习题8解答—概率论与数理统计李长青.pdf

习题习题 8 1. 解解 总体 2 ( ,150 ),XN u原假设 0: 1600H, 1: 1600H. 采用U检验法，选取统计量 0 0 X U n 在 0 H成立时，(0,1)UN, 由已知1637x ,26n ,0.05.查正态分布表得 0.025 1.96u. 该 检验法的拒绝域为1.96u . 将观测值代入检验统计量得 1637 160037 1.2577 29.4215026 u , 显然1.25771.96u , 即统计量的观测值没有落入拒绝域, 从而接受 0 H，即可认为这批产 品指标的期望值为 1600 元. 2. 解解 本题是在未知方差 2 的条件下，检验总体均值=72, 取检验统计量为 0 X T Sn 检验假设可设为 00 :72H, 1: 72H. 在 0 H为真时, 检验统计量 (1)Tt n, 由已知数据计算可得：67.4x ,5.93s , 代入检验统 计量, 得统计量的观测值为 0 67.4724.6 2.45 1.88105.9310 x t s , 又0.05, 查t 分布表得 0.025(9) 2.262t, 由此知 0.025 2.4472.262(9)tt. 故拒绝 0 H，即铅中毒者与正常人的脉搏有显著差异. 3. 解解 这是在总体方差 2 未知的情况下，关于均值的单侧检验. 检验假设为 0: 0.5%H, 1: 0.5%H, 此假设等价于检验假设 0: 0.5%H, 1: 0.5%H. 由于 2 未知，取检验统计量为 0 X T Sn , 在 0 H为真时, (1)Tt n, 该检验法的拒绝域为 0 (1) x tn sn , 统计量的观测值为 0 ()10(0.520.5) 1.709 0.037 x t sn . 又已知0.05, 查t 分布表可得 0.05(9) 1.833t. 显然, 0.05 1.7091.833(9)tt, 所以接受 0 H，即认为水分含量均值不超过 0.5%. 4. 解解 这是在方差相等但未知的情况下检验两正态总体的均值是否相等的问题, 检验假 设为 012 :H, 1 12 :H 由已知 222 12 未知, 因此取检验统计量为 22 2 1 (2) (1)(1) XYmn mn T mn mSnS , 在 0 H为真时, (2)Tt mn,该检验法的拒绝域为 /2( 2)ttmn . 由已知 10mn,30.97x ,21.79y , 2 1 26.7s , 2 2 12.1s . 将其代入检验统计量得 22 2 1 (2)30.9721.7910 10 18 4.66 209 26.79 12.1 (1)(1) xymn mn t mn msns 对于0.01查t 分布表, 得 /20.005 (2)(18)2.878tmnt . 显然 0.005 4.662.878(18)tt, 因此拒绝 0 H，即甲，乙两种作物的产量有显著差异. 5. 解解 (1) 检验灌装是否合格，即检验均值是否为 18，故提出假设， 0: 18H， 1: 18H 由于方差 22 0.4已知，取检验统计量设为 0 0 X U n , 在 0 H为真时,(0,1)UN, 该检验法的拒绝域为 2 uu. 由已知9n , 计算可得18x , 将其代入检验统计量得观测值为 0 0 18 18 0 0.49 x u n , 由0.05查标准正态分布表得 0.025 1.96u, 显然, 0.025 01.96uu. 故接受 0 H， 即该天灌 装合格. （2）检验灌装量精度是否在标准范围内，即检验假设 22 0: 0.4H， 1 22 :0.4H, 此假设等价于 22 0: 0.4H， 1 22 :0.4H. 由于18已知，选取检验统计量为 22 2 1 0 1 (18) n i i X , 在 0 H为真时, 22 ( )n, 该检验法的拒绝域为 22( ) n , 由已知计算可得 22 2 1 0 1 (18)6.625 n i i x , 查表计算 2 分布表可得 2 0.05(10) 18.307,由此知 22 0.05 6.625(10)18.307, 故接受 0 H，即灌装精度是在标准范围内. 6. 解解 这是在均值未知的条件下，对正态总体方差的检验问题, 检验假设可设为 22 00 :H, 22 10 :H, 其中 2 0 1600. 取检验统计量为 2 2 2 (1)nS , 在 0 H为真时, 22 (1)n, 对于给定的显著性水平, 本检验法的拒绝域为 22 12( 1)n 或 22 2( 1)n . 将观测值 2 2500s 代入检验统计量得统计量的观测值为 2 2 2 (1)24 2500 37.5 1600 nS , 对于0.05查 2 -分布表得 22 1/20.975 (1)(24)12.401n , 22 /20.025 (1)(24)39.364n 由于 222 0.9750.025 12.40139.364, 故接受 0 H，即电池的波动性较以往无明显变化. 7. 解解 本题是在均值未知的条件下，检验 2 是否大于 100，是关于 2 的单边检验问题. 取检验假设为 2 0: 100H, 2 1: 100H, 它与下述假设等价 2 0: 100H, 2 1: 100H 这是左边检验问题, 取检验统计量为 2 2 2 0 (1)nS . 在 0 H为真时, 22 (1)n. 该检验法的拒绝域为 22 1 (1)n , 将10n , 2 0 100, 2 120.8s 代入上述统计量, 得 2 2 2 0 (1)9 120.8 10.87 100 nS . 