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利用点列共线证明等差数列的性质 江西省吉安师范学校（343000）邹玲傅金梅 等差数列的通项可以表示为an=dn+(a1d)，从函数的观点看，点列(n,an)在直线y=kx+b（k=d，b=a1d）上。故有下面的命题： 命题若an是等差数列，则点列(n,an)在同一条直线上。 设Sn是等差数列的前n项和，易证Snn为等差数列。由命题知下面的推论成立。 推论设Sn是等差数列的前n项和，则点列n,Snn在同一条直线上。 下面利用上述命题与推论，巧证等差数列的几个性质。 设ap，aq，ar是等差数列an的任意三项，则点(p,ap)，(r,ar)，(q,aq)共线，由定比分点坐标公式有r=p+q1+, ar=ap+aq1+,ar=(rq)ap(rp)aqpq（*）。 当r=p或r=q时，（*）式也成立，这表明当rN?时（*）式都成立。 由（*）式易得以下几个有趣的性质： 性质1在等差数列an中，若ap=q，aq=p，pq，则ap+q=0。 性质2在等差数列an中，若ap=q2，aq=p2，pq，则ap+q=pq。 性质3在等差数列an中，若ap=1q，aq=1p，pq，则apq=1。 性质4在等差数列an中，若p+q=r+s，则ap+aq=ar+as。特别地，当 p+q=2m时，有ap+aq=2am。 证明:点(p,ap)，(q,aq)，(r,ar)，(s,as)共线，设直线方程为y=kx+b，则 ap=kp+b，aq=kq+b，ar=kr+b，as=ks+b，ap+aq=k(p+q)+2b， ar+as=k(r+s)+2b，p+q=r+s，ap+aq=ar+as。 显然，当r=s=m，即p+q=2m时，有ap+aq=2am。 推广1在等差数列an中，若p1+p2+pi=r1+r2+ri，则 ap1+ap2+api=ar1+ar2+ari。特别地，当p1+p2+pi=im时，有 ap1+ap2+api=iam。 推广2在等差数列an中，若 p1+p2+pii=r1+r2+rjj，则 ap1+ap2+apii=ar1+ar2+arjj。 性质5设Sn是等差数列的前n项和，若pq，则Sp+q=p+qpq(SpSq)。 证明:点p,Spp，q,Sqq，p+q,Sp+qp+q共线，Sp+qp+qSqq(p+q)q=SppSqqpq，化简，得Sp+q=p+qpq(SpSq)。 推论1设Sn是等差数列的前n项和，若Sp=Sq，pq，则Sp+q=0。 推论2设Sn是等差数列的前n项和，若Sp=q，Sq=p，pq，则 Sp+q=(p+q)。 在性质5中，令p=i，q=i1，iN*，且i1，得S2i1=(2i-1)(SiSi1)，即S2i1=(2i-1)ai。当i=1时，S2i1=(2i-1)ai显然成立；在性质5中，令p=i+1， q=i1，同理可得S2i=i(ai+ai+1)。于是有 推论3设Sn是等差数列an的前n项和，则S2i1=(2i-1)ai。 推论4设Sn是等差数列an的前n项和，则S2i=i(ai+ai+1)。 在性质5中，令p=2i，q=i，得S3i=3(S2iSi