2018版高考数学复习压轴题命题区间三三角函数与平面向量.docx

压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量三角函数的图象与性质典例已知函数f(x)2sin2cos 2x，x(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式2f(x)m2在x上恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)2sin2cos 2xcos 2x1sin 2xcos 2x12sin，因为x，所以2x，故212sin3，所以f(x)maxf3，f(x)minf2(2)因为2f(x)m2f(x)2mf(x)2，x，所以mf(x)max2且mf(x)min2又x时，f(x)max3，f(x)min2，所以1m4，即m的取值范围是(1,4)方法点拨本题求解的关键在于将三角函数f(x)进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f(x)的最值对点演练已知函数f(x)Asin(A0，0)，g(x)tan x，它们的最小正周期之积为22，f(x)的最大值为2g(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)f2(x)2cos2x，当x时，h(x)的最小值为3，求a的值解：(1)由题意得22，所以1又A2g2tan2tan2，所以f(x)2sin由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)故f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)h(x)f2(x)2cos2x4sin22cos2x3(cos 2x1)33sin 2xcos 2x32sin因为h(x)的最小值为3，令32sin3sin因为x，所以2x，所以2a，即a三角函数和解三角形典例已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边，且(1)求A的大小；(2)当a时，求b2c2的取值范围解(1)已知在ABC中，由正弦定理，得，即2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B，所以cos A，所以A60(2)由正弦定理，得2，则b2sin B，c2sin C，所以b2c24sin2B4sin2C2(1cos 2B1cos 2C)22cos 2Bcos 2(120B)22cos 2Bcos(2402B)242sin(2B30)因为0B120，所以302B30210，所以sin(2B30)1，所以3b2c26即b2c2的取值范围是(3,6 方法点拨三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键对点演练已知函数f(x)2cos2xsin(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若f(A)，bc2，求实数a的最小值解：(1)f(x)2cos2xsin(1cos 2x)1sin 2xcos 2x1sin函数f(x)的最大值为2要使f(x)取最大值，则sin1，2x2k，kZ，解得xk，kZ故f(x)取最大值时x的取值集合为(2)由题意知，f(A)sin1，化简得sinA(0，)，2A，2A，A在ABC中，根据余弦定理，得a2b2c22bccos(bc)23bc由bc2，知bc21，当且仅当bc1时等号成立即a21当bc1时，实数a的最小值为1平面向量典例若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A1B1C D2解析法一：(目标不等式法)因为|a|b|c|1，ab0，所以|ab|2a2b22ab2，故|ab|展开(ac)(bc)0，得ab(ab)cc20，即0(ab)c10，整理，得(ab)c1而|abc|2(ab)22(ab)cc232(ab)c，所以32(ab)c3211所以|abc|21，即|abc|1，故|abc|的最大值为1法二：(基向量法)取向量a，b作为平面向量的一组基底，设cmanb由|c|1，即|manb|1，可得(ma)2(nb)22mnab1，由题意，知|a|b|1，ab0整理，得m2n21而ac(1m)anb，bcma(1n)b，故由(ac)(bc)0，得(1m)anbma(1n)b0，展开，得m(m1)a2n(n1)b20，即m2mn2n0，又m2n21，故mn1而abc(1m)a(1n)b，故|abc|2(1m)a(1n)b2(1m)2a22(1m)(1n)ab(1n)2b2(1m)2(1n)2m2n22(mn)232(mn)又mn1，所以32(mn)1故|abc|21，即|abc|1故|abc|的最大值为1法三：(坐标法)因为|a|b|1，ab0，所以a，b设a，b，c，因为ab，所以OAOB分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则a(1,0)，b(0,1)，则A(1,0)，B(0,1)设C(x，y)，则c(x，y)，且x2y21则ac(1x，y)，bc(x,1y)，故由(ac)(bc)0，得(1x)(x)(y)(1y)0，整理，得1xy0，即xy1而abc(1x,1y)，则|abc|因为xy1，所以32(xy)1，即|abc|1所以|abc|的最大值为1法四：(三角函数法)因为|a|b|1，ab0，所以a，b设a，b，c，因为ab，所以OAOB分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则a(1,0)，b(0,1)，A(1,0)，B(0,1)因为|c|1，设COA，所以C点的坐标为(cos ，sin )则ac(1cos ，sin )，bc(cos ，1sin )，故由(ac)(bc)0，得(1cos )(cos )(sin )(1sin )0，整理，得sin cos 1而abc(1cos ，1sin )，则|abc|因为sin cos 1，所以32(sin cos )1，即|abc|1，所以|abc|的最大值为1法五：(数形结合法)设a，b，c，因为|a|b|c|1，所以点A，B，C在以O为圆心、1为半径的圆上易知ac，bc，|c| |由(ac)(bc)0，可得0，则BCA(因为A，B，C在以O为圆心的圆上，所以A，B，C三点不能共线，即BCA)，故点C在劣弧AB上由ab0，得OAOB，设ab，如图(2)所示，因为abc，所以|abc|，即|abc|为点D与劣弧AB上一点C的距离，显然，当点C与A或B点重合时，CD最长且为1，即|abc|的最大值为1答案B方法点拨平面向量具有双重性，处理平面向量问题一般可以从两个角度进行：(1)利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；(2)利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决对点演练1在ABD中，AB2，AD2，E，C分别在线段AD，BD上，且AEAD，BCBD，则BAD的大小为()A