2018-19学年高中数学第二章数列习题课（一）求数列的通项公式学案苏教版.docx

习题课(一)求数列的通项公式学习目标1.了解通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式的常见方法.2.掌握利用递推公式求通项公式的常见方法.3.掌握利用前n项和Sn与an的关系求通项公式的方法知识点一通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式思考你能看出数列(1)：1,1，1,1与数列(2): 0,2,0,2的联系吗？由此写出数列(2)的一个通项公式答案数列(1)每项加1得到数列(2)数列(1)的通项公式是an(1)n，故数列(2)的通项公式是an(1)n1.梳理通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找an与n，an与an1的联系知识点二利用递推公式求通项公式思考还记得我们是如何用递推公式an1and求出等差数列的通项公式的吗？答案累加法梳理已知递推公式求通项公式的主要思路，就是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我们熟悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待定系数法、换元、迭代等知识点三利用前n项和Sn与an的关系求通项公式思考如何用数列an的前n项和Sn表示an ?答案an梳理当已知Sn或已知Sn与an的关系式，可以借助上式求出通项公式，或者得到递推公式，再由递推公式求得通项公式在应用上式时，不要忘记对n讨论1数列可由其前四项完全确定()2可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n任意赋值()3Sn也是一个数列()类型一通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式例1由数列的前几项，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,3,5,3,5，；(2)，；(3)2，；(4)，.考点数列的通项公式题点根据数列的前几项写出通项公式解(1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为an4(1)n.(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an.(3)数列可化为11,2，3，4，5，所以它的一个通项公式为ann.(4)数列可化为，所以它的一个通项公式为an.反思与感悟这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系跟踪训练1由数列的前几项，写出数列的一个通项公式：(1)1，7,13，19,25，(2)，(3)1，考点数列的通项公式题点根据数列的前几项写出通项公式解(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(6n5)(2)数列化为，分子、分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为an.(3)数列化为，所以数列的一个通项公式为an(1)n1.类型二利用递推公式求通项公式命题角度1累加、累乘例2(1)数列an满足a11，对任意的nN*都有an1a1ann，求通项公式；(2)已知数列an满足a1，an1an，求an.考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列解(1)an1ann1，an1ann1，即a2a12，a3a23，anan1n，等式两边同时相加得ana1234n(n2)，即ana1234n1234n(n2)，a11也符合上式an.(2)由条件知，分别令n1,2,3，n1，代入上式得(n1)个等式累乘之，即(n2)，(n2)，又a1，an(n2)，a1也符合上式an.反思与感悟型如an1anf(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：第一步将递推公式写成an1anf(n)第二步依次写出anan1，a2a1，并将它们累加起来第三步得到ana1的值，解出an.第四步检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式累乘法类似跟踪训练2(1)已知在数列an中，a11，an12nan(nN*)，则数列an的通项公式为_考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案(nN*)解析由an12nan，得2n，即2122232n1，即2123(n1)(经验证a11也符合)(nN*)(2)在数列an中，a11，anan1n1 (n2,3,4，)，求an的通项公式考点递推数列通项公式求法题点an1panf(n)型解当n1时，a11，当n2时，这n1个等式累加得，ana112(n1)，故ana1且a11也满足该式，an(nN*)命题角度2构造等差(比)数列例3已知在数列an中，a11，an12an3，求an.考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列解递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，则t3.故递推公式为an132(an3)令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以4为首项，2为公比的等比数列所以bn42n12n1，即an2n13.反思与感悟型如an1panq(其中p，q为常数，且pq(p1)0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步假设将递推公式改写为an1tp(ant)第二步由待定系数法，解得t.第三步写出数列的通项公式第四步写出数列an通项公式跟踪训练3已知数列an满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式考点递推数列通项公式求法题点an1panf(n)型解设an1x5n12(anx5n)，将an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去2an，得35nx5n12x5n，两边除以5n，得35x2x，则x1，代入式得an15n12(an5n)由a1516510及式得an5n0，则2，则数列an5n是以1为首项，2为公比的等比数列，则an5n2n1，故an2n15n(nN*)类型三利用前n项和Sn与an的关系求通项公式例4已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4，nN*，则an_.考点an与Sn关系题点由Sn与an递推式求通项答案2n1解析因为Sn2an4，所以Sn12an14(n2)，两式相减可得SnSn12an2an1，即an2an2an1，整理得an2an1，即2，因为S1a12a14，即a14，所以数列an是首项为4，公比为2的等比数列，则an42n12n1.反思与感悟已知Snf(an)或Snf(n)解题步骤：第一步利用Sn满足条件p，写出当n2时，Sn1的表达式第二步利用anSnSn1(n2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式第三步若求出n2时的an的通项公式，则根据a1S1求出a1，并代入an的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式如果求出的是an的递推公式，则问题化归为类型二跟踪训练4在数列an中，a11，a12a23a3nanan1(nN*)，求数列an的通项an.