2016年宿迁市高一数学下期末试卷（有答案和解释）

1 / 21 2016 年宿迁市高一数学下期末试卷（有答案和解释） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX-2016 学年江苏省宿迁市高一（下）期末数学试卷 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5 分，共计 70分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知直线经过点 A（ 2， 0）， B（ 5， 3），则该直线的倾斜角为 2在 ABc 中， AB=， Ac=1， A=30 ，则 ABc 的面积为 3不等式 x（ 1 x） 0 的解集是 4过点 P（ 1， 2）且与直线 2x+y 5=0 平行的直线方程为 5在 ABc 中，角 A、 B、 c 所对的边分别为 a、 b、 c，且b2+c2=a2+bc，则角 A 的大小为 6在数列 an中，已知 a1=1，且 an+1=an+n， nN* ，则a9的值为 7已知正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为 2 / 21 8已知直线 l1： ax+（ a+2） y+1=0， l2： x+ay+2=0若 l1l2 ，则实数 a 的值是 9若实数 x， y 满足条件，则 z=2x+y的最大值为 10在等比数列 an中，已知 a2=2， a8=32，则 a5 的值为 11已知实数 x， y满足 2x y=4，则 4x+的最小值为 12已知 m， m 表示两条不同直线， 表示平面，下列命题中正确的有 （填序号） 若 m ， n ，则 mn ； 若 m ， n ，则 mn ； 若 m ， mn ，则 n ； 若 m ， n ，则 mn 13设 Sn为数列 an的前 n 项和，已知 an=， nN* ，则的最小值为 14已知直线 l 的方程为 ax+by+c=0，其中 a， b， c 成等差数列，则原点 o 到直线 l 距离的最大值为 二、解答题：本大题共 6 小题， 15-17题每小题 14分， 18-20题每小题 14分，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15如图，在直三棱柱 ABc A1B1c1中，已知 AB=Ac， D， F分别是棱 Bc， B1c1的中点， E 是棱 cc1上的一点求证： 3 / 21 （ 1）直线 A1F 平面 ADE； （ 2）直线 A1F 直线 DE 16已知 ， （ 0，）， sin（ ） =， tan= （ 1）求 sin 的值； （ 2）求 tan（ +2 ）的值 17已知直线 l 的方程为 x+my 2m 1=0， mR 且 m0 （ 1）若直线 l 在 x 轴， y 轴上的截距之和为 6，求实数 m 的值； （ 2）设直线 l 与 x 轴， y 轴的正半轴分别交于 A， B 两点，o 为坐标原点，求 AoB 面积最小时直线 l 的方程 18如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线 AB， Ac为湿地两边夹角为 120的公路（长度均超过 2 千米），在两条公路 AB， Ac 上分 别设立游客接送点 m， N，从观景台 P 到 m， N 建造两条观光线路Pm， PN，测得 Am=2千米， AN=2千米 （ 1）求线段 mN的长度； （ 2）若 mPN=60 ，求两条观光线路 Pm 与 PN 之和的最大值 19已知函数 f（ x） =2x2 ax+a2 4， g（ x） =x2 x+a28， aR 4 / 21 （ 1）当 a=1时，解不等式 f（ x） 0； （ 2）若对任意 x 0，都有 f（ x） g（ x）成立，求实数 a的取值范围； （ 3）若对任意 x10 ， 1，总存在 x20 ， 1，使得不等式 f（ x1） g（ x2）成立，求实 数 a 的取值范围 20在等差数列 an中，已知 a1=1，公差 d0 ，且 a1， a2，a5 成等比数列，数列 bn的前 n 项和为 Sn， b1=1， b2=2，且 Sn+2=4Sn+3， nN* （ 1）求 an和 bn； （ 2）设 cn=an（ bn 1），数列 cn的前 n 项和为 Tn，若（1） nn （ Tn+n2 3）对任意 nN* 恒成立，求实数 的取值范围 XX-2016学年江苏省宿迁市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5 分，共计 70分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知直线经过点 A（ 2， 0）， B（ 