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2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 1 页（共 15 页） 绝密启用前绝密启用前 试题类型：新课标试题类型：新课标 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案理科数学参考答案 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上. 写 在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1已知集合|10Ax x ， 0, 1, 2B ，则AB ( ) A 0 B 1 C1, 2 D0, 1, 2 【答案】C 【解析】:1A x ，1, 2AB 【考点】交集 21 2ii( ) A3i B 3i C3i D3i 【答案】D 【解析】 2 1223iiiii 【考点】复数的运算 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯 眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬 合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 2 页（共 15 页） 【答案】A 【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到 小长方体的一个面，而 B 答案能看见小长方体的上面和左面，C 答案至少能看见小长方体 的左面和前面，D 答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失 【考点】三视图 4.若 1 sin 3 ，则cos2( ) A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 【答案】B 【解析】 2 7 cos212sin 9 【考点】余弦的二倍角公式 5. 5 2 2 x x 的展开式中 4 x的系数为( ) A10 B20 C40 D80 【答案】C 【解析】 5 2 2 x x 的第1r 项为： 5 210 3 55 2 2 r r rrrr CxCx x ，故令2r ，则 10 34 52 40 rrr Cxx 【考点】二项式定理 俯 视 方 向 D. C. B. A. 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 3 页（共 15 页） 6直线 20xy 分别与x轴、y轴交于点 ,AB两点，点P在圆 2 2 22xy上， 则ABP面积的取值范围是( ) A2, 6 B 4, 8 C2, 3 2 D2 2, 3 2 【答案】A 【解析】2, 0 ,0,2AB，2 2AB，可设 22cos ,2sinP ，则 42sin 4 2 22sin2, 3 2 4 2 P AB d 1 22, 6 2 ABPP ABP AB SAB dd 注： P AB d 的范围也可以这样求：设圆心为O，则2, 0O，故 2,2 P ABO ABO AB ddd ，而 4 2 2 2 O AB d ， 2, 3 2 P AB d 【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数) 7 42 2yxx 的图像大致为( ) 【答案】D x xx x y yy y D.C. B.A. O O 1 1 O O 1 1 1 1 1 1 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 4 页（共 15 页） 【解析】 12f，排除 A、B； 32 42212yxxxx ，故函数在 2 0, 2 单增， 排除 C 【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考 虑) 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为 该群体的 10 为成员中使用移动支付的人数，2.4DX ，46P XP X，则p ( ) A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 【答案】B 【解析】由题意得X服从二项分布，即 10,Xp，由二项分布性质可得 1012.4DXpp，故 0.4p 或0.6， 而 64 4466 1010 4161P xC ppP xC pp 即 2 2 1pp，故 0.5p 0.6p 【考点】二项分布及其方差公式 9.ABC的内角,ABC的对边分别为,abc，若ABC的面积为 222 4 abc ，则C ( ) A 2 B 3 C 4 D 6 【答案】C 【解析】 222 1 sin 24 ABC abc SabC ，而 222 cos 2 abc C ab 故 12cos1 sincos 242 abC abCabC， 4 C 【考点】三角形面积公式、余弦定理 10.设 ,ABCD是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥DABC的体积最大值为( ) A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 5 页（共 15 页） 【答案】B 【解析】如图，O为球心，F为等边ABC的重心， 易知OF 底面ABC，当 ,D OF三点共线， 即DF 底面ABC时，三棱锥DABC的高最大，体积也 最大. 此时： 6 9 3 ABC ABC AB S 等边 ， 在等边ABC中， 23 2 3 33 BFBEAB ， 在Rt OFB中，易知2OF ，6DF，故max 1 9 3618 3 3 D ABC V 【考点】外接球、椎体体积最值 11.设 12 ,FF是双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左，右焦点，O是坐标原点，过 2 F作 C的一条渐近线的垂线，垂足为P. 若 1 6PFOP，则C的离心率为( ) A5 B2 C3 D2 【答案】C 【解析】渐近线OP的方程为： b yx a ， 利用点到直线的距离公式可求得 2 PFb， (此结论可作为二级结论来记忆)， 在Rt ABC中，易得OPa， 1 6PFa， 在 1 POF中，由余弦定理可得： 222 1 6 cos 2 aca POF ac ，又 2 cos a POF c 222 6 0 2 acaa acc ，故3 c e a 【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形 O F E CB A D 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 6 页（共 15 页） 12. 