考点an与Sn关系题点由Sn与an递推式求通项解(1)由a12a23a3nanan1，得当n2时，a12a23a3(n1)an1an，两式作差得nanan1an，得(n1)an13nan(n2)，即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列，且a11，a21，于是2a22，故当n2时，nan23n2.于是an1已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.考点等比数列的通项公式题点已知数列为等比数列求通项公式答案2n解析an单调递增，q0，又aa100，an0，q1，由条件得25，即25，q2或q(舍)，由aa10得(a1q4)2a1q9，a1q2，故an2n.2设数列an的前n项和为Sn，若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.考点an与Sn关系题点由Sn与an递推式求通项答案1121解析a1a24，a22a11，解得a11，a23，再由an12Sn1，即an2Sn11(n2)，得an1an2an，即an13an(n2)，又a23a1，所以an13an(n1)，S5121.3如果数列an的前n项和Sn2an1，则此数列的通项公式an_.考点an与Sn关系题点由Sn与an递推式求通项答案2n1解析当n1时，S12a11，a12a11，a11.当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)，an2an1，an是首项为1，公比为2的等比数列，an2n1，nN*.4已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.证明an是等比数列，并求其通项公式考点an与Sn关系题点由Sn与an递推式求通项解由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.所以an是首项为，公比为的等比数列，所以ann1.1不论哪种类型求通项公式，都是以等差数列、等比数列为基础2利用数列前若干项归纳通项公式，对无穷数列来说只能算是一种猜想，是否对所有项都适用还需论证3待定系数法求通项，其本质是猜想所给递推公式可以变形为某种等差数列或等比数列，只是其系数还不知道，一旦求出系数，即意味着猜想成立，从而可以借助等差数列或等比数列求得通项4使用递推公式或前n项和求通项时，要注意n的取值范围一、填空题1已知在数列an中，a12，an1an2n(nN*)，则a100的值是_考点递推数列通项公式求法题点an1panf(n)型答案9902解析a100(a100a99)(a99a98)(a2a1)a12(999821)2229 902.2已知在数列an中，a11，an1，则这个数列的第n项为_考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案解析an1，2.为等差数列，公差为2，首项1.1(n1)22n1，an.3在数列an中，a12，an1anln，则an_.考点递推数列通项公式求法题点an1panf(n)型答案2lnn解析由an1anln得an1anlnln ，(a2a1)(a3a2)(anan1)ln ln ln lnln n，即ana1ln n，anln n2(经验证a12也符合)4已知数列an的首项为a11，且满足an1an，则此数列的通项公式an_.考点递推数列通项公式求法题点an1panf(n)型答案解析an1an，2n1an12nan2，即2n1an12nan2.又21a12，数列2nan是以2为首项，2为公差的等差数列，2nan2(n1)22n，an.5数列an满足a1，a2a1，a3a2，anan1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an_.考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案2n1解析由题意，得anan12n1，a1(a2a1)(a3a2)(anan1)121222n12n1，即an2n1.6一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)：第1行1第2行23第3行4567则第8行中的第5个数是_考点数列的通项公式题点根据数列的前几项写出通项公式答案132解析前7行中共有122226271127个数，则第8行中的第5个数是1275132.7若数列an的前n项和为Sn，a12，且对于任意大于1的整数n，点(，)在直线xy0上，则数列an的通项公式为_考点an与Sn关系题点由Sn与an递推式求通项答案an4n2解析由题意得，nN*，n2，是首项为，公差为的等差数列n，Sn2n2，anSnSn12n22(n1)24n2，nN*，n2，a12也适合上式an4n2，nN*.8在数列an中，a13，an12an0，数列bn的通项满足关系式anbn(1)n(nN*)，则bn_.考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案解析易知an是首项为3，公比为2的等比数列，an32n1，bn.9在数列an中，a11，an1an，则数列an的通项公式an_.考点递推数列通项公式求法题点累乘法求通项答案n解析ana1n(经验证a11也符合)10已知数列an满足an13an2，且a11，则an_.考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案23n11解析设an1A3(anA)，化简得an13an2A.又an13an2，2A2，即A1.an113(an1)，即3.数列an1是等比数列，首项为a112，公比为3.则an123n1，即an23n11.11若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.考点an与Sn关系题点由Sn与an递推式求通项答案(2)n1解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，即an2an1，又an0，故2，故an(2)n1.二、解答题12已知Sn4an，求an与Sn.考点an与Sn关系题点由Sn与an递推式求通项解Sn4an，Sn14an1，当n2时，SnSn1anan1an.anan1n1.2，2nan2n1an12，2nan是等差数列，d2，首项为2a1.a1S14a12a1，a11，2nan22(n1)2n.annn1，Sn4an4n4.13设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解(1)当n1时，T12S11，T1S1a1，所以a12a11，求得a11.(2)当n2时，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1，Sn2Sn12n1，Sn12Sn2n1，得an12an2，an122(an2)，求得a123，a226，an20.2(n2)又2，也满足上式，an2是以3为首项，2为公比的等比数列an232n1，an32n12，nN*.三、探究与拓展14若在数列an中，a13且an1a(n是正整数)，则它的通项公式an为_考点递推数列通项公式求法题点其他递推数列问题答案an解析由题意知an0且an1，将an1a两边取对数得lg an12lg an，且lg an0，即2，所以数列lg an是以lg a1lg 3为首项，2为公比的等比数列，