高三数学一轮复习《定积分与微积分基本定理》理.ppt

理数 课标版,第五节 定积分与微积分基本定理,1.定积分的定义 如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xixn=b将区 间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n), 作和式 f(i)x= f(i),当n时,上述和式无限接近于某个常数,教材研读,这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作 f(x)dx ,即 f(x)dx= f(i).这里a和b分别叫做积分下限和积分上限,区间a,b 叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量, f(x)dx叫做被积式.,2.定积分的运算性质 (1) kf(x)dx= k f(x)dx (k为常数). (2) f1(x)f2(x)dx= f1(x)dx f2(x)dx . (3) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx (acb).,3.微积分基本定理 一般地,如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)=f(x),那么 f(x)dx= F(b)-F(a) ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿-莱布尼茨公 式.可以把F(b)-F(a)记为F(x) ,即 f(x)dx=F(x) = F(b)-F(a) .,4.定积分的几何意义 如图: 设阴影部分的面积为S,则: (1)S= f(x)dx; (2)S= - f(x)dx ; (3)S= f(x)dx- f(x)dx ;,(4)S= f(x)dx- g(x)dx= f(x)-g(x)dx.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)设函数y=f(x)在区间(a,b)上连续,则 f(x)dx= f(t)dt. () (2)定积分一定是曲边梯形的面积. () (3)若 f(x)dx0,那么由y=f(x)的图象,直线x=a,直线x=b以及x轴所围成的 图形一定在x轴下方. () (4)若f(x)是偶函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx. (),1.(2014陕西,3,5分)定积分 (2x+ex)dx的值为 ( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1,答案 C (2x+ex)dx=(x2+ex) =1+e1-1=e,故选C.,2.若 dx=3+ln 2(a1),则a的值是 . 答案 2 解析 由 dx=(x2+ln x) =(a2+ln a)-(12+ln 1)=a2+ln a-1=3+ln 2 (a1),得a2+ln a=4+ln 2,所以a=2.,3. e|x|dx的值为 . 答案 2e-2 解析 =-e-x +ex =-e0-(-e)+(e-e0) =-1+e+e-1=2e-2.,4.若 . 答案 -2 解析 , =-1-1=-2.,考点一 定积分的计算 典例1 计算下列定积分: (1) dx;(2) cos xdx;(3) dx; (4) dx;(5) (3x3+4sin x)dx. 解析 (1)因为(ln x)= ,所以 dx=2 dx=2ln x =2(ln 2-ln 1)=2ln 2. (2)因为(sin x)=cos x,所以 cos xdx=sin x =sin -sin 0=0. (3)因为(x2)=2x, =- ,所以 dx= 2xdx+ dx=x2 + = .,考点突破,(4)根据定积分的几何意义,可知 dx表示的是如图所示的阴 影部分的面积,即圆(x-1)2+y2=1的面积的 .,故 dx= . (5)易知y=3x3+4sin x是R上的奇函数, 所以 (3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx. 所以 (3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.,方法技巧 求定积分的常用方法 1.利用定积分的几何意义.求定积分 f(x)dx时,若被积函数的原函数不 易求,而被积函数的图象与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积易 求,则用定积分的几何意义求定积分.,2.利用函数图象的对称性.设函数f(x)在闭区间-a,a上连续,则由定积分 的几何意义和奇偶函数图象的对称性可得: (1)若f(x)是偶函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx; (2)若f(x)是奇函数,则 f(x)dx=0.,1-1 计算定积分 |3-2x|dx= . 答案,解析 因为|3-2x|=,所以 |3-2x|dx,= (3-2x)dx+ (2x-3)dx,=(3x-x2) +(x2-3x) = .,1-2 设函数f(x)=ax2+c(a0),若 f(x)dx=f(x0),0x01,则x0的值为 . 答案 解析 由已知可得 a+c=a +c, = .又0x01,x0= .,考点二 定积分几何意义的应用 典例2 (1)(2016唐山统一考试)过点(-1,0)的直线l与曲线y= 相切,则 曲线y= 与直线l及x轴所围成的封闭图形的面积为 ; (2)(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导 致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前 最大流量的比值为 . 答案 (1) (2)1.2 解析 (1)因为y= 的导数为y= ,设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为,= ,解得x0=1,即切线的斜率为 ,所以直线l的方程为y= (x+1), 所以所围成的封闭图形的面积为 dx+ 1 = + = . (2)建立直角坐标系,如图.,过B作BEx轴于点E, BAE=45,BE=2, AE=2, 又OE=5, A(3,0),B(5,2). 设抛物线的方程为x2=2py(p0), 将点B的坐标代入,得p= ,故抛物线的方程为y= x2. 从而曲边三角形OEB的面积为 x2dx= = . 又SABE= 22=2, 故曲边三角形OAB的面积为 ,从而图中阴影部分的面积为 . 又易知等腰梯形ABCD的面积为 2=16, 则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 =1.2.,方法技巧 利用定积分求平面图形面积的一般步骤 (1)画出草图; (2)分析围成平面图形的各曲线与直线,求出交点坐标,确定积分的上、 下限,及被积函数; (3)将平面图形的面积表示成一个定积分或若干个定积分的和; (4)计算定积分,写出答案.,2-1 曲线y=x2与直线y=kx(k0)所围成的曲边图形的面积为 ,则k= . 答案 2,解析 由 得 或 则曲线y=x2与直线y=kx(k0)所围成 的曲边梯形的面积为 (kx-x2)dx= = - k3= ,即k3=8,所以 k=2.,2-2 若函数f(x)=Asin (A0,0)的图象如图所示,则图中的阴影 部分的面积为 . 答案 1- 解析 由图象可知A=1, = - =,所以=1,则f(x)=sin .,f(x)的图象与x轴交点的横坐标为 ,所以图中的阴影部分的面积为 dx=cos =1- .,考点三 定积分在物理中的应用 典例3 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ (t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车行驶的 路程(单位:m)是 ( ) A.1+25ln 5 B.8+25ln C.4+25ln 5 D.4+50ln 2 答案 C 解析 由v(t)=0得t=4.故所求路程为s= v(t)dt= dt= =(4+25ln 5)m.,方法技巧 定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么 从时刻t=a到t=b所经过的路程s= v(t)dt. (2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(