BC D解析：选D依题意，()，所以|2|222(2)2，所以4，所以cosBAD，因为0BAD，所以BAD2在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_解析：法一：(等价转化思想)因为，所以()22421cos 1202 ，当且仅当，即时，的最小值为法二：(坐标法)以线段AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B(1,0)，C，D，所以，所以2 ，当且仅当，即时，的最小值为答案：1(2017宜春中学与新余一中联考)已知等腰OAB中，|OA|OB|2，且|，那么的取值范围是()A2,4)B(2,4)C(4,2) D(4,2解析：选A依题意，()2()2，化简得2，又根据三角形中，两边之差小于第三边，可得|，两边平方可得(|)2()2，化简可得4，242(2017江西赣南五校二模)ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2且|，则向量在方向上的投影为()A BC D解析：选A由2可知O是BC的中点，即BC为ABC外接圆的直径，所以|，由题意知|1，故OAB为等边三角形，所以ABC60所以向量在方向上的投影为|cosABC1cos 60故选A3(2017石家庄质检)设，0，且满足sin cos cos sin 1，则sin(2)sin(2)的取值范围为()A，1 B1，C1,1 D1，解析：选Csin cos cos sin 1，即sin()1，0，又则，sin(2)sin (2)sinsin(2)cos sin sin，1sin1，即所求取值范围为1,1故选C4(2016湖南岳阳一中4月月考)设a，b为单位向量，若向量c满足|c(ab)|ab|，则|c|的最大值是()A1 BC2 D2解析：选D向量c满足|c(ab)|ab|，|c(ab)|ab|c|ab|，|c|ab|ab|2当且仅当|ab|ab|，即ab时，(|ab|ab|)max2|c|2|c|的最大值为25(2016天津高考)已知函数f(x)sin2sin x(0)，xR若f(x)在区间(，2)内没有零点，则的取值范围是()A BC D解析：选Df(x)sin x(sin xcos x)sin因为函数f(x)在区间(，2)内没有零点，所以2，即，所以01当x(，2)时，x，若函数f(x)在区间(，2)内有零点，则k2(kZ)，即k(kZ)当k0时，；当k1时，所以函数f(x)在区间(，2)内没有零点时，0或6(2016全国乙卷)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A11 B9C7 D5解析：选B由题意得则2k1，kZ，或若11，则，此时f(x)sin，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；若9，则，此时f(x)sin，满足f(x)在区间上单调递减，故选B7(2016贵州适应性考试)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a2c2acb2，b，且ac，则2ac的最小值是_解析：由a2c2b22accos Bac，所以cos B，则B60，又ac，则AC120A，所以60A120，2，则2ac4sin A2sin C4sin A2sin(120A)2sin(A30)，当A60时，2ac取得最小值答案：8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos Bbcos Ac，当tan(AB)取最大值时，角B的值为_解析：由acos Bbcos Ac及正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos Asin Csin(AB)(sin Acos Bcos Asin B)，整理得sin Acos B3cos Asin B，即tan A3tan B，易得tan A0，tan B0，tan(AB)，当且仅当3tan B，即tan B时，tan(AB)取得最大值，此时B答案：9(2016浙江高考)已知向量a，b，|a|1，|b|2若对任意单位向量e，均有|ae|be|，则ab的最大值是_解析：由于e是任意单位向量，可设e，则|ae|be|ab|ae|be|，|ab|，(ab)26，|a|2|b|22ab6|a|1，|b|2，142ab6，ab，ab的最大值为答案：10(2017湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f(x)sin xcos x(xR)(1)若0，且f()2，求；(2)先将yf(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动(0)个单位长度，得到的图象关于直线x对称，求的最小值解：(1)f(x)sin xcos x22sin由f()2，得sin，即2k或2k，kZ于是2k或2k，kZ又0，故(2)将yf(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y2sin的图象，再将y2sin图象上所有点的横坐标向右平行移动个单位长度，得到y2sin的图象由于ysin x的图象关于直线xk(kZ)对称，令2x2k，解得x，kZ由于y2sin的图象关于直线x对称，令，解得，kZ由0可得，当k1时，取得最小值11在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C(1)求角A；(2)若a2，求bc的取值范围解：(1)由正弦定理及sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，知a2b2c2bc，所以cos A又0A，所以A(2)由(1)知A，所以BC，所以BC因为a2，所以，所以b4sin B，c4sin C，所以bc4sin B4sin C4sin4sin C2(cos Csin C)4sin因为ABC是锐角三角形，所以0BC，所以C，所以C，所以sin1，所以64sin4故bc的取值范围为(6,412在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos B2cb(1)若cos(AC)，求cos C的值；(2)若b5，5，求ABC的面积；(3)若O是ABC外接圆的圆心，且m，求m的值解：(1)由2acos B2cb