2016中考数学新定义探究专题复习测试题（有答案）

1 / 10 2016中考数学新定义探究专题复习测试题（有答案） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 m 2016 年中考总复习专题三新定义探究 一、基本运算新定义 1.（ XX河北）定义新运算：对于任意实数 a， b，都有 ab=a （ a b） +1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： 25=2 （ 2 5） +1 =2 （ 3 ） +1= 6+1= 5 （ 1）求（ 2） 3 的值； （ 2）若 3x 的值小于 13，求 x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来 解：（ 1） ab=a （ a b） +1， （ 2） 3= 2（ 2 3）+1=10+1=11； （ 2） 3x 13， 3 （ 3 x） +1 13， 9 3x+1 13，3x 3， x 1在数轴上表示如下： 2. （ 1 ） 23 ( 2+3)( 2 3)+23( 2+3) 1( 2 / 10 5)+231 5+6 1 （ 2）因为 ab (a+b)(a b)+2b(a+b)= +2ab+2=； ba (b+a)(b a)+2a(b+a)= +2ab+2= 所以 ab ba 二、几何图形新定义 1（ XX台州）定义：如图 1，点 m， N 把线段 AB 分割成 Am， mN和 BN，若以 Am， mN， BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点 m， N 是线段 AB的勾股分割点 （ 1）已知点 m， N 是线段 AB的勾股分割点，若 Am=2， mN=3，求 BN的长； （ 2）如图 2，在 ABc 中， FG是中位线，点 D， E 是线段 Bc的勾股分割点，且 Ec DEBD ，连接 AD， AE分别交 FG于点m， N，求证：点 m， N 是线段 FG 的勾股分割点； （ 3）已知点 c 是线段 AB上的一定点，其位置如图 3 所示，请在 Bc上画一点 D，使点 c， D 是线段 AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）； （ 4）如图 4，已知点 m， N 是线段 AB 的勾股分割点， mNAmBN ， Amc ， mND 和 NBE 均为等边三角形， AE分别交cm， Dm， DN于点 F， G， H，若 H 是 DN的中点，试探究 SAmF ，SBEN 和 S 四边形 mNHG的数量关系，并说明理由 （ 1）解： 当 mN为最大线段时， 点 m、 N 是线段 AB的 勾3 / 10 股分割点， BN= ； 当 BN为最大线段时， 点 m、 N 是线段 AB的勾股分割点，BN= ，综上所述： BN=或； （ 2）证明： FG 是 ABc 的中位线， FGBc ， =1 ， 点 m、 N 分别是 AD、 AE的中点， BD=2Fm ， DE=2mN， Ec=2NG， 点 D、 E 是线段 Bc 的勾股分割点，且 Ec DEBD ，Ec2=BD2+DE2 ， （ 2NG） 2=（ 2Fm） 2+（ 2mN） 2， NG2=Fm2+mN2 ， 点 m、 N 是线段 FG的勾股分割点； （ 3）解：作法： 在 AB 上截取 cE=cA； 作 AE 的垂直平分线，并截取 cF=cA； 连接 BF，并作 BF 的垂直平分线，交 AB于 D； 点 D 即为所求；如图 所示 ：（ 4 ）解 ： S 四边形mNHG=SAmF+SBEN ，理由如下：设 Am=a， BN=b， mN=c， H是 DN的中点， DH=HN=c ， mND 、 BNE 均为等边三角形， D=DNE=60 ，在DGH 和 NEH 中， DGHNEH （ ASA）， DG=EN=b ， mG=c b， GmEN ， AGmAEN ， ，c2=2ab ac+bc， 点 m、 N 是线段 AB的勾股分割点， c2= a2+b2， （ a b） 2=（ b a） c，又 b ac ， a=b ，在 DGH 和 cAF 中， DGHcAF （ ASA）， SDGH=ScAF ， c2=a2+b2 ， c2=a2+b2 ，SDmN=SAcm+SENB ， SDmN=SDGH+S 四边形 mNHG，4 / 10 SAcm=ScAF+SAmF ， S 四边形 mNHG=SAmF+SBEN 2（ XX嘉兴）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做 “ 等邻边四边形 ” （ 1）概念理解： 如图 1，在四边形 ABcD 中，添加一个条件使得四边形 ABcD是 “ 等邻边四边形 ” 请写出你添加的一个条件 （ 2）问题探究： 小红猜想：对角线互相平分的 “ 等邻边四边形 ” 是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由 如图 2，小红画了一个 RtABc ，其中 ABc=90 ， AB=2，Bc=1，并将 RtABc 沿 ABc 的平分线 BB 方向平移得到ABc ，连结 AA ， Bc ，小红要使平移后的四边形ABcA 是 “ 等邻边四边形 ” ，应平移多少距离（即线段BB 的长）？ （ 3）拓展应用： 如图 3 ， “ 等 邻 边 四 边 形 ”ABcD 中， AB=AD ，BAD+BcD=90 ， Ac， BD为对角线， Ac=AB，试探究 Bc，cD， BD的数量关系 解：（ 1） AB=Bc或 Bc=cD或 cD=AD 或 AD=AB（任写一个即可）；（ 2） 正确，理由为： 四边形的对角线互相平分， 这个四边形是平行四边形， 四边形是 “ 等邻边四边形 ” ， 5 / 10 这个四边形有一组邻边相等， 这个 “ 等邻边四边形 ” 是菱形； ABc=90 ， AB=2， Bc=1， Ac= ， 将 RtABc 平移得到 ABc ， BB=AA ， ABAB ， AB=AB=2 ，Bc=Bc=1 ， Ac=Ac= ，（ I）如图 1，当 AA=AB 时，BB=AA=AB=2 ；（ II）如图 2，当 AA=Ac 时，BB=AA=Ac= ；（ III）当 Ac=Bc= 时， 如图 3，延长 cB 交 AB 于点 D，则 cBAB ， BB平分 ABc ， ABB=ABc=45 ，BBD=ABB=45 BD=B ，设 BD=BD=x ，则 cD=x+1 ， BB=x ， 在RtBcD 中， BD2+（ cD ） 2=（ Bc ） 2x2+ （ x+1） 2=（） 2， 解得： x1=1， x2= 2（不合 题意，舍去）， BB=x= （ ）当 Bc=AB=2 时，如图 4，与（ ）方法一同理可得：BD2+（ cD ） 2=（ Bc ） 2，设 BD=BD=x ，则 x2+（ x+1）2=22， 解得： x1=， x2=（不合题意，舍去）， BB=x= ； （ 3） Bc， cD， BD 的数量关系为： Bc2+cD2=2BD2，如图 5，AB=AD ， 将 ADc 绕点 A 旋转到 ABF ，连接 cF，ABFADc ， ABF=ADc ， BAF=DAc ， AF=Ac ， FB=cD ，6 / 10 BAD=cAF ， =1， AcFABD ， = ， BD ， BAD+ADc+BcD+ABc=360 ， ABc+ADc 360 （ BAD+BcD ） =360 90=270 ，ABc+ABF=270 ， cBF=90 ， Bc2+FB2=cF2= （ BD ） 2=2BD2 ，Bc2+cD2=2BD2 3（ XX杭州）如图 1， o 的半径为 r（ r 0），若点 P 在射线 oP上，满足 oPoP=r2 ，则称点 P是点 P 关于 o 的 “ 反演点 ” 如图 2， o 的半径为 4，点B 在 o 上， BoA= 60 ， oA=8，若点 A ， B 分别是点 A，B 关于 o 的反演点，求 AB 的长 解：设 oA 交 o 于 c ， 连 结 Bc ，如图 2 ，oAoA=42 ，而 r=4 ， oA=8 ， oA=2 ，oBoB=42 ， oB=4 ， 即点 B 和 B 重合， BoA=60 ， oB=oc， oBc 为等边三角形，而点 A 为 oc的中点， BAoc ， 在 RtoAB 中， sinAoB= ， AB=4sin60=2 三、函数新定义 1（ XX扬州）平面直角坐标系中 ，点 P（ x， y）的横坐标 x的绝对值表示为 |x|，纵坐标 y的绝对值表示为 |y|，7 / 10 我们把点 P（ x， y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（ x， y）的勾股值，记为 P，即 P =|x|+|y|（其中的 “+” 是四则运算中的加法） （ 1）求点 A（ 1， 3）， B（ +2， 2）的勾股值 A、 B； （ 2）点 m 在反比例函数 y=的图象上，且 m =4，求点 m的坐标； （ 