高三数学一轮复习《解三角形》理.ppt

理数 课标版,第八节 解三角形,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度 问题,计算面积问题等.,教材研读,2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在 水平线 上方 的角叫仰角,目标视线在水平线 下方 的角叫俯 角(如图).,(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30,北 偏西45等. (3)方位角 从 正北 方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的 方位角为(如图). (4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角. (附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平长度之比),3.解关于解三角形的应用题的一般步骤 (1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的 关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题; (3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解; (4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算 等的要求.,1.从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则与的关系为 ( ) A. B.= C.+=90 D.+=180 答案 B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图,如图,可知=.,2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔 A在观察站C的北偏东20的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40的方 向上,则灯塔A与灯塔B的距离为 ( ) A.a km B. a km C. a km D.2a km,答案 B ACB=180-(20+40)=120,在ABC中,AB2=AC2+BC2-2 ACBCcos 120=a2+a2-2a2 =3a2,AB= a(km),故选B.,3.在上题的条件下,灯塔A相对于灯塔B的方向为 ( ) A.北偏西5 B.北偏西10 C.北偏西15 D.北偏西20 答案 B 易知B=A=30,C在B的北偏西40的方向上,又40-30= 10,故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10.,4.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若CAB=75,CBA=60, 则A、C两点之间的距离为 千米. 答案 解析 ACB=180-75-60=45,由正弦定理得 = = , AC= 千米.,5.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75,距灯塔68 海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速 度为 海里/小时. 答案 解析 如图,由题意知MPN=75+45=120,PNM=45. 在PMN中, = ,MN=68 =34 海里.,又由M到N所用的时间为14-10=4小时, 此船的航行速度v= = 海里/小时.,考点一 测量距离问题,考点突破,典例1 (1)(2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸 B,C的俯角分别为67,30,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等 于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 670.92, cos 670.39,sin 370.60,cos 370.80, 1.73),(2)如图,某观测站C在城A的南偏西20的方向上,从城A出发有一条走向 为南偏东40的公路,在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆 汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20 km后到达D处,测得C,D两处的距离 为21 km,这时此车距离A城 千米.,答案 (1)60 (2)15 解析 (1)设气球A在地面的投影为点D,则AD=46 m,于是BD=ADtan(90 -67)=46 19.5 m,DC=ADtan(90-30)=46 79.6 m,BC= DC-BD=79.6-19.560 m. (2)在BCD中,BC=31 km,BD=20 km,CD=21 km,由余弦定理得cos BDC= = =- , 所以cosADC= ,所以sinADC= . 在ACD中,CD=21 km,CAD=60, 所以sinACD=sin(60+ADC)= + = . 由正弦定理得 = ,所以AD= =15 km.,方法技巧 求解距离问题的一般步骤 (1)画出示意图,将实际问题转化成三角形问题; (2)明确所求的距离在哪个三角形中,有几个已知元素; (3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(对于解答题,应作答).,1-1 (2017安徽铜陵一中期末)如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量 者在A的同侧,且B点不可到达,要测出A、B的距离,其方法是在A所在的 岸边选定一点C,测出A、C的距离m,再借助仪器,测出ACB=,CAB= ,在ABC中,运用正弦定理就可以求出AB. 若测出AC=60 m,BAC=75,BCA=45,则A,B两点间的距离为 m.,答案 20 解析 ABC=180-75-45=60, 由正弦定理得, = , AB= = =20 (m). 即A,B两点间的距离为20 m.,考点二 测量高度问题 典例2 (2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西 行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m 后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度 CD= m.,答案 100 解析 依题意有AB=600,CAB=30, CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB. ACB=45, 在ABC中,由 = , 得 = , 有CB=300 , 在RtBCD中,CD=CBtan 30=100 , 则此山的高度CD=100 m.,易错警示 解决高度问题的注意事项 (1)在解决有关高度的问题时,要理解仰角、俯角的概念. (2)在实际问题中,可能会遇到同时研究空间与平面(地面)的问题,这时 最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又 不容易搞错. (3)一般是把高度问题转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关 系的应用,若是空间的问题,则要注意空间图形和平面图形的结合.,2-1 (2016湖北七市(州)协作体联考)如图,为了估测某塔的高度,在同一 水平面的A,B两点处进行测量,在点A处测得塔顶C在西偏北20的方向 上,仰角为60,在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上,仰角为30.,若A,B两点相距130 m,则塔CD的高度为 m. 答案 10,解析 设CD=h m,则AD= m,BD= h m,在ADB中,ADB=180-20 -40=120,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BDADcos 120,可得1302= 3h2+ -2 h ,解得h=10 (负值舍去),故塔的高度为10 m.,考点三 测量角度问题 典例3 如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于A处) 发现在北偏东45方向,相距12 n mile的水面B处,有蓝方一艘小艇正以每 小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以每小时 14 n mile的速度,沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间 内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.,解析 如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为x 小时, 则AC=14x(n mile),BC=10x(n mile),ABC=120.,根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120, 解得x=2(负值舍去). 故AC=28(n mile),BC=20(n mile). 根据正弦定理得 = , 解得sin = = . 综上,要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时 间为2小时,角的正弦值为 .,易错警示 解决测量角度问题的注意事项 (1)明确方向角的含义; (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关 键、最重要的一步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理 的综合运用.,3-1 如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南 偏西30,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线前往 B处救援,求cos 的值.,解析 在ABC中,AB=40海