取 ,181. 0, 0, 2 . 0 10 yyh 计算 )0 . 1 (y 并与准确解 x ey 1 相比较。 10. 证明解 ),(yxfy 的下列差分公式 )34( 4 )( 2 1 1111 nnnnnn yyy h yyy 是二阶的，并求出截断误差的首项。 11. 导出具有下列形式的三阶方法： ).( 22110221101 nnnnnnn ybybybhyayayay 12. 将下列方程化为一阶方程组： 1） ; 1)0(, 1)0( , 023 yy yyy 2） ; 0)0(, 1)0( , 0)1 ( 1 . 0 2 yy yyyy 3） ,)(,)( 22 33 yxr r y ty r x tx . 2)0(, 0)0(, 0)0(, 4 . 0)0(yyxx 13. 取 h=0.25，用差分方法解边值问题 .68. 1) 1 (, 0)0( ; 0 yy yy 14. 对方程 ),(yxfy 可建立差分公式 ),(2 2 11nnnnn yxfhyyy 试用这一公式求解初值问题 , 0) 1 ()0( ; 1 yy y 验证计算解恒等于准确解 . 2 )( 2 xx xy 15. 取 h=0.2 用差分方法解边值问题 . 2) 1 (, 1)0()0( ; 363)1 ( 2 yyy xyyxyx 第六章 方程求根 1. 用二分法求方程 01 2 xx 的正根，要求误差0，则对 任意 n n AR ，均有不等式 12 12 000 21 maxmaxmax sts sts sts xxx sts a AxAxaAx c AAcA axxa x 。 27 若 () T A A ， 则 0 , T xA A xx 就 有 () T AAAxAx ， 可 推 出 () T AA 即 ()() TT A AAA ，同理可以推出 ()() TT AAA A ，综合这两 点即可得 ()() TT A AAA 。 28 1 1 11 00 0 1 1/maxminmin yx A x A x xAy xyAA x 。 29 11 1AAAA ，则 111 ()1/1IAAAA ，故 1 ()AA 存 在， 1111111 111 ( ) ()() 1 1( ) A cond A AAAAIAAAAAA A A AAAA cond A A 。 30 1 ( )cond AAA ，当 2/3 时， ( )36cond A ，当 2/3 时， ( )42/cond A ，当 2/3 时， ( )cond A 有最小值 7。 31 (a) 22 2maxminmaxmin2 ( )/()/()() TT cond AW WW Wcond W ， (b) ()() TT W WWW , 2maxmin2 ()()/()() TTT cond WW WW Wcond W ， 222 ( )()() T cond Acond Wcond W 。 32 2maxmin ( )/39206.0cond A ， 1 ( )39601cond AAA 。 33 2maxmaxmaxmax ( )()()1 TT cond AA AAAII 。 34 1111 ()( )( )cond ABAB B AA B BAcond A cond B 。 第八章 解线性方程组的迭代法习题参考答案 1. (a) Jacobi 迭代矩阵 03 . 02 . 0 5 . 0025. 0 2 . 04 . 00 )( 1 ULDB 特征方程为 0055. 021. 0| 3 BI 特征根均小于 1，Jacobi迭代法收敛。 Gauss-Seidel迭代矩阵 17. 004. 00 7 . 04 . 00 2 . 04 . 00 )( 1U LDG 特征方程为 0096. 057. 0| 23 GI 特征根均小于 1，Gauss-Seidel 迭代法收敛。 (b) Jacobi 迭代格式为 1 )()1( fBXX kk 其中 B 如上， T bDf)3 . 052 . 1( 1 1 ， 迭代 18 次得 TX9999999. 19999739. 29999964. 3 ， Gauss-Seidel迭代格式为 2 )()1( fGXX kk 其中 G 如上， T bLDf)53. 16 . 24 . 2()( 1 2 ， 迭代 8 次得 TX000003. 2999985. 2000036. 4 。 