设 0.2 log0.3a ， 2 log 0.3b ，则( ) A0abab B 0abab C0abab D0abab 【答案】B 【解析】首先由 0.2 logyx单调递减可知 0.20.20.2 0log1log0.3log0.21a，同理可 知21b ， 0,0abab ，排除 C、D 其次：利用作商法： 0.30.30.3 11 log0.2log2log0.41 ab abab (注意到0ab ) abab 【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知向量1, 2a ，2,2b ，1,c . 若/ 2c ab ，则 _. 【答案】 1 2 【解析】24, 2ab ，故24 【考点】向量平行的坐标运算 14. 曲线1 x yaxe在点0, 1处的切线斜率为2，则 _.a 【答案】3 【解析】1 xx yaeaxe，12ka 【考点】切线斜率的计算方法 15.函数 cos 3 6 f xx 在0,的零点个数为_. 【答案】3 【解析】0,x，3, 3 666 tx ，由 cosyt 图像可知，当 35 , 222 t 时cos0t ，即 f x有三个零点 或者：令3 62 xk ，则 93 k x ，当 0, 1, 2k 时，0,x，故 3 个零点 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 7 页（共 15 页） 【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质 16. 已知点1, 1M 和抛物线 2 :4C yx，过C的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于 ,AB两点，若 90AMB ，则 _.k 【答案】2 【解析】 (1) 常规解法：设直线方程为 1xmy，联立 2 1 4 xmy yx 可求 12 12 4 4 yym y y ，由 12121212 110MB MAy yyyx xxx ，可得 1 2 m ，故2k (2) 二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切 设AB中点为N，则由二级结论可知NM准线，1 NM yy，故22 ABN yyy， 由点差法可得， 4 2 AB k yy 进一步可得二级结论： ABM kyp 【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法) 三三.解答题：共解答题：共 70 分分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第第 1721 题为必考 题，每个试题考生必须作答 题为必考 题，每个试题考生必须作答. 第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. (一一)必考题：共必考题：共 60 分分. 17. (12 分) 等比数列 n a中， 153 1,4aaa. (1)求 n a的通项公式； (2)记 n S为 n a的前n项和. 若63 m S ，求m. 【答案】(1) 1 2n n a 或 1 2 n n a ；(2)6m 【解析】(1) 2 533 4aaa q，2q ， 1 2n n a 或 1 2 n n a (2) 当 2q 时， 1 12 63 1 m m S ，解得6m 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 8 页（共 15 页） 当 2q 时， 1 12 63 3 m m S ，得2188 m 无解 综上：6m 【考点】等比数列通项公式与前n项和公式 18. (12 分) 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生 产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的 工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图： 第一种生产方式 第二种生产方式 8655689 9 7 6270122345 6 6 8 9 8 7 7 65 4 3 3281445 2 1 1 0090 (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过 m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ， 2 P Kk 0.0500.010 0.001 k 3.8416.635 10.828 【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有； 【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在 70min80min 之间，而第一组数据集中在 80min90min 之间，故可估计第二组的数据平均 值要小于第一组数据平均值，事实上 1 6872767779828383848586878788899090919192 84 20 E 同理 2 74.7E ， 21 EE，故第二组生产方式效率更高 (2)由茎叶图可知，中位数 7981 80 2 m ，且列联表为： 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 9 页（共 15 页） 超过m 不超过m 第一种生产方式15 5 第二种生产方式5 15 (3)由(2)可知 2 22 2 40 155 106.635 20202020 K ， 故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验 19(12 分) 如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 CD所在的平面垂直，M是CD 上异于 ,CD的点 (1)证明：平面AMD 平面BMC； (2)当三棱锥MABC体积的最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 2 5 5 【解析】(1) ABCDCDM BCDCMBCDM DMBMCADNBMCBCCD MCDM (这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容) (2) ABC S恒定，故要使 MABC V 最大，则 MABC d 最大，结合图象可知M为弧 CD中点时， MABC V 最大. 