3）求满足条件 N =3的所有点 N 围成的图形的面积 解：（ 1） A （ 1， 3）， B（ +2， 2）， A =| 1|+|3|=4， B =|+2|+| 2|=+2+2 =4； （ 2）设：点 m 的坐标为（ m， n），由题意得解得：， m （ 1， 3），（ 1， 3），（ 3， 1），（ 3， 1） （ 3）设 N 点的坐标为（ x， y）， N =3， |x|+|y|=3 ，x+y=3 ， x y=3， x y=3， x+y=3， y= x+3， y= x 3， y=x 3， y=x+3，如图：所有点 N 围成的图形的面积 =3=18 2（ XX河南）如图，边长为 8 的正方形 oABc 的两边在坐标轴上，以点 c 为顶点的抛物线经过点 A，点 P 是抛物线上点 A， c 间的一个动点（含端点），过点 P 作 PFBc 于点 F，点 D、 E 的坐标分别为（ 0， 6），（ 4， 0），连接 PD、PE、 DE （ 1）请直接写出抛物线的解析式； 8 / 10 （ 2）小明探究点 P 的位置发现：当 P 与点 A 或点 c 重合时，PD与 PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点 P， PD与 PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （ 3）小明进一步探究得出结论：若将 “ 使 PDE 的面积为整数 ” 的点 P 记作 “ 好点 ” ，则存在多个 “ 好点 ” ，且使PDE 的周长最小的点 P 也是一个 “ 好点 ” 请直接写出所有 “ 好点 ” 的个数，并 求出 PDE 周长最小时 “ 好点 ” 的坐标 解：（ 1） 边长为 8 的正方形 oABc 的两边在坐标轴上，以点 c 为顶点的抛物线经过点 A， c （ 0， 8）， A（ 8， 0）， 设抛物线解析式为： y=ax2+c，则，解得：故抛物线的解析式为： y= x2+8； （ 2）正确，理由：设 P（ a， a2+8），则 F（ a， 8）， D（ 0， 6）， PD=a2+2 ， PF=8（ a2+8） =a2， PD PF=2；（ 3）在点 P 运动时，DE大小不变，则 PE与 PD的和最小时， PDE 的周长最小， PD PF=2， PD=PF +2， PE+PD=PE+PF+2 ， 当 P、 E、 F三点共线时， PE+PF最小，此时点 P， E 的横坐标都为 4， 将 x= 4 代入 y= x2+8，得 y=6， P （ 4， 6），此时 PDE的周长最小，且 PDE 的面积为 12，点 P 恰为 “ 好点， PDE 的周长最小时 ” 好点 “ 的坐标为：（ 4， 6），由（ 2）9 / 10 得： P（ a， a2+8）， 点 D、 E 的坐标分别为（ 0， 6），（4， 0）， 当 4a 0 时， SPDE= ； 4 SPDE12 ， 当 a=0时， SPDE=4 ， 8 a 4 时， SPDE= （ a2+8+6） （ a） 46 （ a 4） （ a2+8） = a2 3a+4，4SPDE13 ， 当 a= 8 时， SPDE=12 ， PDE 的面积可以等于 4 到 13 所有整数，在面积为 12 时， a 的值有两个，所以面积为整数时好点有 11 个，经过验证周长最小的好点包含这 11 个之内，所以好点共 11 个， 11 个好点， P（ 4， 6） 3、（ XX河北）如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 o 出发，沿 x 轴向右以毎秒 1 个单位长的速度运动 t 秒（ t 0），抛物线 y=x2+bx+c 经过点 o 和点 P，已知矩形 ABcD的三个顶点为 A（ 1， 0）， B（ 1， 5）， D（ 4， 0）（ 1）求 c，b（用含 t 的代数式表示）： （ 2）当 4 t 5 时，设抛物线分别与线段 AB， cD 交于点 m，N 在点 P 的运动过程中，你认为 AmP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出 AmP 的值； 求 mPN 的面积 S 与 t 的函数关系式，并求 t 为何值时，； （ 3）在矩形 ABcD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为 “ 好点 ” 若抛物线将这些 “ 好点 ” 分成数量10 / 10 相等的两部分，请直接写出 t 的取