专升本考试中需要用到的数学公式.pdf

函数的定义域：函数的定义域： 函数的有界性：函数的有界性： 对数函数：对数函数： 指数函数：指数函数： 三角函数：三角函数： 1 1( )0 ( ) 2( )( )0 3log( )( )0 4arcsin( )1( )1, arccos( )1( )1 5 a yf x f x yf xf x yf xf x yf xf x yf xf x 、 、 、 、 、分段函数各个式子取值范围的并集 |sin| 1,|cos| 1,| arcsin|,|arctan| 22 0arccos,0arccot 0 |( 1) | 1 n xx xx xx log logloglog logloglog loglog a aaa aaa n aa m mnmn m mn n mnm am () mnm n m m n n mnmn aaa a a a aa 22 22 22 sincos1 1tansec 1 cotcsc xx xx xx 22 2 2 2 2 cos2cossin 1 2sin 2cos1 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 xxx x x x x x x 2 sin22sin cos 2tan tan2 1tan xxx x x x 等价代换：等价代换： 极限方法：极限方法： 2 ( ) 2 0 1 sin tan arcsin arctan1 ln(1) 1 2 1 cos 2 3 (1)1 ( )0 1( ) sin( ) tan( ) arcsin( ) arctan( ) 1 ln(1( ) 1 2 1 cos( ) ( ) 2 3 1( )1( ) x n f x n x xxxxxex xx xnx f x f xf xf xf xf xef x f xf x f xnf x 当时 、 、 、 同理：当时，有 、 、 、 00 0 0 ,() 0 0 0 ( ) ( ) xxf x xx xx f x x g x 有意义直接代入 ，有公因子消去公因子 ， ， 分子或分母有理化 ，有理函数,看最高次幂 1 1 1 =0 11 0=0 0 (1) 1 1 ,1 () 2 n n n n aq q q na q n aa S 无穷小的性质:0 有界变量 与 的关系：， ， 已学知识：等比数列：S 等差数列： 0 1 0 1 sin sin 1 lim1lim1 1 1 2 lim(1)lim(1) xx x x xx x x x x xee x 变形 变形 两个重要极限公式： 、 、 导数公式：导数公式： （1） （C）=0 （2） uxx uu1 )( （3） x x 2 1 ) 1 ( （4） x x 2 1 )( （5）a aa xx ln)( （6） ee xx )( （7） ax x a ln 1 )log( （8） x x 1 )(ln （9）xxcos)(sin （10）xxsin)(cos （11）xx sec )(tan 2 （12）xx csc )(cot 2 （13）xxxtansec)(sec （14）xxxcotcsc)(csc （15） x x 2 1 1 )(arcsin （16） x x 2 1 1 )(arccos （17） x x 2 1 1 )(arctan （18） x xarc 2 1 1 )cot( 不定积分的基本公式：不定积分的基本公式： （1）Ckxdxk （2）C n x dx x n n 1 1 （3）C x dx x 11 2 （4）Cxdx x 2 1 （5）Cxdx x |ln 1 （6）Cxdx x arctan 1 1 2 （7）C a x a dx x a arctan 11 2 2 （8）Cxdx x arcsin 1 1 2 （9）C a x dx x a arcsin 1 2 2 （10）C ax ax a dx a x |ln 2 11 2 2 （11）C ax xdx a x )ln( 1 22 2 2 （12）C ax xdx a x )ln( 1 22 2 2 （13）Cxdxx sincos （14）Cxdxx cossin （15）Cxdxxdx x tan sec cos 1 2 2 （16）Cxdxxdx x cot csc sin 1 2 2 （17）Cxdxxx sectansec （18）Cxdxxx csccotcsc （19）Cxdxx |cos|lntan （20）Cxdxx |sin|lncot （21）Cxxdxx |tansec|lnsec （21）Cxxdxx |cotcsc|lncsc （23）C a a dx a x x ln （24）C e dx e xx 第一类换元积分法：第一类换元积分法： ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )fxx dxfx dx uxf u duFxC 常用凑微分公式：常用凑微分公式： 1 2 dxdx x 2 11 dxd xx 2 2xdxdx xx e dxde 1 lndxdx x sin( cos )xdxdx 第二类换元积分法第二类换元积分法 1 ( ) ( ) ( )( )f x dxftt dtFxC 当被积式中含有根式 22 ax时，利用三角变换式 xasint; 当被积式中含有根式 22 ax时，利用三角变换式 xatant; 当被积式中含有根式 22 xa时，利用三角变换式 xasect. 