四边形一个有趣性质的发现.doc

四边形一个有趣性质的发现 江苏省南通建筑职业技术学校（226000）杨忠 对于任意四边形，有这样一道常见题： 若EFGH分别是四边形ABCD各边AB，BC,CD，DA的中点，则线段HF和EG相互平分。笔者在研究这道陈题时意外发现如下规律： 图1性质1若EFGH分别是四边形ABCD各边AB，BC,CD，DA的中点，四个小四边形的面积存在如下关系：SAEIH+SIFCG=SEBFI+SHIGD。 叶中豪老师这样说过“衡量一个几何命题优美与否，往往看它的题设要求是否简洁。题设愈宽，结论愈强，好比说吃的是草，挤出来的是奶其价值自然越高；相反，条件繁琐的命题一般说就不漂亮。”这个性质的精彩之处在于它对四边形没有限制条件，我们可以随意改变四边形的形状，两组对顶小四边形的面积之和始终相等。在进一步的探究中，笔者又发现了以下性质： 图2性质2四边形ABCD对边AB、CD进行n（n3）等分，对边等分点依次对应相连，对边AD、BC进行m（m3）等分，对边等分点依次对应相连（如图2），则四边形ABCD分割所得的mn个小四边形的面积有以下两个关系： （1）每一行的小四边形的面积成等差数列；每一列的小四边形的面积成等差数列； （2）各行小四边形的面积所成等差数列的公差相等，各列的小四边形的面积所成等差数列公差相等。 这里，为证明性质2，先给出如下引理（证明见文1）： 对于任意四边形（如图2），有如下性质： 图3引理1把四边形一组对边n等分，另一组对边m等分，各组对边上的分点依次对应相连，则连线被连线交点n等分或m等分。 从图2四边形ABCD中取出行相邻的两个小四边形（如图3），由引理1，令AE=EF=a；IH=HG=b，若AFIG，则易得SAEHI=SEFGH，同理这一行的所有相邻小四边形的面积相等，即构成公差为0的等差数列，若AF与IG不平行，延长AF,IG交于点O，记O=，OF=x，OG=y，则SEGSAH=12(a+x)(b+y)xysin12(2a+x)(2b+y)(a+x)(b+y)sin=absin=定值。同理，这一行的所有相邻的四边形面积之差均为absin，故该行的小四边形的面积成等差数列；同理，每一行、列的小四边形的面积均成等差数列。性质2（1）得证。 图4再证性质2（2），令图2中线段中LK=c，IH与LK夹角为，由性质2（1）的证明可知，第二行的小四边形的面积成公差为bcsin的等差数列。下证absin=bcsin，过程如下： 从图2四边形ABCD中取两个列相邻小四边形（如图4），延长AE，IH交于点Z，延长LK交IZ,AZ于X,Y，作PHAE，APEH，四边形AEHP为平行四边形，作QHLK，LQKH，四边形QHKL为平行四边形，连结PI,QI，则AE=PH=a，LK=QH=c；在API和LQI中，由引理1，AP=EH=HK=QL，APEHLQ，故PAI=QLI，又有AI=LI，故APILQI，故PI=QI，且PIQ三点共线，故SPIH=SQIH，即12absinPHI=12bcsinQHI，又有PHAE，QHLK，故absin=bcsin。即第一行小四边形面积所成等差数列的公差与第二行小四边形面积所成等差数列的公差相等。同理所有行小四边形面积所成等差数列的公差相等，所有列小四边形面积所成等差数列的公差相等。性质2（2）得证。 由性质2的证明易知SAEIHSEBFI=SHIGDSIFCG，故SAEIH+SIFCG=SEBFI+SHIGD成立，性质1得证。事实上可对性质1作如下推广（结论的证明留给读者）： 图5性质3四边形ABCD对边AB、BC、CD、AD进行n（n2）等分，如图5所示，各组对边等分点依次连结，则分割所成的小四边形中，在四边形ABCD一条对