5， 3），则该直线的倾斜角为 145 【分析】由两点的坐标求得直线 AB 的斜率，再由倾斜角的5 / 21 正切值等于斜率求得倾斜角的值 【解答】解：由 A（ 2， 0）， B（ 5， 3），可得 直线 AB的斜率 k= 1 设直线 AB的倾斜角为 （ 0 180 ）， 则 tan= 1， =145 故答案为： 145 2在 ABc 中， AB=， Ac=1， A=30 ，则 ABc 的面积为 【分析】直接利用三角形 面积公式求得答案 【解答】解：SABc=ABAcsinA=1= 故答案为： 3不等式 x（ 1 x） 0 的解集是 （ 0， 1） 【分析】把不等式 x（ 1 x） 0 化为 x（ x 1） 0，求出解集即可 【解答】解： 不等式 x（ 1 x） 0 可化为 x（ x 1） 0， 解得 0 x 1， 该不等式的解集是（ 0， 1） 故答案为：（ 0， 1） 6 / 21 4过点 P（ 1， 2）且与直线 2x+y 5=0 平行的直线方程为 2x+y=0 【分析 】设出平行线方程，利用平行线经过 P，求出平行线中的变量，得到平行线方程 【解答】解：设与直线直线 2x+y 5=0 平行的直线方程为2x+y+b=0， 因为平行线经过点 P（ 1， 2），所以 2+2+b=0， b=0 所求直线方程为 2x+y=0 故答案为： 2x+y=0 5在 ABc 中，角 A、 B、 c 所对的边分别为 a、 b、 c，且b2+c2=a2+bc，则角 A 的大小为 60 【分析】直接运用余弦定理，将条件代入公式求出角 A 的余弦值，再在三角形中求出角 A 即可 【解答】解： b2+c2=a 2+bc b2+c2 a2=bc cosA= 即 A=60 ， 故答案为 60 6在数列 an中，已知 a1=1，且 an+1=an+n， nN* ，则a9的值为 37 7 / 21 【分析】利用 “ 累加求和 ” 方法与等差数列的求和公式即可得出 【解答】解： a1=1 ，且 an+1=an+n， nN* ， an= （ an an 1） +（ an 1 an 2） + （ a2 a1） +a1 =（ n 1） +（ n 2） +1+1 =+1 则 a9=+1=37 故答案为： 37 7已知正四棱锥 的底面边长为 2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为 【分析】求出棱锥的高与底面面积，即可求解棱锥的体积 【解答】解：正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长为，底面对角线长为： 2 所以棱锥的高为： =2 所以棱锥的体积为： 222= 故答案为： 8已知直线 l1： ax+（ a+2） y+1=0， l2： x+ay+2=0若 l1l2 ，则实数 a 的值是 0 或 3 【分析】根据直线垂直的等价条件进行求解即可 8 / 21 【解答】解： l1l2 ，则 a+a（ a+2） =0， 即 a（ a+3） =0，解得 a=0或 a= 3， 故答案为： 0 或 3 9若实数 x， y 满足条件，则 z=2x+y 的最大值为 18 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，求出最优解即可得到结论 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=2x+y得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x+z， 由图象可知当直线 y= 2x+z经过点 A 时，直线的截距最大， 此时 z 最大， 由，解得， 即 A（ 6， 6），此时 z=26+6=18 ， 故答案为： 18 10在等比数列 an中，已知 a2=2， a8=32，则 a5 的值为 8 【分析】直接由等比中项的概念列式求解 a5的值 【解答】解： 数列 an是各项为正数的等比数列， 由等比中项的概念得： a5=8 9 / 21 故答案为： 8 11已知实数 x， y 满足 2x y=4，则 4x+的最小值为 8 【分析】运用指数的运算性质和基本不等式，即可得到所求最小值，注意等号成立的条件 【解答】解：由 2x y=4， 4x+=22x+2 y， 且 22x 0， 2 y 0，可得 22x+2 y2=2=2=8 当且仅当 22x=2 y，又 2x y=4， 即有 x=1， y= 2 时，取得最小值 8 故答案为： 8 12已知 m， m 表示两条不同直线， 表示平面，下列命题中正确的有 （填序号） 若 m ， n ，则 mn ； 若 m ， n ，则 mn ； 若 m ， mn ，则 n ； 若 m ， n ，则 mn 