这三种换元的方法统称为三角代换三角代换 当被积表达式含有根式时，一般令 t 等于该根式进行转化，此方法叫做根式代根式代换换 不定积分的分布积分法不定积分的分布积分法 udvuvvdu 函数 v的选取应当遵循“指三幂对反指三幂对反”的顺序 二重积分：二重积分： X 型型： 12 ( )( ) axb xyx 22 11 ( )( ) ( )( ) ( , )( , )( , ) bxbx axax D f x y dxdyf x y dy dxdxf x y dy Y 型：型： 12 ( )( ) cyd yxy 22 11 ( )( ) ( )( ) ( , )( , )( , ) dydy cycy D f x y dxdyf x y dx dydyf x y dx 极坐标：极坐标： 0 0 k rk ( , )( cos , sin ) DD f x y dxdyf rrrdrd 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程： 可分离变量微分方可分离变量微分方程程：( )( ) dy f xg x dx ： 可分离变量的微分方程的解法： 第一步：分离变量，得( )( )0) ( ) dy f x dxg y g y 其中 第二步：两边积分，得( ) ( ) dy f x dx g y 第三步：求出积分，得( )( )G yF xC（其中( ),( )G y F x分别是 1 ,( ) ( ) f x g y 的原函数， C 为任意常数）的原函数， C 为任意常数） 齐次微分方程：齐次微分方程：( ) dyy f dxx 齐次微分方程的解法： 第一步：令 y u x ，则yux， dydu xu dxdx 第二步：将 dydu xu dxdx 代入微分方程，得( ) du xuf u dx 第三步：分离变量，得 ( ) dudx f uux 第四步：两边积分，得 ( ) dudx f uux 第五步：求出积分并回代 y u x ，得原微分方程的通解. 一阶线性齐次微分方程的通解公式为一阶线性齐次微分方程的通解公式为： ( )P x dx yCe 一阶线性非齐次微分方程的通解公式：一阶线性非齐次微分方程的通解公式： ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC 二阶常系数齐次线性微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程： 特征方程0 2 qpr r 的两个 r1,r2 微分方程0 qypyy的通解 两个不等的实根 12 rr eCeC y x r x r 21 21 两个相等的实根 12 rrr e x CC y x r1 )( 21 一对共轭复根 1,2 i r )sincos( 21 x C x Ce y x 无穷级数：无穷级数： 重要结论： 1 1 1 1 | 1, 11(0) | 1, 1, 1 2(0),1, 1 1, n n p n n a q qaqa q p ppp n p n 级数收敛，其和为 、等比数列（几何级数）， 级数发散 级数收敛 、 级数级数发散 级数称为调和级数 数项级数的性质性质： 比较审敛法：比较审敛法： 比值审敛法：比值审敛法： 幂级数：幂级数： 1 123 1 1 1 1 1 ( 1)=+.(0) ,(1,2,3,.) (2)lim0 ( 1) n nn n nn n n n n n uuuuu uun u uSu 交错级数：形如 莱布尼兹判别法：若交错级数满足莱布尼兹条件： (1) 则级数收敛，其和为 1 lim0 nn n n uu 收敛收敛收敛 收敛发散发散 收敛常数k收敛 收敛，改变有限项收敛 收敛，加括号收敛 收敛，去括号不一定 收敛的必要条件:若级数收敛，则 11 11 11 , (1) (2) nnnn nn nn nn nn nn uvuv vu uv 比较审敛法：设和是两个正项级数，且 若级数收敛，则也收敛(大收小收) 若级数发散，则也发散（小发大发） 1 1 lim, (1)1 (2)1=+ (3)1 n n n n n u u u 设是正项级数，且则 当时，级数收敛 当或时，级数发散 当时，级数可能收敛，也可能发散 0 n n n a x 1 ,0 1 lim,0 0, n n n a R a 1 2, 3 =+ R xR 求幂级数的收敛域的步骤： 、求收敛半径 ，则（-R,R）为收敛区间 、讨论当时 幂级数的敛散性 、综合前面的两步写出幂级数的收敛域 注：收敛域 收敛区间 收敛的端点 向量的数量积向量的数量积： |cosa ba b 1 2121 2 a bx xy yz z 12121 2 222222 111222 cos | x xy yz za b a b xyzxyz 向量的向量积：向量的向量积： | | |sinca b 1111111 11 21 3 111 222222 222 1 22 11 22 11221 ( 1)( 1)( 1) ()()() ijk yzxzxy a bxyzijk yzxzxy xyz y zy z ix zx zjx yx y k 两非零向量平行：两非零向量平行：1、ba 2、0a b 3、 111 222 xyz xyz 两非零向量垂直：两非零向量垂直：1、0a b 2、 12121 2 0x xy yz z 平面的点法式方程：平面的点法式方程：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0 直线的点向式方程：直线的点向式方程： p zz n yy m xx 000 直线与平面的关系：直线与平面的关系： 222222 cossin pnmCBA CpBnAm ns ns 概率的加法公概率的加法公式：式：()( )( )()P ABP AP BP AB ()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 对立事件的概率公式：( )1( )P AP A 两事件独立：()(