《高等数学二》期末复习题及答案.doc

高等数学（二）期末复习题一、选择题1、若向量与向量平行，且满足，则（ ） （A） （B） （C） （D）. 2、在空间直角坐标系中，方程组代表的图形为 ( )（A）直线 (B) 抛物线 （C） 圆 (D)圆柱面 3、设，其中区域由所围成，则（ ） (A) (B) (C) (D) 4、设，则 （ ） （A）9 (B) 6 （C）3 (D) 5、级数 的敛散性为 （ ）（A） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式中的代表的是（ ）（A）小区间的长度(B)小区域的面积(C)小区域的半径(D)以上结果都不对 7、设为连续函数，则二次积分等于 ( )（A） (B) (C) (D)8、方程表示的二次曲面是 ( )（A）抛物面 （B）柱面 （C）圆锥面 （D）椭球面 9、二元函数在点可微是其在该点偏导数存在的（ ）.（A） 必要条件 （B） 充分条件 （C） 充要条件 （D） 无关条件10、设平面曲线L为下半圆周 则曲线积分( )(A) (B) (C) (D) 11、若级数收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)收敛 (B) 收敛 (C)收敛 (D) 收敛12、二重积分的值与 （ ） （A）函数f及变量x,y有关； (B) 区域D及变量x,y无关； （C）函数f及区域D有关； (D) 函数f无关，区域D有关。13、已知且 则x = ( ) （A） -2 （B） 2 （C） -3 （D）314、在空间直角坐标系中，方程组代表的图形为( ) （A）抛物线 (B) 双曲线 （C）圆 (D) 直线15、设，则= （ ）(A) (B) （C） (D)16、二重积分交换积分次序为 ( )（A） (B) (C) (D) 17、若已知级数收敛，是它的前项之和，则此级数的和是（ ）（A） (B) (C) (D) 18、设为圆周：，则曲线积分的值为（ ） （A） (B) 2 （C） (D) 19、 设直线方程为 ，则该直线必 ( )（A） 过原点且轴 （B）过原点且轴 （C） 过原点且轴 （D）过原点且轴20、平面与直线的交点坐标为（ ）(A)（1，1，2） (B)（2，3，4） （C）（1，2，2） (D)（2，1，1）21、考虑二元函数的下面4条性质： 在点处连续； 在点处的两个偏导数连续；在点处可微； 在点处的两个偏导数存在.若用“”表示可由性质推出性质，则有 （ ）（A） (B) (C) (D) 22、下列级数中绝对收敛的级数是( )(A) (B) (C) (D)23、设，则（ ）（A） （B） （C） （D）24、设a为常数，则级数 （ ）(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与a的取值有关25、设常数，则级数 （ ）(A) 发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)敛散性与的取值有关26、 ( ) (A) (B) (C) (D)二、填空题 1、 2、二元函数 ，则 3、积分的值为 4、若 为互相垂直的单位向量， 则 5、交换积分次序 6、级数的和是 7、 8、二元函数 ，则 9、设连续，交换积分次序 10、设曲线L： ，则 11、若级数收敛，则 12、若则 13、 14、已知且 则x = 15、设则 16、设连续，交换积分次序 17、级数，则级数的和是 18、设为圆周：，则曲线积分的值为 19、 20、已知, 则 21、 22、已知向量、满足，则 23、设为连接与两点的直线段，则 24、 25、，与的夹角是，则 26、已知三角形的顶点 27、点到点的距离 28、若则 29、 30、函数求 三、解答题1、（本题满分12分）求曲面在点处的切平面方程。2、（本题满分12分）计算二重积分，其中由轴及开口向右的抛物线和直线围成的平面区域。3、（本题满分12分）求函数的全微分。4、（本题满分12分）证明：函数在点（0，0）的两个偏导数存在，但函数在点（0，0）处不连续。5、（本题满分10分）用比较法判别级数的敛散性。6、（本题满分12分）求球面在点处的法线方程。 7、（本题满分12分）计算，其中。8、（本题满分12分）力的作用下，质点从点沿 移至点，求力 所做的功。9、（本题满分12分）计算函数的全微分。10、（本题满分10分）求级数的和。11、（本题满分12分）求球面在点处的切平面方程。12、（本题满分12分）设,求。13、（本题满分12分）求，其中是由，在第一象限内所围成的区域。14、（本题满分12分）一质点沿曲线从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在此过程中，力所作的功。15、（本题满分10分）判别级数 的敛散性。16、（本题满分20分）求一条过点与一平面平行，且与直线相交的直线方程. 17、（本题满分20分）求椭球面上的点，使直线在过点的切平面上.18、（本题满分12分）计算二重积分。19、（本题满分12分）已知，确定的，求。20、（本题满分12分）设是由方程所确定的隐函数，求、. 21、（本题满分10分）计算二次积分 .22、（本题满分10分）计算函数的全微分.23、（本题满分10分）计算二重积分 其中D：0x1,0y1 .24、（本题满分10分）已知向量，求 和.25、（本题满分10分）求曲面在点处的切平面方程. 