年级奥数-等差数列求和.ppt

小学四年级奥数,小故事,一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。 1+2+3+4+98+99+100=? 老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。 而更使人吃惊的是男孩的算法,小故事,老师发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使老师彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。,卡尔弗里德里希高斯,此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。,第一讲 四则运算 （等差数列求和）（一）,等差数列的主要内容,1、等差数列的基本知识,2、等差数列的项,3、等差数列的和,一、等差数列的基本知识,（1）1、2、3、4、5、6 （2）2、4、6、8、10、12 （3）5、10、15、20、25、30 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列 数列中的每一个数称为一项； 第1项称为首项；最后1项称为末项； 在第几个位置上的数就叫第几项； 有多少项称为项数；,（一）数列的基本知识,（二）等差数列的基本知识,（1）1、2、3、4、5、6 （2）2、4、6、8、10、12 （3）5、10、15、20、25、30,（公差=1） （公差=2） （公差=5）,通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。,二、等差数列的项,数列：1、3、5、7、9、11,第2项： 3=1+2 首项+公差1（2-1） 第3项： 5=1+2 2 首项+公差2（3-1） 第4项： 7=1+2 3 首项+公差3（4-1） 第5项： 9=1+2 4 首项+公差4（5-1） 第6项： 11=1+2 5 首项+公差5（6-1）,等差数列的通项公式： 等差数列的某一项=首项+公差（项数-1） 等差数列的末项=首项+公差（项数-1） 等差数列的首项=末项-公差（项数-1） 适用条件：该数列一定要为等差数列,等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）,例1 已知数列2、5、8、11、14 求：（1）它的第10项是多少？ （2）它的第98项是多少？ （3）这个数列各项被几除有相同的余数？,分析：首项=2 公差=3 解：（1）第10项： 2+3 （10-1）=29 （2）第98项： 2+3 （98-1）=293,等差数列的某一项=首项+公差（项数-1）,例1 已知数列2、5、8、11、14 求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？,分析： 被除数=余数+除数商 等差数列的某一项= 2+ 3（项数-1） 规律： 等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相对应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。 这个数列每1项除以3都余2。 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。 答：这个数列第10项是29；第98项是293；这个数列各项除以3余数相同。,例2 已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有多少项。,分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差，那第n项比首项多（n-1)个公差。,规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到这个数列的项数。 等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）公差 + 1 这个数列的项数= （17-2）3+1=6,小结：,等差数列项的有关规律,等差数列的某一项=首项+公差（项数-1） 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。 等差数列的项数=（末项-首项）公差+1,练习,1、一串数：1、3、5、7、9、49。（1）它的第21项是多少?（2）这串数共有多少个？ 2、一串数：2、4、6、8、2008。（1）它的第25项是多少?（2）这串数共有多少个？ 3、一串数：101、102、103、104、199。（1）它的第30项是多少?（2）这串数共有多少个？ 4、一串数：7、12、17、22。（1）它的第60项是多少?（2）这个数列各项被几除有相同的余数？,练习答案：,1、它的第21项=1+2（21-1）=41； 这个数列的项数= （49-1）2+1=25； 2、它的第25项=2+2（25-1）=50； 这个数列的项数= （2008-2）2+1=1004； 3、它的第30项=101+1（30-1）=130； 这个数列的项数= （199-101）1+1=99 4、它的第60项=7+5（60-1）=302； 这个数列各项被5除有相同的余数。 （提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。）,二、等差数列的和,例：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38,分析：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4,原数列的和：6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38 倒过来的和：38+ 34+ 30 + 26 + 22 + 18 + 14 + 10 + 6 44 44 44 44 44 44 44 44 44 两数列之和=（6+38）9 解：原数列之和=（6+38）92 =4492 =198,等差数列的和=（首项+末项）项数2,例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 + 276,分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5,等差数列的和=（首项+末项）项数2 ？ 等差数列的项数=（末项-首项）公差+1,解：等差数列的项数： （276-1）5+1=56（项） 原数列之和=（1+276）562 = 27728 =7756,练习,1、计算 （1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37 （2）7+11+15+19+403 （3）9+19+29+39+99 （4）1+3+5+7+99,练习答案：,解：（1）这是一个等差数列；首项=7，末项=37，公差=3, 项数=（37-7）3+1=11 和=（7+37）112=242 （2）这是一个等差数列；首项=7，末项=403，公差=4， 项数=（403-7）4+1=100 和=（7+403）1002=20500 （3）这是一个等差数列；首项=9，末项=99，公差=10， 项数=（99-9）10+1=10 和=（9+99）102=540 （4）这是一个等差数列；首项=1，末项=99，公差=2， 项数=（99-1）2+1=50 和=（1+99）502=2500,等差数列知识总结：,怎样判断