2016天津和平区高三(上)期末数学试卷(理有答案和解释）

1 / 23 2016天津和平区高三 (上 )期末数学试卷 (理有答案和解释） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX-2016 学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40分） 1已知集合 m=x| 0， N=x|x 1，则集合 x|x3等于（ ） A mNB mNc R（ mN ） D R（ mN ） 2若变量 x， y 满足约束条件，则 z=3x 4y 的取值范围是（ ） A 11， 3B 11， 3c 3， 11D 3， 11 3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 n 的值为（ ） A 5B 7c 9D 11 4已知 a， bR ，且 ab0 ，那么 “a b” 是 “lg （ a b） 0” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 c充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5如图，半径为 2 的 o 中， AoB=90 ， D 为 oB的中点，2 / 23 AD的延长线交 o 于点 E，则线段 DE的长为（ ） A B c D 6若双曲线 =1 的一个焦点在抛物线 y2=2px 的准线上 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B c D 2 7记实数 x1， x2， ， xn 中最小数为 minx1， x2， ，xn，则定义在区间 0， + ）上的函数 f（ x） =minx2+1，x+3， 13 x的最大值为（ ） A 5B 6c 8D 10 8已知函数 f（ x） =x|x| mx+1 有三个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， 2） B（ 2， + ） c（ ， 2） D 2， + ） 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30分） 9已知 aR ，复数（ 2+ai）（ 2 i）的实 部与虚部互为相反数，则 a 的值为 10一个几何体的三视图如图所示（单位： cm），则几何体的体积为 cm3 11已知圆 c 的极坐标方程为 =2cos ，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参3 / 23 数方程为（ t 为参数），则圆 c 的圆心到直线 l 的距离为 12在（ x） 9 的展开式中， x5 的系数为 13在 ABc 中，内角 A， B， c 所对的边分别为 a， b， c，且满足 a+b=2， c=， sinA+sinB=sinc，则 ABc 的面积为 14如图，在 ABc 中， BAc=60 ， AB=3， Ac=2， D 是 Bc边上的一点（含端点），则 的取值范围是 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15已知函数 f（ x） =2sin 4sin2， xR （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）求 f（ x）的区间 ， 上的最大值和最小值 16在 8 件获奖作品中，有 3 件一等奖，有 5 件二等奖，从这 8 件作品中任取 3 件 （ 1）求取出的 3 件作品中，一等奖多于二等奖的概率； （ 2）设 X 为取出的 3 件作品中一 等奖的件数，求随机变量X 的分布列和数学期望 17如图，在三棱柱 ABc A1B1c1 中，侧棱垂直于底面，BAc=90 ， AB=AA1=2， Ac=1，点 m 和 N 分别为 A1B1 和 Bc的中点 4 / 23 （ 1）求证： AcBm ； （ 2）求证： mN 平面 Acc1A1； （ 3）求二面角 m BN A 的余弦值 18设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2， a2+a4=10 （ 1）求数列 an通项公式； （ 2）若数列 bn满足 +=1 ， nN* ，求数列 bn的前n 项和 Tn 19已 知椭圆 c 经过点 A（ 2， 3）、 B（ 4， 0），对称轴为坐标轴，焦点 F1、 F2在 x 轴上 （ ）求椭圆 c 的方程； （ ）求 F1AF2 的角平分线所在的直线 l 与椭圆 c 的另一个交点的坐标 20设函数 f（ x） =x3 x2+6x+m （ 1）对于 xR ， f （ x） a 恒成立，求 a 的最大值； （ 2）若方程 f（ x） =0有且仅有一个实根，求 m 的取值范围； （ 3）当 m=2时，若函数 g（ x） =+x 6+2blnx（ b0 ）在 1，2上单调递减，求实数 b 的最大值 XX-2016学年天津市和平区 高三（上）期末数学试卷（理科） 5 / 23 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40分） 1已知集合 m=x| 0， N=x|x 1，则集合 x|x3等于（ ） A mNB mNc R（ mN ） D R（ mN ） 【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】求出 m 中不等式的解集确定出 m，求出 m 与 N 的交集、并集，进而确定出交集与并集的补集，即可作出判断 【解答】解：由 m 中不等式变形得：（ x 3）（ x+1） 0， 解得： 1 x 3，即 m=x| 1 x 3， N=x|x 1， mN=x|x 3， mN= ， 则 R（ mN ） =x|x3 ， R（ mN ） =R， 