此时 取CD的中点O，则MODC，故MO 面ABCD，故可建立如图所示空间直角坐标系 则：0, 0, 1M，2,1, 0A，2, 1, 0B，0, 1, 0C，0,1, 0D M B C D A 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 10 页（共 15 页） 0, 2, 0 ,2,1,1ABMA ，平面MAB的法向量为 1 1, 0, 2n ，易知平面 MCD的法向量为 2 1, 0, 0n ，故 12 15 cos, 5 5 nn ， 面MAB与面MCD所成二面角的正弦值为 2 5 5 【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法 20. (12 分) 已知斜率为k的直线l与椭圆 22 :1 43 xy C交于 ,AB两点，线段AB的中点为 1,0Mmm . (1)证明： 1 2 k ； (2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且 0FPFAFB . 证明, ,FAFPFB 成 等差数列，并求该数列的公差. 【答案】(1)见解析；(2) 3 21 28 d 【解析】(1) 点差法：设 1122 ,A xyB xy，则 22 11 22 22 1 43 1 43 xy xy 相减化简可得： 1212 1212 3 4 yyyy xxxx ， 3 4 OMAB kk (此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接 用)， 3 4 m k ，易知中点M在椭圆内， 2 1 1 43 m ，代入可得 1 2 k 或 1 2 k ，又 0m ，0k，综上 1 2 k O z y x M B C D A 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 11 页（共 15 页） 联立法：设直线方程为y kxn ，且 1122 ,A xyB xy，联立 22 1 43 xy ykxn 可得， 222 4384120kxknxn ，则 12 2 2 12 2 8 43 412 43 kn xx k n x x k ， 1212 2 6 2 43 n yyk xxn k 2 2 4 1 43 3 43 M M kn x k n ym k ，两式相除可得 3 4 m k ，后续过程和点差法一样(如果用算的话比 较麻烦) (2) 0FPFAFB ， 20FPFM ，即1,2Pm， 2 14 1 43 m ， 3 0 4 mm 7 1, 4 knmk ， 由(1)得联立后方程为 2 1 7140 4 xx， 1,2 3 21 1 14 x ， 22 1212 23 cacac FAFBxxaxx acaca (此处用了椭圆的第二定义，否 则需要硬算，计算量太大) 而 3 2 FP 2FAFBFP 故,FAFPFB 成等差数列. 22 1212 3 21 2 14 cacac dFAFBxxxx acaca 3 21 28 d 【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 12 页（共 15 页） 21. (12 分) 已知函数 2 2ln 12f xxaxxx. (1)若0a ，证明：当1 0x 时， 0f x ；当0x ， 0f x ； (2)若0x 是 f x的极大值点，求a. 【答案】(1)见解析；(2) 1 6 a 【解析】(1)常规方法：当0a 时， 2ln 121f xxxx x ， 1 ln 11 1 fxx x 2 1 x fx x ，当10x 时， 0fx ；当0x 时， 0fx fx在1, 0上单调递减，在0, 上单调递增，而 00f， 0fx 恒成立， f x单调递增，又 00f 当10x 时， 0f x ；当0x ， 0f x 改进方法：若0a ，则 2 2ln122ln1 2 x f xxxxxx x 令 2 ln1 2 x g xx x ，则 2 22 14 0 1 212 x gx x xxx 所以 g x在0,单增，又因为 00g 故当10x 时， 00g xg，即 0f x ； 当0x 时， 00g xg，即 0f x ； 方法对比：若直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出2x 之 后对数单独存在，一次求导就可消掉对数 (2) 方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数y f x在 0 xx处各阶导数都存在且 连续， 0 xx是函数的极大值点的一个充要条件为前21n阶导数等于 0，第2n阶导数小 于 0 2 2ln 12f xxaxxx 2018 年全国卷 3 理科数学试题及其参考答案 第 13 页（共 15 页） 2 1 21 ln11 1 ax fxaxx x ， 00f 2 2 34 2 ln1 1 axaxx fxax x ， 00f 2 3 2661 1 axaxxa fx x 0x 是 f x的极大值点， 0610fa ， 1 6 a ， 下证：当 1 6 a 时，0x 是 f x的极大值点， 3 1 6 3 1 x x fx x ，所以 fx在1,0单增，在0,单减 进而有 00fxf，从而 fx在1, 单减， 当1,0x 时， 00fxf，当0,x时， 00fxf 从而 f x在1,0单增，在0,单减，所以0x 是 f x的极大值点. 方法二：0x 是 f x的极大值点，所以存在0，使得在, 00,， 00f xf，即 2 2ln 120xaxxx 当0,x时，ln 10x，故 22 2 2 ln 122 ln1 ln1 x x xxxx a xxx ， 当, 0x 时，ln 10x，故 2 22 ln1 ln1 xxx a xx 即 22 00 00 22 ln11 ln1 limlim ln121 ln1 1 ln11 1 limlim 42642 ln14 4ln14 1 xx xx xxxxxx a xxx xxx x x xxxx x x (洛必达法则，极限思想) 【考点】导数的应用 (二二)选考题：共选考题：共 10 分，请考生在分，请