高中数学《向量数量积的运算律》新人教B版必修.ppt

2.3.2 向量数量积的运算律,1.掌握平面向量数量积的运算律,并要注意运算律的适用范围以及与实数乘法运算律的区别. 2.会应用运算律进行相关的计算或证明等问题.,向量数量积的运算律 已知向量a,b,c与实数,则,名师点拨1.数量积的运算只适合交换律、与数乘的结合律、分配律,但不适合消去律,即ab=ac b=c; 2.数量积的运算也不适合结合律,即(ab)c不一定等于a(bc).,【做一做1】 已知向量m和n满足|m|=1,|n|= ,且m(m-n),则m与n夹角的大小为( ) A.30 B.45 C.75 D.135 解析:设m与n的夹角为,则由m(m-n),知m(m-n)=0,即m2-mn=0, mn=m2=|m|2=1. 答案:B,【做一做2】 已知|a|=4,|b|=5,且a,b的夹角为60. 求:(1)a2-b2; (2)(2a+3b)(3a-2b). 解:(1)a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9; (2)(2a+3b)(3a-2b)=6a2+5ab-6b2=616+545cos 60-625=-4.,1.向量数量积的运算不满足结合律 剖析向量数量积的运算不满足结合律,即等式(ab)c=a(bc)不一定成立,可从以下两种思路分析: 思路一:否定一个等式,只需举一个反例即可; 思路二:利用数量积的几何意义表示来证明. 以下分别给出证明: 思路一:举反例., ab=|a|b|cos=1, bc=|b|c|cos=3. (ab)c=c,a(bc)=3a. 很明显c=3a不成立, (ab)c=a(bc )不成立.,思路二:下面用向量数量积的几何意义来分析. 由于向量的数量积是实数,设ab=,bc=, 则(ab)c=c,a(bc)=a. 由于c,a是任意向量,因此c=a不成立. 故(ab)c=a(bc)不成立. 2.公式aa=|a|2的推广 剖析根据数量积的定义以及运算律,下列公式均是成立的,在有关计算中可使用: (1)(ab)2=|ab|2=|a|22ab+|b|2. (2)a2-b2=(a+b)(a-b). (3)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),几何意义为:平行四边形两条对角线长的平方和等于其四条边长的平方和. (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).,题型一,题型二,答案:A,题型一,题型二,反思求平面向量的数量积时,常用到以下结论: (1)a2=|a|2; (2)(xa+yb)(mc+nd)=xmac+xnad+ymbc+ynbd,其中x,y,m,nR,类似于多项式的乘法法则; (3)(a+b)2=a2+2ab+b2; (4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac. 本题还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是利用已知条件.,题型一,题型二,【变式训练1】 已知e1,e2是两个单位向量,它们的夹角为60,则(2e1-e2)(-3e1+2e2)等于( ) 解析:|e1|=|e2|=1且夹角为60, 答案:A,题型一,题型二,【例2】 已知|a|=|b|=6,向量a与b的夹角为 ,求|a+b|,|a-b|. 分析关系式a2=|a|2可使向量的长度与向量的数量积互相转化,因此欲求|a+b|,可求(a+b)(a+b),将此式展开,由已知|a|=|b|=6,可得aa=bb=36,也可求得ab,将上面各式的值代入,即可求得|a+b|,|a-b|.,题型一,题型二,题型一,题型二,题型一,题型二,题型一,题型二,【例3】 已知|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60,则当k为何值时,向量ka-b与a+2b垂直? 分析由(ka-b)(a+2b),得(ka-b)(a+2b)=0,展开求解即可. 解:(ka-b)(a+2b), (ka-b)(a+2b)=0, 即ka2+(2k-1)ab-2b2=0, 即k52+(2k-1)54cos 60-242=0. 反思1.对数量积的运算律要熟练掌握. 2.非零向量ab=0ab是非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握.,题型一,题型二,【变式训练3】 若|a|=2,|b|=4,且(a+b)a,则a与b的夹角为( ),解析:由于(a+b)a, 所以(a+b)a=0, 即|a|2+ab=0, 答案:A,题型一,题型二,【例4】 如图,AD,BE,CF是ABC的三条高.求证:AD,BE,CF相交于一点. 分析解答本题可先设两条高交于一点,再利用向量的数量积证明第三条高也过此点.,题型一,题型二,反思向量作为一种工具在解决几何问题中有着广泛的应用,几何问题转化为向量是关键一步,同时注意向量的数量积及向量的运算律的运用;在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别,如向量的夹角与直线的夹角就不相同.,题型一,题型二,同理可证OCAB,OABC, 即点O是ABC三条高线的交点, 所以点O是ABC的垂心. 答案:D,1,2,3,4,5,1.若|a|=1,|b|=3,a与b的夹角为60,则(4a-b)(a+2b)等于( ) 答案:B,1,2,3,4,5,2.若向量a,b,c满足ab,且ac,则c(a+2b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 解析:由ac知ac=0. 又ab,所以bc=0, 于是c(a+2b)=ac+2bc=0+0=0. 答案:D,1,2,3,4,5,3.已知|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为60,则|2a-b|= .,1,2,3,4,5,4.若向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,