故选： D 2若变量 x， y 满足约束条件，则 z=3x 4y 的取值范围是（ ） A 11， 3B 11， 3c 3， 11D 3， 11 【考点】简单线性规划 【分析】画出不等式组表示可行域，要求线性目标函数的最值，就是直线（目标函数）截距的范围，求解即可 6 / 23 【解答】解：不等式组表示 的区域如图， 其中 A（ 0， 2）， B（ 5， 3） c（ 3， 5） z=3x 4y的几何意义是 直线在 y 轴上的截距，当直线经过点 B（ 5， 3）时， z=1512=3，取最大值为 3， 当取得点 c（ 3， 5）时， z=3 20= 11， z 取最小值为 11， 所以目标函数 z=3x 4y的取值范围为 11， 3， 故选： A 3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 n 的值为（ ） A 5B 7c 9D 11 【考点】程序框图 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计 算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：当 S=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后， S=3， n=5， 当 S=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后， S=15， n=7， 当 S=15时，满足进行循环的条件，执行循环体后， S=105，7 / 23 n=9， 当 S=105时，不满足进行循环的条件， 故输出的 n 值为 9， 故选： c 4已知 a， bR ，且 ab0 ，那么 “a b” 是 “lg （ a b） 0” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 c 充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】写出 “lg （ a b） 0” 的等价命题，结合充要条件的定义，可得答案 【解答】解： “lg （ a b） 0”“a b1”“a b+1” ， 当 “a b” 时， “a b+1” 不一定成立， 故 “a b” 是 “lg （ a b） 0” 的不充分条件； 当 “a b+1” 时， “a b” 一定成立， 故 “a b” 是 “lg （ a b） 0” 的必要条件； 故 “a b” 是 “lg （ a b） 0” 的必要不充分条件 ； 故选： B 5如图，半径为 2 的 o 中， AoB=90 ， D 为 oB的中点，8 / 23 AD的延长线交 o 于点 E，则线段 DE的长为（ ） A B c D 【考点】与圆有关的比例线段 【分析】延长 Bo交 o 于点 c，我们根据已知中 o 的半径为 2， AoB=90 ， D 为 oB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段 DE的长 【解答】解：延长 Bo交 o 于点 c， 由题设知：， 又由相交弦定理知 ADDE=BDDc， 得 故选 c 6若双曲线 =1 的一个焦点在抛物线 y2=2px 的准线上，则该双曲线的离心率为（ ） A B c D 2 【考点】双曲线的简单性质 【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的 a， b， c，解方程可得 p2=16，即有 c=2，运用离心率公式计算即可得到所求值 【解答】解：抛物线 y2=2px的准线为 x=， 9 / 23 由双曲线 =1的 a=， b=|， 可得 c=， 即有 =|， 解得 p2=16，可得 c=2， 则离心率 e= 故选： A 7记实数 x1， x2， ， xn 中最小数为 minx1， x2， ，xn，则 定义在区间 0， + ）上的函数 f（ x） =minx2+1，x+3， 13 x的最大值为（ ） A 5B 6c 8D 10 【考点】函数的最值及其几何意义 【分析】在同一坐标系中作出三个函数 y=x+3， y=x2+1 与y= x+13的图象，依题意，由图象即可求得 maxminx2+1，x+3， 13 x 【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数 y=x2+1， y=x+3， y=13 x 的图象如图： 由图可知， minx2+1， x+3， 13 x为 y=x+3 上 A 点下方的射线， 抛物线 AB之间的 部分，线段 Bc，与直线 y=13 x 点 c 下方的部分的组合体， 显然，在 c 点时， y=minx2+1， x+3， 13 x取得最大值 10 / 23 解方程组得， c（ 5， 8）， maxminx2+1 ， x+3， 13 x=8 故选： c 8已知函数 f（ x） =x|x| mx+1 有三个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 0， 2） B（ 2， + ） c（ ， 2） D 2， + ） 【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理 【分析】 f（ x） =x|x| mx+1得 x|x|+1=mx 利用参数分离法得 m=|x|+，构造函数 g（ x） =|x|+，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可 【解答】解：由 f（ x） =x|x| mx+1 得 x|x|+1=mx， 当 x=0时，方程不成立， 即 x0 ， 则方程等价为 m=|x|+ 设 g（ x） =|x|+， 当 x 0 时， g（ x） = x+为减函数， 当 x 0 时， g（ x） =x+， 则 g（ x）在（ 0， 1）上为减函数，则（ 1， + ）上为增函数， 即当 x=1时，函数取得极小值同时也是最小值 g（ 1） =1+1=2， 11 / 23 作出函数 g（ x）的图象如图： 要使 f（ x） =x|x| mx+1有三个零点， 则等价为 m=|x|+有三个不同的根， 即 y=m与 g（ x）有三个不同的交点，则由图象知 m 2， 故实数 m 的取值范围是（ 2， + ）， 故选： B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30分） 9已知 aR ，复数（ 2+ai）（ 2 i）的实部与虚部互为相反数，则 a 的值为 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部加虚部等于 0 求得 a 值 【解答】解：（ 2+ai）（ 2 i） =（ 4+a） +（ 2a 2） i， （ 2+ai）（ 2 i）的实部与虚部互为相反数， 4+a+2a 2=0，解得： a= 故答案为： 10一个几何体的三视图如图所示（单位： cm），则几何体的体积为 12 cm3 12 / 23 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；函数的零点 【分析】由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可 【解答】解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱， 圆锥的高为 3cm，底面半径 r=2cm，则圆锥的体积为 =4（ cm3）， 圆柱的高为 2cm，底面半径 r=2cm，则圆柱的体积为222=8 （ cm3）， 则该几何体的体积为 4+8=12 （ cm3）， 故答案为： 12 11已知圆 c 的极坐标方程为 =2cos ，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（ t 为参数），则圆 c 的圆心到直线 l 的距离为 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【分析】求出圆 c 的直角坐标方程和直线 l 的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式能求出圆 c 的圆心到直线 l 的距离 【解答】解： 圆 c 的极坐标 方程为 =2cos ，即2=2cos ， 圆 c 的直角坐标方程为 x2+y2 2x=0， 13 / 23 圆心 c（ 1， 0），半径 r=1， 直线 l 的参数方程为（ t 为参数）， 直线 l 的直角坐标方程为 3x 4y 4=0 圆 c 的圆心到直线 l 的距离 d= 故答案为： 12在（ x） 9 的展开式中， x5 的系数为 18 【考点】二项式系数的性质 【分析】写出二项展开式的通项，由 x 得指数等于 5 求得 r值，则答案可求 【解答】解：由 =， 令 9 2r=5，可得 r=2， x5 的系数为 故 答案为： 18 13在 ABc 中，内角 A， B， c 所对的边分别为 a， b， c，且满足 a+b=2， c=， sinA+sinB=sinc，则 ABc 的面积为 【考点】余弦定理；正弦定理 【分析】由题意和正弦定理可得 c 值，由余弦定理可得 ab的值，整体代入三角形的面积公式计算可得 【解答】解： 在 ABc 中， sinA+sinB=sinc ， 由正弦定理可得 a+b=c， 14 / 23 又 a+b=2 ， c=， c=2 ，解得 c=2， 由余弦定理可得 c2=a2+b2 2abcosc=a2+b2 ab=（ a+b） 2 3ab， 代值可得 4=8 3ab，解得 ab=， ABc 的面积 S=absinc=， 故答案为： 14如图，在 ABc 中， BAc=60 ， AB=3， Ac=2， D 是 Bc边上的一点（含端点），则 的取值范围是 6，1 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】建立平面直角坐标系，求出各点坐标，使用坐标计算 【解答】解：以 Bc 所在直线为 x 轴，以 B 为原点建立平面直角坐标系， Bc= cosB= sinB= A （，）， B（ 0， 0）， c（， 0） 设 D（ a， 0），则 =（ a，）， =（， 0） =a 6 D 是 Bc边上的一点（含端点）， 0a 15 / 23 当 a=0时，取得最小值 6，当 a=时，取得最大值 1 故答案为 6， 1 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15已知函数 f（ x） =2sin 4sin2， xR （ 1）求 f（ x）的最小正周期； （ 2）求 f（ x）的区间 ， 上的最大值和最小值 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】（ 1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（ x） =2sin（ +） 2，根据三角函数周期公式即可求值得解； （ 2）由 x ， ，可求 + ， ，利用正弦函数的图象和性质即可得解 【解答】（本题满分为 13分） 解：（ 1） f （ x） =2sin 4sin2 =2sin 2（ 1 cos） =2（ sincos+cossin） 2 =2sin（ +） 2 3 分 f （ x）的最小正周期 T=6 5 分 （ 2） x ， ， + ， ， 7 分 16 / 23 f （ x）在区间 ， 上是增函数，在区间 ， 上是减函数， 9分 而 f（） = 2， f（） =2， f（） =， 11 分 f （ x）的区间 ， 上的最大值为 2 2，最小值为 13分 16在 8 件获奖作品中，有 