高等数学（二）期末复习题答案一、选择题1、A 解：利用平行向量对应的坐标成比例，设，又因2、C 解：将代入得到，此时图形为圆。 3、D 解：用极坐标计算方便，4、A 解：利用曲线积分的性质，则 5、B 解：由莱布尼兹判别法可得到级数 收敛，但 发散 ，所以 是条件收敛。 6、D 解：二重积分定义式中的是分割细度，代表的是n个小闭区域直径中的最大值。 7、B 解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得8、A 解：在三维空间里表示的是抛物面。 9、B 解：在点可微一定能推出偏导数存在，所以是充分条件。10、C 解：利用曲线积分的性质，则沿着下半圆周的曲线积分11、B 解：若级数收敛，由收敛的性质A,C,D三个选项依然是收敛的，而未必收敛，或者排除法选择B。 12、C 解：二重积分的值与函数有关，与积分区域有关，而与积分变量的字母表达没关系。 13、B 解：利用平行向量对应的坐标成比例，则x=2 14、B 解：将代入得到代表的图形为双曲线。15、B 解：对y求偏导时，x看作常数，则= 16、A 解：画出积分区域，确定每个变量的上下限，交换积分次序以后，得 17、C 解：利用级数收敛的定义可得 18、D 解：利用曲线积分的性质，被积函数关于x是奇函数，由对称性，可得则曲线积分19、A解：直线方程为 ，则原点坐标满足方程，该直线必过原点，直线的方向向量为 ，x轴的方向向量为，又因为，所以直线过原点且轴。 20、C 解：将直线方程写成参数式，代入平面方程求交点坐标，或者代入法验证也可。代入得交点坐标为（1，2，2）21、A 解：熟悉二元函数的概念之间的联系，偏导数连续可微连续；或者偏导数连续可微偏导数存在22、B 解：绝对收敛。23、B 解：对y求偏导时，x看作常数，代入点的坐标24、C 解：级数绝对收敛。 25、B 解：级数条件收敛26、C 解：交换积分次序后计算简单二、填空题1、 2 解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。2、 解：对x求偏导时，y看作常数， 3、 解：用极坐标求解简单 4、 0 解： 两个向量垂直，则点积为0 5、 解：画出积分域，再确定积分限 6、 解：7、 解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。8、 解：对y求偏导时，x看作常数，9、 解：画出积分域，再确定积分限 10、 0 解：利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为011、 -1 解：收敛12、 解：设 13、 解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。14、 3 解： 两个向量垂直，则点积为015、 解：考查全微分的概念，先求两个偏导，求全微分，再代入定点又因为 16、 解：画出积分域，再确定积分限17、 解：18、 0 解：利用曲线积分的性质，奇函数在对称区域上的积分为0，则19、 解：本题用到了连续函数的性质，等价无穷小的替代， 20、 解：本题用到向量积的求解方法, 则 21、 解：22、 解：，又，23、 解：为连接与两点的直线段，此线段的方程是，此线段的长度是，24、 2 解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。25、解：利用向量积的模的求解方法 26、解：利用向量积的模的几何意义，三角形的面积27、 解：利用两点间的距离公式 28、 3 解：利用点积公式29、 解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母约去公因子，第四步利用连续性求解极限。30、 解：对x求偏导时，y看作常数，求完偏导以后代入已知点的坐标代入点的坐标 三、解答题1、（本题满分12分）解：设 则 ， ， 对应的切平面法向量 代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0） 则切平面方程： 或 2、（本题满分12分）解 ： 3、（本题满分12分）解：因为 ， ， 所以 4、（本题满分12分）解： 同理 所以函数在（0，0）点两个偏导数存在。 不存在 因此函数在（0，0）点不连续 5、（本题满分10分）解： ， 而 是收敛的等比级数 原级数收敛 6、（本题满分12分）解：设 则 ， ， 对应的法向量 代入可得法向量：（2，4，6） 则法线方程： 7、（本题满分12分）解： 8、（本题满分12分） 9、（本题满分12分）， 10、（本题满分10分）解： 所以级数的和为1 11、（本题满分12分）解：设 则 ， ， 对应的切平面法向量 代入可得法向量：（2，4，6） 则切平面方程： 或 12、（本题满分12分）解：因为 所以 13、（本题满分12分）解：令，则，所以 14、（本题满分12分） 15、（本题满分10分）解： 设 于是 故发散。16、（本题满分20分）解：直线的参数方程为 所求直线的方向向量为与平面的法向量垂直，即得 所求直线为 17、（本题满分20分）解：设点为所求的点，则椭球面在点处的法向量，切平面的方程为直线的方向向量，由已知条件得，即而直线上的点必在切平面上，因此，而点在椭球面上，即 解得 和 ，即点为