复数的加法与减法

1 / 9 复数的加法与减法 教学目标 （ 1）掌握复数加法与减法运算法则，能熟练地进行加、减法运算； （ 2）理解并掌握复数加法与减法的几何意义，会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题； （ 3）能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题； （ 4）通过学习平行四边形法则和三角形法，培养学生的数形结合的数学思想； （ 5）通过本节内容的学习，培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等） 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点 分析 本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则，它是复数加减法运算的基础，对于这个规定的合理性，在教学过程中要2 / 9 加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法，以它为根据来解决某些平面图形的问题，学生对这一点不容易接受。 三、教学建议 （ 1）在复数的加法与减法中，重点是加法教材首先规定了复数的加法法则对于这个规定，应通过下面几个方面，使学生逐步理解这个规定的合理性：当 时，与实数加法法则一致；验证实数加法运算律在复数集中 仍然成立；符合向量加法的平行四边形法则 （ 2）复数加法的向量运算讲解设 ，画出向量 ， 后，提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和向量（即合向量） ，画出向量 后，问与它对应的复数是什么，即求点 Z的坐标 OR与 RZ（证法如教材所示） （ 3）向学生介绍复数加法的三角形法则讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后，可以指出向量加法还可按三角形法则来进行：如教材中图 8 5（ 2）所示，求 与 的和，可以看作是求 与 的和这时先画出第一个向量 ，再以 的终点为 起点画出第二个向量 ，那么，由第一个向量起点 O 指向第二个向量终点 Z的向量 ，就是这两个向量的和向量 （ 4）向学生指出复数加法的三角形法则的好处向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的：例如讲到3 / 9 当 与 在同一直线上时，求它们的和，用三角形法则来解释，可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些；讲复数减法的几何意义时，用三角形法则也较平行四边形法则更为方便 （ 5）讲解了教材例 2后，应强调 （注意：这里 是起点， 是终点）就是同复数 对应的向量点 ， 之间 的距离 就是向量 的模，也就是复数 的模，即 例如，起点对应复数 1、终点对应复数 的那个向量（如图），可用 来表示因而点 与 （ ）点间的距离就是复数 的模，它等于 。 教学设计示例 复数的减法及其几何意义 教学目标 1理解并掌握复数减法法则和它的几何意义 2渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力 3培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等） 教学重点和难点 重点：复数减法法则 难点：对复数减法几何意义理解和应用 4 / 9 教学过程设计 （一）引入新课 上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义（板书课题：复数减法及其几何意义） （二）复数减法 复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（ + i） -（ + i） =（ - ） +（ - ） i， 1复数减法法则 （ 1）规定：复数减法是加法逆运算； （ 2）法则：（ + i） -（ + i） =（ - ） +（ - ）i（ ， ， ， R） 把（ + i） -（ + i）看成（ + i） +（ -1）（ + i）如何推导这个法则 （ + i） -（ + i） =（ + i） +（ -1）（ + i） =（ + i） +（ - - i） =（ - ） +（ - ） i 推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算 推导：设（ + i） -（ + i） = + i（ ， R）即复数 + i 为复数 + i 减去复数 + i 的差由规定，得（ + i） +（ + i） = + i，依据加法法则，得（ + ） +（ + ） i= + i，依据复数相等定义，得 故（ + i） -（ + i） =（ - ） +（ - ） i这5 / 9 样推导每一步都有合理依据 我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数是唯一确定的复数 复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（ + i）（ + i） =（ ） +（ ） i （三）复数减法几何意义 我们有了做复数减法的依据 复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？ 设 z= + i（ ， R）， z1= + i（ ， R），对应向量分别为 ， 如图 由于复数减法是加法的逆运算，设 z=（ - ） +（ - ） i，所以 z-z1=z2， z2+z1=z，由复数加法几何意义，以 为一条对角线， 1 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量 OZ2就与复数 z-z1的差（ - ） +（ - ） i对应，如图 在这个平行四 边形中与 z-z1 差对应的向量是只有向量 2吗？ 还有 因为 OZ2 Z1Z，所以向量 ，也与 z-z1差对应向量 是以 Z1为起点， Z为终点的向量 能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差 z-z16 / 9 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 （四）应用举例 在直角坐标系中标 Z1（ -2， 5），连接 OZ1，向量 1与多数 z1对应，标点 Z2（ 3， 2）， Z2关于 x轴对称点 Z2（ 3，-2），向量 2与复数对应，连接，向量与的差对应（如图） 例 2 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式 解：设复平面内的任意两点 Z1， Z2分别表示复数 z1，z2，那么 Z1Z2 就是复数对应的向量，点之间的距离就是向量的模，即复数 z2-z1 的模如果用 d 表示点 Z1， Z2 之间的距离，那么 d=|z2-z1| 例 3 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点 Z的轨迹是什么 （ 1） |z-1-i|=|z+2+i|； 方程左式可以看成 |z-（ 1+i） |，是复数 Z与复数 1+i差的模 几何意义是是动点 Z与定点（ 1， 1）间的 距离方程7 / 9 右式也可以写成 |z-（ -2-i） |，是复数 z与复数 -2-i 差的模，也就是动点 Z与定点（ -2， -1）间距离这个方程表示的是到两点（ +1， 1），（ -2， -1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（ +1， 1），（ -2， -1）为端点的线段的垂直平分线 （ 2） |z+i|+|z-i|=4； 方程可以看成 |z-（ -i） |+|z-i|=4，表示的是到两个定点（ 0， -1）和（ 0， 1）距离和等于 4 的动点轨迹满足方程的动点轨迹是椭圆 （ 3） |z+2|-|z-2|=1 这个方程可以 写成 |z-（ -2） |-|z-2|=1，所以表示到两个定点（ -2， 0），（ 2， 0）距离差等于 1 的点的轨迹，这个轨迹是双曲线是双曲线右支 由 z1-z2几何意义，将 z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式 d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程使有些曲线方程形式变得更为简捷且反映曲线的本质特征 例 4 设动点 Z 与复数 z= + i 对应，定点 P 与复数 p= + i 对应求 （ 1）复平面内圆的方程； 解：设定点 P 为圆心， r为半径，如图 8 / 9 由圆的 定义，得复平面内圆的方程 |z-p|=r （ 2）复平面内满足不等式 |z-p| r（ r R+）的点 Z的集合是什么图形？ 解：复平面内满足不等式 |z-p| r（ r R+）的点的集合是以 P为圆心， r为半径的圆面部分（不包括周界）利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程不等式等问题 （五）小结 我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题 （六）布置作业 P193习题二十七： 2， 3， 8， 9 探究活动 复数等式的几何意义 复数等式 在复平面上表示以 为圆心，以 1 为半径的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几何意义。 分析与解 1 复数等式