复数的有关概念

1 / 9 复数的有关概念 教学目标 （ 1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。 （ 2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系； （ 3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。 （ 4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力 教学建议 （一）教材分析 1、知识结构 本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相 等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念 2、重点、难点分析 （ 1）正确复数的实部与虚部 2 / 9 对于复数 ，实部是 ，虚部是 注意在说复数 时，一定有 ，否则，不能说实部是 ，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。 说明：对于复数的定义，特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。 （ 2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系 分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复 数集的分类如下： 注意分清复数分类中的界限： 设 ，则 为实数 为虚数 且 。 为纯虚数 且 （ 3）不能乱用复数相等的条件解题用复数相等的条件要注意： 化为复数的标准形式 实部、虚部中的字母为实数，即 （ 4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意： 任何一个复数 都可以由一个有序实数对 ( )唯3 / 9 一确定这就是说，复数的实质是有序实数对一些书上就是把实数对 ( )叫做复数 的 复数 用复平面内的点 Z( )表示复平面内的点Z 的坐标是 ( )，而不是 ( )，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是 1，而不是 由于 =0 1 ，所以用复平面内的点 (0， 1)表示 时，这点与原点的距离是 1，等于纵轴上的单位长度这就是说，当我们把纵轴上的点 (0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ，或者 就是纵轴的单位长度 当 时，对任何 ， 是纯虚数，所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数但当 时， 是实数所以 ，纵轴去掉原点后称为虚轴 由此可见，复平面 (也叫高斯平面 )与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面 )的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点 复数 z=a bi中的 z，书写时小写，复平面内点 Z(a，b)中的 Z，书写时大写要学生注意 （ 5）关于共轭复数的概念 设 ，则 ，即 与 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为 与 或 是共轭复数） 教师可以提一下当 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如： 5和 5 也是互为共轭复数当 时， 4 / 9 与 互为共轭虚数可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行 （ 6）复数能否比较大小 教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意： 根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么 两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小 命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系 (i)对于任意两个实数 a， b 来说， a b， a=b， b a 这三种情形有且仅有一种成立； (ii)如果 a b， b c，那么 a c； (iii)如果 a b，那么 a c b c； (iv)如果 a b， c 0，那么 ac bc (不必向学生讲解 ) （二）教法建议 1要注意知识的连续性：复数 是二维数，其几何意义是一个点 ，因而注意与平面解析几何的联系 2注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想 5 / 9 3注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答 复数的有关概念 教学目标 1了解复数的实部，虚部； 2掌握复数相等的意义； 3了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数 教学重点 复数的概念，复数相等的充要条件 教学难点 用复平面内的点表示复数 教学用具：直尺 课时安排： 1课时 教学过程： 一、复习提问： 1复数的定义。 2虚数单位。 二、讲授新课 6 / 9 1复数的实部和虚部： 复数 中的 a 与 b 分别叫做复数的实部和虚部。 2复数相等 如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。 即： 的充要条件是 且 。 例如： 的充要条件是 且 。 例 1： 已知 其中 ，求 x 与 y. 解：根据复数相等的意义，得方程组： 例 2： m是什么实数时，复数 , (1) 是实数， (2)是虚数，（ 3）是纯虚数 . 解： (1) 时， z是实数 , ,或 . (2) 时， z是虚数 , ，且 (3) 且 时， z是纯虚数 . 3用复平面（高斯平面）内的点表示复数 复平面的定义 7 / 9 建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面 复数 可用点 来表示（如图）其中 x轴叫实轴， y轴 除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原 点只在实轴 x上，不在虚轴上 4复数的几何意义： 复数集 c和复平面所有的点的集合是一一对应的 5共轭复数 （ 1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数） （ 2）复数 z 的共轭复数用 表示若 ，则： ； （ 3）实数 a 的共轭复数仍是 a 本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数 （ 4）复平面内表示两个共轭复数的点 z 与 关于实轴对称 三、练习 1,2,3,4. 四、小结： 1在理解复 数的有关概念时应注意： （ 1）明确什么是复数的实部与虚部； （ 2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求； 8 / 9 （ 3）弄清复平面与复数的几何意义； （ 4）两个复数不全是实数就不能比较大小。 2复数集与复平面上的点注意事项： （ 1）复数 中的 z，书写时小写，复平面内点 Z(a，b)中的 Z，书写时大写。 （ 2）复平面内的点 Z 的坐标是 (a， b)，而不是 (a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是 1，而不是 i。 （