高中数学《比较法》新人教A版选修.ppt

第二讲 证明不等式的基本方法 一 比 较 法,【自主预习】 比较法的定义 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种.,(1)作差比较法:要证明ab,只要证明_;要证明 a0,b0,要证明ab,只要证明 1;要证明ba,只要证明_.这种证明不等式的方 法,叫做作商比较法.,a-b0,a-b0,【即时小测】 1.已知a+b0,bb-b-a B.a-b-ab C.a-bb-a D.ab-a-b 【解析】选C.由a+b0,b-b0,于是a-bb-a.,2.设a,bR且a+|b|0 B.a2+b20 C.a2-b20 D.a+b0 【解析】选D.由a+|b|0,知a-|b|0, 所以a+bb-|b|0,即a+b0.故选D.,3.若aR且a1,则a2+1与2a的大小关系是_. 【解析】因为aR且a1,所以a2+1-2a=(a-1)20, 即a2+12a. 答案:a2+12a,【知识探究】 探究点 比较法证明不等式 1.作差比较法的主要适用类型是什么?实质是什么? 提示:作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.,2.作商比较法主要适用类型是什么? 提示:作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形式的不等式证明.其证明的一般步骤:作商变形(化简)判断商值与1的大小关系结论.,【归纳总结】 1.作差法的依据 若a,bR,则a-b0ab;a-b=0a=b;a-b0ab. 2.作差法的步骤 作差变形判断符号(与0比较大小)结论.,3.作商法的依据 若a0,b0,则 1ab; =1a=b; 1ab. 4.作商比较法适用证明的不等式的特点 适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等 式或某些不同底数对数值的大小比较.,类型一 作差比较法 【典例】已知a,bR,求证:a2+b2+1ab+a+b. 【解题探究】典例中作差后,如何与0比较大小? 提示:化为几个完全平方式的和,然后与0比较大小.,【证明】因为a2+b2-ab-a-b+1= (a-b)2+(a-1)2+ (b-1)20,当且仅当a=b=1时取等号,所以 a2+b2+1ab+a+b.,【方法技巧】作差比较法证明不等式的技巧 (1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少.,(2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法. (3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法判断符号.,【变式训练】1.(2015浙江高考)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xyz,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且abc.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( ),A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz,【解析】选B.由x0,故ax+by+czaz+by+cx;ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x) +c(x-z)=(x-z)(c-b)0,故ay+bz+cxay+bx+cz; az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y) +b(y-z)=(a-b)(z-y)0,故az+by+cxay+bz+cx,所以最低费用为az+by+cx.,2.已知abc,证明:a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2. 【证明】因为a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=(a2b-bc2) +(b2c-ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ac(c-a)=(a-c)(ba+bc-b2-ac)=(a-c)(a-b)(b-c). 因为abc,所以a-c0,a-b0,b-c0,所以(a-c)(a-b)(b-c)0,即a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2.,类型二 作商比较法 【典例】设a0,b0,求证:aabb 【解题探究】由指数函数的性质可知a,b满足什么条 件时ab1? 提示:若01;若a1,则b0时,ab1.,【证明】因为aabb0, 0, 所以 所以当a=b时,显然有 =1; 当ab0时, 当ba0时,由指数函数的单调性,有 综上可知,对任意a0,b0,都有aabb,【延伸探究】 1.典例中的条件不变,试证明:abba 【证明】因为abba0, 0, 所以 所以当a=b时,显然有 =1;,当ab0时, 当ba0时, 由指数函数的单调性,有 综上可知,对任意a0,b0,都有abba,2.将典例中的条件改为“abc0”,求证: a2ab2bc2cab+cbc+aca+b. 【证明】由abc0,得ab+cbc+aca+b0,a2ab2bc2c0. 所证不等式左边除以右边,得 =aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=,因为ab0,所以 1,a-b0,所以 1. 同理 1, 1. 所以 1,所以a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.,【方法技巧】作商比较法证明不等式的一般步骤 (1)作商:将不等式左右两边的式子进行作商. (2)变形:化简商式到最简形式. (3)判断:判断商与1的大小关系,也就是判断商大于1或小于1或等于1. (4)得出结论.,【变式训练】已知a2,求证:loga(a-1)2,则a-11,所以loga(a-1)0, log(a+1)a0, 由于 =loga(a-1)loga(a+1),因为a2,所以00,所以loga(a-1)log(a+1)a.,自我纠错 利用比较法证明不等式 【典例】设实数a,b,c满足等式b+c=6-4a+3a2; c-b=4-4a+a2;试比较a,b,c的大小关系.,