基于合情推理的圆锥曲线试题命制赏析.doc

基于合情推理的圆锥曲线试题命制赏析 福建省泉州第七中学（362000）赖呈杰 福建省泉州第五中学（362000）杨苍洲 合情推理有“归纳”和“类比”两种推理模式，这种推理是建立在观察、实验的基础上，通过“类比”来产生“联想”，或者通过“归纳”来进行“猜想”，是一种“发现”的思维形式。 在解析几何的某些问题中，我们常常可以通过类比、归纳，从中发现“圆、椭圆、双曲线、抛物线”的一些共同性质。因此，基于“圆锥曲线”，交汇考查“合情推理”成为命制“解析几何”试题的一种常见命题手法。这样的试题设计精彩纷呈，往往成为一份试卷的亮点所在。笔者曾在各级各类命题工作中，以此为背景进行试题命制。现略举数例，与读者共赏。 例1（xx年泉州市质检）已知点M到点F(1,0)和直线x=1的距离相等，记点M的轨迹为C。 （）求轨迹C的方程； （）过点F作相互垂直的两条直线l1，l2，曲线C与l1交于点P1,P2,与l2交于点Q1,Q2。证明：1|P1P2|+1|Q1Q2|=14； （）圆锥曲线在某些性质方面呈现出统一性。在（）中，我们得到关于抛物线的一个优美结论。请你写出关于椭圆:x24+y23=1的一个相类似的结论（不需证明）。 分析与解：（）易得曲线C的方程为y2=4x。 （）可设l1的方程为y=k(x1)(k0)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，由y2=4x, y=k(x1)得k2x2(2k2+4)x+k2=0，所以x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1，又|P1P2|=x1+x2+2=4k2+4k2，同理可得|Q1Q2|=4+4k2，所以1|P1P2|+1|Q1Q2|=k24k2+4+14k2+4=14。 （）在抛物线中有（）中所述的定值性质，我们猜测在椭圆中也有此定值性质，我们可以通过特殊位置来确定此定值，当l1，l2分别垂直于x,y轴时，1|P1P2|=14,1|Q1Q2|=13，因此1|P1P2|+1|Q1Q2|=712。 关于椭圆的一个相类似的结论为：若l1，l2是过椭圆:x24+y23=1的焦点且相互垂直的两条直线，其中椭圆与l1交于点P1,P2,与l2交于点Q1,Q2，则1|P1P2|+1|Q1Q2|=712。 图1例2（xx年福建省质检）如图1，设P是圆O:x2+y2=2上的点，过P作直线l垂直x轴于点Q，M为l上一点，且 =2MQ，当点P在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线。 （）求曲线的方程； （）某同学研究发现：若把三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上，使其一条直角边过点F(1,0)，则三角板的另一条直角边所在直线与曲线有且只有一个公共点。你认为该同学的结论是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明理由； （）设直线m是圆O所在平面内的一条直线，过点F(1,0)作直线m的垂线，垂足为T，连接OT，请根据“线段OT的长度”讨论“直线m与曲线的公共点个数”。（直接写出结论，不必证明） 析解：（）易得曲线的方程为x22+y2=1。 （）设三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上的点N(a,b)处，则a2+b2=2，又设三角板的另一条直角边所在直线为l。 （）当a=1时，l与曲线有且只有一个公共点。 （）当a1时，则kNF=ba1。若b=0时，l与曲线有且只有一个公共点；若b0时，则l:y=1abx+2ab，由x22+y2=1, y=1abx+2ab,得(a2)2x2+4(1a)(2a)x+4(a1)2=0，所以=0，所以直线l与曲线有且只有一个公共点。综上述，该同学的结论正确。 （）由（）知：当|OT|=2时，直线m与椭圆相切。显然，当|OT|变大时，直线m与椭圆相离；当|OT|变小时，直线m与椭圆相交。故可猜测下述结论： 当|OT|2时，直线m与椭圆没有公共点；当|OT|=2时，直线m与椭圆有且只有一个公共点；当|OT|b0)的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为A1,A2，T1,32为椭圆上一点，且TF2垂直于x轴。 （）求椭圆E的方程； （）给出命题：“已知P是椭圆E上异于A1,A2的一点，直线A1P,A2P分别交直线l：x=t（t为常数）于不同两点M、N，点Q在直线l上。若直线与椭圆E有且只有一个公共点P，则Q为线段MN的中点”，写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明; 图4（）试研究（）的结论，根据你的研究心得，在图4中作出与该双曲线有且只有一个公共点S的直线m，并写出作图步骤(注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行)。 析解：（）易得椭圆E的方程为x24+y23=1。 （）逆命题：“已知P是椭圆E上一点，直线A1P、A2P分别交直线l：x=t（t为常数）于M、N两点，若Q为线段MN的中点，则直线与椭圆E有且只有一个公共点P”，为真命题。 证明：设P(x0,y0)，则x204+y203=1，又lA1P:y=y0x0+2(x+2)，lA2P:y=y0x02(x2)，所以Mt,y0(t+2)x0+2，Nt,y0(t2)x02，可求得MN的中点Qt,3(x0t4)4y0，所以k=3x04y0，l:y=3x04y0x+3y0。联立方程x24+y23=1, y=3x04y0x+3y0,得34y20x23x02y20x+3y201=0，所以=0，所以直线与椭圆E有且只有一个公共点P。 （）由（）可得椭圆切线的一种作法，基于圆锥曲线性质的统一性，可以进行类比，因此可得双曲线切线的做法： 图5如图5，任作一条直线n垂直于实轴；作直线A1S、A2S分别交直线n于I、J两点；作线段IJ的中点V，则直线SV即为所求的直线m。 上述几个试题的求解过程，要求学生经历逆向思维、类比推理、直观感知、操作确认、思辨论证，度量计算的心路历程。虽然试题情境新颖，但是其本质依然是研究曲线轨迹，求解直线与抛物线位置关系等问题。因此在复习中，我们要深化对圆锥曲线方程的理解，进一步熟