2. 证： 02 00 A ， 则 , 0 2 A 故 0 k A ), 4 , 3 , 2(k ， 因此 12 01 2 AIAAAI k ， 即级数收敛。 3. 证： 设 aA | ， 一方面， 0 ! lim n An n ， 另一方面， 0 ! lim ! | lim ! | lim ! lim n a n A n A n A n n n n n n n n 因此 0 ! lim n An n ，即序列收敛于零。 4. 证：由已知迭代公式得迭代矩阵 0 0 22 21 11 12 a a a a G 则特征多项式为 0| 2211 21122 aa aa GI 解得 2211 2112 aa aa ， 向量序列 )(k x 收敛的充要条件是 1 ，即 1 2211 2112 aa aa r 。 5. (a) 谱半径 1093. 1)(B ，Jacobi迭代法不收敛； 矩阵 A 对称正定，故 Gauss-Seidel迭代法收敛。 (b) 谱半径 10)(B ，Jacobi迭代法收敛； 谱半径 12)(B ，Gauss-Seidel 迭代法不收敛； 6. 证：必要性 AAk k lim ，则 0lim AAk k ， 对任意向量x，有 0lim)(limlim xAAxAAAxxA k k k k k k 因而有 0lim AxxAk k ，即 AxxAk k lim 。 充分性 因对任何向量x，都有 AxxAk k lim ，令 ii ex ，则 iik k AeeA lim 即当 k 时， k A 的任一列向量的极限为 A 的对应的列向量，因而有 AAk k lim 。 7. A 对称正定，Jacobi 迭代法不一定收敛，如题 5(a)。 8. (a) Jacobi 迭代矩阵的谱半径2 1 )(B ； (b) Gauss-Seidel迭代矩阵的谱半径 25. 0)(B ； (c) 两种方法的谱半径均小于 1，所以两种方法均收敛。 事实上， 对于方程组 bAx ， 矩阵 A 为严格对角占优则 Jacobi和 Gauss-Seidel 迭代法均收敛。 9. 取 0 )0( X ，迭代公式为 )43( 4 )44( 4 )41 ( 4 )( 3 )1( 2 )( 3 )1( 3 )( 3 )( 2 )1( 1 )( 2 )1( 2 )( 2 )( 1 )( 1 )1( 1 kkkk kkkkk kkkk XXXX XXXXX XXXX 使当 6)( 105 k XX 时迭代终止， 取 03. 1 时，迭代 5 次达到 TX4999999. 00000001. 15000043. 0 )5( ； 取 1 时，迭代 6 次达到 TX4999995. 00000002. 15000038. 0 )6( ； 取 1 . 1 时，迭代 6 次达到 TX5000003. 09999989. 05000035. 0 )6( 。 10. 迭代公式为 )10323( 10 )2420( 4 )2512( 5 )( 3 )1( 2 )1( 1 )( 3 )1( 3 )( 3 )( 2 )1( 1 )( 2 )1( 2 )( 3 )( 2 )( 1 )( 1 )1( 1 kkkkk kkkkk kkkkk XXXXX XXXXX XXXXX 取 0 )0( X ， 9 . 0 ，迭代 8 次达到精度要求 TX00003. 299989. 200027. 4 )8( 。 11. 证：所给迭代公式的迭代矩阵为 AIB ， 其 n个特征值分别为 ), 1,0( ,1,1 ,1 21 ni in ， 当 2 0 时，有 ), 2 , 1( , 111ni i ， 因而 1)(B ，迭代法收敛。 12. 证：(a) ii k ik i k i a r XX )1( )()1( 即为 Gauss-Seidel迭代格式。 (b) 由 ii k ik i k i a r XX )1( )()1( 及 XX k i k i )()( ，可得 ii k ik i k i a r )1( )()1( ； 其中， n ij k jij i j k jij n j jij n ij k jij i j k jiji k i xaxaxaxaxabr )( 1 1 )1( 1 )( 1 1 )1()1( )()()( )( 1 1 )1()()1( 1 1 n ij k jij i j k jij k j n ij jij k j i j jij aaxxaxxa 。 (c) (d) 13. (a) 由已知，有1 1)( 2 1)1( 1 bABzAz mm ，及2 1)( 1 1)1( 2 bABzAz mm ， 则 1 1 2 11)1( 1 21)1( 1 )(bAbBAAzBAz mm ， 即由 )1( 1 m z 到 )1( 1 m z 的迭代矩阵为 21 )(BA ， 所以由 )( 1 m z 到 )1( 1 m z 的迭代矩阵为BA 1 ， 则迭代方法收敛的充要条件为 1)( 1 BA 。 (b) 由已知可推得1 1 2 11)( 1 21)1( 1 )(bAbBAAzBAz mm ，所以迭代矩阵为 21 )(BA ，则迭代方法收敛的充要条件为 1)( 21 BA 。 由迭代矩阵可以看出，(b)迭代法的收敛速度是(a)的 2 倍。 14. 证：由于 01 ，当 1 2 1 a 时， , 01 1 1 2 a a a 0)1)(21 (|aaA ，所以 A 正定。 Jacobi迭代矩阵谱半径为 |2)(aB ，所以只对 2 1 2 1 a 收敛。 15. 取排列阵 23 IP ，则 7300 4200 1123 3125 APPT A 为可约矩阵。 16. 证： 迭代矩阵的特征方程为 0|)(|CIC i ， 若 ), 2 , 1( , 0)(niC i ，则 0|C ，所以 0 n C ，即对任给向量 )0( X，迭代 n 次后， ffXCX nn )0()( ，其中 gcggCf n 1 ，则 fgcggCgCX nnn 1)1( 即最多迭代 n次收敛于方程组的解 f 。 17. 用 SOR 方法解方程组 bAX ，其中 A 对称正定，数组 x用来存放解向量， 用 |max| )()1( 1 0 k i k i ni xxp 控制迭代终止，k 表示迭代次数。 18. 证：方程组的 SOR 迭代矩阵为 )1()( 1 UDLDL ， 特征方程 0|)1(|)( | 1 ULDLD ， 即 0|)1( |ULD ， 记 ULDG)1( k=0, i=1 ), 1(0nixi 0, 1 0 pkk i|P0| P0=P; |P0| 输出 x, k; 是 否 否 是 nnnnn n n aaaa aaaa aaaa )1( )1( )1( 321 2232221 1131211 只要当 1| 时， 0|G ，则 0|G 的根均满足 1| 。 A 不可约则 G 也不可约，又 A 为弱对角优势阵，则当 1| 且 10 时， |)|)(1(| )1(| 1 1 1 ij n ij ij i j iiii aaag ij ii n ij ij i j ij gaa| 1 1 1 即 1| 时，G 为不可约弱对角占优，于是有 0|G ，故 1)(G ，SOR 方法收 敛。 19. 证：(a) AAAA TTT )( ， , 0,xRx n 设 T n aaAx),( 1 ，则 0)()()( 22 1 n TTT aaAxAxxAAx ，AAT为对称正定阵。 (b) 因为AAT为对称阵，所以 左 )( )( )( min max 2 AA AA AAcond T T T 右 2 min max2 2 1 2 2 2 )( )( )()( AA AA AAAcond T T 左。 20. 证：A 为严格对角占优，则 1 A存在。 x xA A 1 1 max 第九章 矩阵的特征值与特征向量计算习题参考答案 1(a)取初始值(1,1,1)得 k T k u max() k v 1 1.000000 0.750000 0.000000 8.000000 3 1.000000 0.617564 -0.371105 9.540540 5 1.000000 0.606413 -0.393095 9.604074 7 1.000000 0.605660 -0.394145 9.603921 8 1.000000 0.605583 -0.394377 9.605270 (b)取初始值(1,1,1)得 k T k u max() k v 1 0.285714 0.714286 1.000000 7.000000 5 -0.489303 1.000000 0.249743 8.561447 9 -0.594720 1.000000 0.159119 8.856237 13 -0.603581 1.00