对于显著性水平为 0.01, 查表可得 2 0.99(9) 2.0879, 显然 22 0.99 10.872.0879(9), 从而 接受 0 H, 即可以认为熔化时间的方差大于 100. 本题如果将检验假设设为 2 0: 100H, 2 1: 100H, 亦即进行右边检验, 统计量的选取如上, 则该检验法的拒绝域为 22( 1)n . 对于 0.01查 2- 分布表得 2 0.01(9) 21.666, 显然, 22 0.01 10.8721.666(9), 故接受 0 H， 即熔化时间的方差不大于 100. 注注: 如果选取检验的显著性水平为0.3, 用 MATLAB 计算可得 2 0.3(9) 10.6564, 从 而有 22 0.3 10.8710.6564(9) 从而应拒绝原假设, 即可以认为熔化时间的方差大于 100. 上述结果说明了在观测值接近临界值时, 原假设不同的取法会导致检验结果的不一样, 如果用p值检验法则可避免上述矛盾. 8. 解解 记两正态总体为 2 11 (,)N 和 2 22 (,)N 其中 1 和 2 未知. 检验假设为 22 012 :H； 22 112 :H 取检验统计量为 2 1 2 2 S F S ， 在 0 H为真时(1,1)FF mn. 该检验法的拒绝域为 12( 1,1)FFmn 或 2( 1,1)FFmn . 由已知,0.05,4m ,5n . 计算检验统计量的观测值得 2 1 2 2 15.07 1.39 10.81 S F S , 查 F 分布表可得 /20.025 (1,1)(3,4)9.98FmnF , 120.975 0.025 11 (1,1)(3,4)0.066 (4,3)15.10 FmnF F . 由此知 0.9750.025 (3,4)0.0661.399.98(3,4)FF, 即观测值没有落入拒绝域内, 接受由 0 H, 即可以认为两个样本是来自方差相同的正态总体. 9. 解解 这是非正态总体均值的检验问题, 用X表示第一道工序加工完的产品送到第二 道工序进行加工之前的等待时间, 设其均值为, 依题意, 检验假设可设为 0: 90H, 1: 90H. 由于100n 为大样本, 故用U检验法. 总体标准差未知, 用样本标准差S代替. 取检 验统计量为 90 / 100 X U S , 在 0 H为真时, 近似地有(0,1)UN. 该检验法的拒绝域为uu.由已知,96,x 30,s 100n , 对于0.05,查标准正态分布表得 0.05 1.645uu . 计算统计量的观测值 得 909690 2 / 10030100 x u s , 显然, 0.05 21.645uu, 所以拒绝 0 H, 即可以认为平均等待时间超过 90 分钟, 即支持该管 理员的看法. 10. 解解 初中生每周看电视的时间不服从正态分布, 这是非正态总体均值的假设检验问 题, 检验假设可设为 0: 8H, 1: 8H. 由于100n 较大, 故可取检验统计量为 X U Sn , 在 0 H为真时, 近似地有(0,1)UN. 本检验法的拒绝域为uu . 由已知,0.05, 6.5x ,2s , 查标准正态分布表可得 0.05 1.645uu . 将观测值代入检验统计量得统计量 的观测值为 6.58 7.5 2100 u , 显然,7.51.645uu , 即统计量的观测值落入拒绝域 内, 所以拒绝 0 H, 即可以认为初中生平均每周看电视的时间少于8小时, 这位校长的看法是 对的. 11. 解解( )XE， 1 ()E X ， 2 1 ()D X ，由中心极限定理知, 故当n充分大时，近似 地有 1 (1)(0,1). 1 X UXnN n 由题意知, 0 0.001, 检验假设可设为 00 :H, 10 :H, 取检验统计量为 0 0 0 1 (1) 1 X UXn n , 当原假设为真时, 近似地有(0,1)UN, 本检验法的拒绝域为 2 uu, 由已知,100n , 950x ,0.05, 查标准正态分布表知, 20.025 1.96uu . 将观测值代入检验统计量得 (0.001 950 1)1000.5u . 比较知 0.025 0.51.96uu, 从而接受 0 H, 即可以认为参数0.001(即元件平均合适使用 寿命为 1000 小时). 12. 解解 设执行环保保护条例的厂家所占的比率为p, 则需检验假设 0: 0.6Hp , 1: 0.6Hp . 上述假设等价于 0: 0.6Hp , 1: 0.6Hp . 引入随机变量 1, 0 X 抽查的厂家执行环保条例， 抽查的厂家未执行环保条例， 由定义知 (1, )Xbp,EXp,(1)DXpp. 由中心极限定理知, 在 0 H为真时, 统计量 0 00 0.6 (0,1) (1)/0.6(1 0.6)/60 XpX UN ppn 近似地 . 对于显著性水平0.05, 查标准正态分布表知 0.05 1.645uu , 由此可知 0.6 1.6450.05 0.6(1 0.6) 60 X P . 以U作为检验统计量, 本检验法的拒绝域为 0.05 1.645uu . 将33/ 600.55,x 代入上述检验统计量, 得 0.60.550.6 0.791 0.6(1 0.6) 600.6(1 0.6) 60 x u , 比较知, 0.05 0.7911.645uu , 故接受 0, H即认为执行环保条例的厂家不低于 60%. 13. 解解 这是检验两个比率是否相等的问题，待检假设为 012 :Hpp， 112 :Hpp. 取检验统计量 12 (1)(1/1/) pp U ppnm , 其中 1212 1 () nm pXXX