3 件一等奖，有 5 件二等奖，从这 8 件作品中任取 3 件 （ 1）求取出的 3 件作品中，一等奖多于二等奖的概率； （ 2）设 X 为取出的 3 件作品中一等奖的件数，求随机变量X 的分布列和数学期望 【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 【分析】（ 1）设 A 为事件 “ 取出的 3 件产品中，一等奖多于二等奖 ” ，利用互斥事件加法公式能求出取出的 3件作品中，一等奖多于二等奖的概率 （ 2）随机变量 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列和数学期望 【解答】解：（ 1）设 A 为事件 “ 取出的 3 件产品中，一等奖多于二等奖 ” ， 依题意，则有 P（ A） =， 取出的 3 件作品中，一等奖多于二等奖的概率为 17 / 23 （ 2）随机变量 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ X=0） =， P（ X=1） =， P（ X=2） =， P（ X=3） =， 随机变量 X 的分布列为： X0123 P EX= 17如图，在三棱柱 ABc A1B1c1 中，侧棱垂直于底面，BAc=90 ， AB=AA1=2， Ac=1，点 m 和 N 分别为 A1B1 和 Bc的中点 （ 1）求证： AcBm ； （ 2）求证： mN 平面 Acc1A1； （ 3）求二面角 m BN A 的余弦值 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】（ 1）以 A 为原点， Ac为 x 轴， AB为 y 轴， AA1为 z18 / 23 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 AcBm （ 2）推导出 =0，由是平面 Acc1A1的一个法向量，且 mN平面 Acc1A1，能证明 mN 平面 Acc1A1 （ 3）求出平面 mBN 的法向量和平面 ABN 的法向量，利用向量法能求出二面角 m BN A 的余弦值 【解答】证明：（ 1）由题意知 Ac、 AB、 AA1两两垂直， 如图，以 A 为原点， Ac 为 x 轴， AB 为 y 轴， AA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 2， 0）， c（ 1， 0， 0）， m（ 0， 1， 2）， = （ 1， 0， 0）， =（ 0， 1， 2）， =0 ， ， AcBm （ 2） m （ 0， 1， 2）， N（）， A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 2， 0）， = （）， =（ 0， 2， 0）， =0 ， mNAB ， 是平面 Acc1A1 的一个法向量，且 mN平面 Acc1A1， mN 平面 Acc1A1 解：（ 3）由（ 2）得 =（）， =（ 0， 1， 2）， 设平面 mBN的法向量为 =（ x， y， z）， 则，取 z=1，得 =（ 4， 2， 1）， 平面 ABN的法向量 =（ 0， 0， 2）， 19 / 23 cos =， 二面角 m BN A 的平面角是锐角， 二面角 m BN A 的余弦值为 18设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2， a2+a4=10 （ 1）求数列 an通项公式； （ 2）若数列 bn满足 +=1 ， nN* ，求数列 bn的前n 项和 Tn 【考点】数列的求和；数列递推式 【分析】（ 1）通过设等差数列 an的公差为 d，利用等差中项及 a2+a4=10可知 a3=5，通过 S4=4S2可知 4a3 2d=4（ 2a3 3d），计算可得 d=2，进而计算即得结论； （ 2）通过 +=1 与 +=1 作差，结合（ 1）整理可知bn=（ n2 ），验证当 n=1时也成立，进而利用错位相减法计算即得结论 【解答 】解：（ 1）设等差数列 an的公差为 d， a2+a4=10 ， a3=5 ， S4=4S2 ， 4a3 2d=4（ 2a3 3d）， 即 20 2d=4（ 10 3d），解得： d=2， 20 / 23 an=a3+2 （ n 3） =2n 1； （ 2）依题意， +=1 ， nN* ， 当 n2 时， +=1 ， 两式相减得： =（ 1）（ 1） =， 由（ 1）可知 bn=（ n2 ）， 又 b1= （ 1） a1=满足上式， bn= ， nN* ， 故 Tn=+ ， Tn=+ ， 两式相减得： Tn=+（ + ） =， Tn=3 19已知椭圆 c 经过点 A（ 2， 3）、 B（ 4， 0），对称轴为坐标轴，焦点 F1、 F2在 x 轴上 （ ）求椭圆 c 的方程； （ ）求 F1AF2 的角平分线所在的直线 l 与椭圆 c 的另一个交点的坐标 【考点】椭圆的简单性质 【分析】（ ）设椭圆 c 的方程为 =1， a b 0，利用待定系数法能求出椭圆 c 的方程 （ ）直线 AF1 的方程为 3x 4y+6=0，求出直线 l 的方程21 / 23 为 2x y x=0，与椭圆联立，得 19x2 16x 44=0，由此利用韦达定理能求出直 线 l 与椭圆 c 的另一个交点坐标 【解答】解：（ ） 椭圆 c 经过点 A（ 2， 3）、 B（ 4， 0），对称轴为坐标轴，焦点 F1、 F2 在 x 轴上， 设椭圆 c 的方程为 =1， a b 0， 则，解得 a2=16， b2=12， 椭圆 c 的方程为 （ ） 椭圆 c 的方程为， F1 （ 2， 0）， F2（ 2， 0），则直线 AF1 的方程为 y=，即3x 4y+6=0， 直线 AF2 的方程为 x=2，由点 A 在椭圆 c 上的位置得直线 l的斜率为正数， 设 P（ x， y）为直线 l 上