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命题及其关系,1.1.1 命题,思考,下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗? (1) 125; (2) 3是12的约数; (3) 0.5是整数; (4)对顶角相等; (5)3 能被2整除; (6)若x2=1,则x=1.,语句都是陈述句,,并且可以判断真假。,一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,判断为真的语句叫真命题。,判断为假的语句叫假命题。,命题的概念,如何判断一个语句是不是命题?,7是23的约数吗? X5. -2a3. 画线段AB=CD.,开语句,判断一个语句是不是命题,关键看这语句是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。,有些语句中含有变量,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假,这样的语句叫开语句。,疑问句,祈使句,今天天气如何? 你是不是作业没交? 这里景色多美啊! -2不是整数。 43。 x4。,看看下列语句是不是命题?,不是(疑问句) 不是(疑问句) 不是(感叹句) 是 是 不是(开语句),例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题,指出它的真假。,(1) 空集是任何集合的子集.,(2)若整数a是素数,则a是奇数.,(3)指数函数是增函数吗?,(4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.,(5),(6)x15.,(是,真),(是,真),(是,假),(是,假),(不是命题),(不是命题),练习 判断下列语句是否是命题 .,(1)求证 是无理数。 (2) (3)你是高二学生吗? (4)并非所有的人都喜欢苹果。 (5)一个正整数不是质数就是合数。 (6)若 ,则 (7)x+30.,(1)(3)(7)不是命题,(2)(4)(5)(6)是命题。,“若p则q”形式的命题,命题“若整数a是素数,则a是奇数。”具有“若p则q”的形式。,通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。 “若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。,“若p则q”形式的命题的书写,对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。 如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。 写成“若p则q”的形式为: 若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行。,例2 指出下列命题中的条件p和结论q:,若整数a能被2整除,则a是偶数; 菱形的对角线互相垂直且平分。,解:1) 条件p:整数a能被2整除, 结论q:整数a 是偶数。,2) 写成若p,则q 的形式:若四边形是菱形, 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p:四边形是菱形, 结论q:四边形的对角线互相垂直且平分。,例3 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。,若两个平面垂直于同一直线,则这两个平面平行。,若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等。,若一个数是3,则这个数能被2整除。,真,假,真,(4) 负数的立方是负数,若一个数是负数,则这个数的立方是负数。,真,(5) 对顶角相等,(6) 能被2整除的整数是偶数,(7) 菱形的对角线互相垂直且平分,若两个角是对顶角,则这两个角相等。,若一个整数能被2整除,则这个整数是偶数。,若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分。,真,真,真,练习,1、将命题“a0时,函数y=ax+b的值随x值的增加而增加”改写成“p则q”的形式,并判断命题的真假。,解:a0时,若x增加,则函数y=ax+b的值也随之增加,它是真命题,在本题中,a0是大前提,应单独给出,不能把大前提也放在命题的条件部分内,2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断它们的真假.,(1)等腰三角形两腰的中线相等; (2)偶函数的图象关于y轴对称; (3)垂直于同一个平面的两个平面平行。,(1)若三角形是等腰三角形,则三角形两边上的中线相等。这是真命题。,(2)若函数是偶函数,则函数的图象关于y轴对称,这是真命题。,(3)若两个平面垂直于同一平面,则这两个平面互相平行。这是假命题。,3. 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。,(1) 负数的平方是正数. (2) 偶函数的图像关于y轴对称. (3)垂直于同一条直线的两条直线平行 (4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 对顶角相等.,真命题 真命题 假命题 假命题 真命题,命题及其关系,1.1.2 四种命题,下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?,若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数。,观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系?,若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;,互逆命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题:其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题:另一个命题叫做原命题的逆命题。,即 原命题:若p,则q,逆命题:若q,则p,例如,原命题:同位角相等,两直线平行。 逆命题:两直线平行,同位角相等。,观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系?,若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 3. 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数.,原命题:若p,则q,为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “p” “q”。 互否命题,否命题:若p,则q,例如,原命题:同位角相等,两直线平行。 否命题:同位角不相等,两直线不平行。,观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系?,若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 4. 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.,原命题: 若p, 则q,逆否命题: 若q, 则p,互为逆否命题,例如,原命题:同位角相等,两直线平行。 逆否命题:两直线不平行,同位角不相等。,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,四种命题形式: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:,若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p,例 设原命题是“当c 0 时,若a b ,则ac bc ”,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假:,解: 逆命题:当c 0 时,若ac bc ,则a b 逆命题为真,否命题:当c 0 时,若a b ,则ac bc 否命题为真,逆否命题:当c 0 时,若ac bc ,则a b 逆否命题为真,写出下列命题的逆命题,否命题和逆否命题,并判断它们的真假,(1)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除; (2)若一个三角形的两条边相等,则这个三角形有两个角相等; (3)奇函数的图像关于原点对称.,原命题:若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除;,逆命题:若一个整数能被5整除,则这个数的末位数字是0.,否命题:若一个数的末位数字不是0 ,则这个整数不能被5整除.,逆否命题:若一个整数不能被5整除,则这个数的末位数字不是0.,(1),真命题,假命题,真命题,假命题,原命题:若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等;,逆命题:若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等.,否命题:若一个三角形没有两条边相等,则这个三角形没有两个角相等.,逆否命题:若一个三角形没有两个角相等,则一个三角形没有两条边相等.,真命题,真命题,真命题,真命题,(2),原命题:奇函数的图像关于原点对称.,逆命题:若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数.,否命题:若一个函数不是奇函数,则这个函数的图象不关于原点对称.,逆否命题:若一个函数的图象不关于原点对称,则这个函数不是奇函数.,原命题:若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称.,真命题,真命题,真命题,真命题,(3),定义:一般地,对于两个命题,如果一个命题的 分别是另一个命题的 ,那么我们把这样的两个命题叫做 其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆 命题,条件和结论,结论和条件,互逆命题,定义:一般地,对于两个命题,如果一个命题的
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