参赛论文.docx

第三届基础课部数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了兰州交通大学博文学院基础课部数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。参赛队员 (打印并签名) ：序号姓 名(打印)所在系签 名(手写)1董 坤土木工程系2张 多土木工程系3王 杰土木工程系 日期2016年 4 月 17日评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：第三届基础课部大学生数学建模竞赛评 阅 专 用 页评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：评阅记录（供竞赛组委会评阅时使用）：评阅人评分备注评阅结果：获奖等级：题目：影院座位设计问题摘要本文研究的是如何选择一个好的位置看电影。座位的满意程度取决于视角和仰角，视角是观众眼睛到屏幕上.下边缘的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰而引起不适感，一般要求不超过30而对于本题中的问题一.问题二.问题三，则需要具体情况，分侧重点考虑视角仰角的影响，我们建立了满意程度的数学模型，并进行优化求解。关键词：最佳位置 平均满意度 地板线设计现状一.问题的重述影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角和仰角。视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过。设影院屏幕高h, 上边缘距地面高H，地板线倾角，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D, 观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。已知参数 h=1.8， H=5，d=4.5 ，D=19，c=1.1（单位：m）。(如图所示)(1) 地板线倾角，问最佳座位在什么地方。(2) 求地板线倾角（一般不超过），使所有观众的平均满意程度最大。(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。问题分析座位的满意程度主要取决于视角和仰角。视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。最佳位置的选择，建立坐标系，通过函数关系式可导出. 三者之间的关系,又已知角度,可求得改点的相应位置。观众的满意满意程度主要取决于值的范围。二模型的假设与符号说明模型的假设（1） 同一排座位，观众的满意程度相同。（2） 不考虑人们视力的影响，即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度相同。（3） 假设座位在地板线上严格等距，且均匀分布。（4） 不考虑中间座位与旁边座位进出方便的问题。（5） 排与排之间的距离相等。（6） 把观众视为一个质点。符号说明变量含义单位观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角（视角）单位：度观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角（仰角）单位：度地板线倾角单位：度影院屏幕高单位：m上边缘距地面高单位：m第一排座位与屏幕水平距离单位：m最后一排座位与屏幕水平距离单位：m观众平均坐高单位：m满意程度三.模型的建立与求解问题1的模型建立与求解AB为屏幕，MS为地板线，BOMNP屏幕地面地板视觉线图1 影院座位设计的剖面图xy （） (1) （） (2)由公式可得： (3)将（1）、（2）式代入式（3），得： （） (4)又 （） (5)有： (6)作出仰角和视角沿着x轴的变化曲线，如图2、图3 所示：(单位:度)X(单位:米)图2(单位:度)X(单位:米)图3用数学软件Matlab求解得，最佳座位约在点（6.23,1.4）处，即所求最佳座位离屏幕的水平距离为6.23米，此处的仰角，视角。问题2的模型建立与求解设第i排观众的满意度为，则所有观众的平均满意程度，每给定一个x的值都对应一个的值，而又是由仰角和视角所决定。（取H=5 c=1.1 =30）是关于X的单调递减函数，当X增大时减小当X=4.5时 =16.119当X=19时 =-20.405（舍去） 我们可以得出合理的值为16.119因此综上，取到16.119时所有观众的平均满意程度最大。问题3的模型建立与求解首先证明如下结论：如图所示，随着A的下降（点A位于点C所在水平线上），逐渐减小aBbA 随着A点的下降，a,b都在增大C1- c22ab增大，即cos增大 又90逐渐减小基于以上结论，我们可以适当升高位于屏幕下边缘所在水平面一下的座位，从而增大视角和水平视角，进一步提高观众的满意程度。四.模型结果的分析 我们可以看到，我们的模型中有许多结合实际考虑的部分，例如考虑到实际座位前后间隔，和实际中前排观众对后排观众视角的影响等。这样的考虑，使得我们的模型具有了一定的实际运用价值以及更加好的合理性。观众平均满意程度函数为：，平均满意度的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角和视角所决定。所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面： 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大； 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。随着地板线倾角的变化，相邻两排座位间的间距不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。由于地板线倾角不超过，所以，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，即16.119五.模型的评价与推广模型的评价 模型的优点： （1） 模型能抓住影响观众满意程度的主要因素（仰角和视角），合理构造满意度函数，过程清晰明了，结果科学合理.（2） 模型具有较好的通用性，实用性强，对现实有很强的指导意义.模型的不足以及需要改进的地方：（1） 模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同，实际情况并非如此，这就使得我们的模型对解决实际问题时有一定的局限性.（2） 模型建立的过程中，以观众眼睛所在的点为坐高点，没有考虑前排观众额部对后排观众的遮挡，在第三问中，我们把（连接屏幕的下端与线段的上端，记此连接直线为）适当下移，在使观众的平均满意程度达到更大的同时，也避免了遮挡情况的出现.（3） 在问题求解过程中，我们不仅仅是单纯的去给出算式计算结果，而是尽量做到与实际结合去考虑和解决问题，模型抓住影响观众满意程度的主要因素(仰角和视角),合理构造满意度函数,过程清晰明了,结果科学合理。模型具有较好的通用性,实用性强,对现实有很强的指导意义。并在不断的思考中去深化对这一模型的认识。当然我们的模型还有许多理想化和定性非定量的成分，还有待进一步用数学严谨地求解和证明。模型在建立过程中充分考虑到观众平均满意度的特殊性（假设屏幕的长度与影院的宽度一致），即选取其中的一列，得出最佳地板线倾角；（4） 模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同,实际情况并非如此,这就使得我们的模型对解决实际问题时有一定的局限性。（5） 模型建立的过程中,以观众眼睛所在的点为坐高点,考虑前排观众额部对后排观众的遮挡, 考虑到人的眼睛到头顶的距离（按照平均水平并理想化，这个距离给定为0.1m），若后排不被前排挡住视线（理想简化模型，不考虑靠后的座位视角下边被前排遮挡的情况），这些数据还有待科学论证化。六.模型的推广运用我们所建立的模型，对于已知剖面来分析物体的形状这一类型的问题的处理有很好的参考价值.例如：运用该模型去解决房间的