【分析】我们逐一对四个答案中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案 【解答】解： 若 m ， n ，利用线面垂直的性质，10 / 21 可得 mn ，正确； 若 m ， n ，利 用线面垂直的性质，可得 mn ，正确； 若 m ， mn ，则 n 或 n 不正确； 若 m ， n ，则 m 与 n 可能平行、相交、异面，不正确 故答案为： 13设 Sn为数列 an的前 n 项和，已知 an=， nN* ，则的最小值为 【分析】运用等差数列的求和公式，计算 Sn，化简，再运用基本不等式，求得等号成立的条件，注意 n 为自然数，计算 n=3， 4 的数值，比较，即可得到所求最小值 【解答】解： Sn=a1+a2+a3+an=11+ （ 3+4+n+ 1） =11+（ n 1）（ n+4） =n2+n+9， 则 =n+， 由 n+2=3 ， 当 n=时，即 n=3N*，等号成立， 由 n=3时， n+=， n=4时， n+= 则 n+的最小值为 可得的最小值为 += 11 / 21 故答案为： 14已知直线 l 的方程为 ax+by+c=0，其中 a， b， c 成等差数列，则原点 o 到直线 l 距离的最大值为 【分析】根据直线方程和 a+c 2b=0，得直线过定点（ 1， 2），所以原点 o（ 0， 0）到直线 ax+by+c=0 的距离的最大值即为原点到定点的距离 【解答】解： a ， b， c 成等差数列， a+c 2b=0， 直线过定点（ 1， 2）， 原点 o（ 0， 0）到直线 ax+by+c=0 的距离的最大值即为原点（ 0， 0）到定点（ 1， 2）的距离： d= 原点 o（ 0， 0）到直线 ax+by+c=0 的距离的最大值为 故答案为： 二、解答题：本大题共 6 小题， 15-17题每小题 14分， 18-20题每小题 14分，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15如图，在直三棱柱 ABc A1B1c1中，已知 AB=Ac， D， F分别是棱 Bc， B1c1的中点， E 是棱 cc1上的一点求证： （ 1）直线 A1F 平面 ADE； 12 / 21 （ 2）直线 A1F 直线 DE 【分析】（ 1）连结 DF，证明四边形 AA1FD 为平行四边形，得出 A1FAD ，从而证明 A1F 平面 ADE； （ 2）证明 ADBc ，且 ADBB1 ，得出 AD 平面 BB1c1c，从而证明直线 AD 直线 DE 【解答】解：（ 1）证明：连结 DF， 因为三棱柱 ABc A1B1c1 为直三棱柱， D， F 分别是棱 Bc，B1c1上的中点， 所以 DFBB1 且 DF=BB1， AA1BB1 且 AA1=BB1； 所以 DFAA1 且 DF=AA1， 所以四边形 AA1FD为平行四边形， 所以 A1FAD ， 又因为 A1F平面 ADF， AD平面 ADF， 所以直线 A1F 平面 ADE； （ 2）证明：因为 AB=Ac， D 是棱 Bc的中点， 所以 ADBc ； 又三棱柱 ABc A1B1c1为直三棱柱， 所以 BB1 平面 ABc； 又因为 AD平面 ABc， 所以 ADBB1 ； 因为 Bc， BB1平面 BB1c1c，且 BcB B1=B， 13 / 21 所以 AD 平面 BB1c1c， 又因为 DE平面 BB1c1c， 所以直线 AD 直线 DE 16已知 ， （ 0，）， sin（ ） =， tan= （ 1）求 sin 的值； （ 2）求 tan（ +2 ）的值 【分析】（ 1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos（ ），利用两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值即可计算得解 （ 2）由（ 1）利用同角三角函数基本关系式可求 cos ，进而可求 tan ，利用二倍角的正切函数公式可求 tan2 的值，进而利用两 角和的正切函数公式可求 tan（ +2 ）的值 【解答】（本题满分为 14分） 解：（ 1）因为， 所以， 故 所以 = （ 2）因为，由（ 1）知， 所以 tan=7 14 / 21 因为， 所以 故 17已知直线 l 的方程为 x+my 2m 1=0， mR 且 m0 （ 1）若直线 l 在 x 轴， y 轴上的截距之和为 6，求实数 m 的值； （ 2）设直线 l 与 x 轴， y 轴的正半轴分别交于 A， B 两点，o 为坐标原点，求 AoB 面积最小时直线 l 的方程 【分析】（ 1）令 x=0，得 y 的值，令 y=0，得 x 的值，又已知直线 l 在 x 轴， y 轴上的截距之和，列出方程，求解方程即可得实数 m 的值； （ 2）方法一：由（ 1）得 A， B 点的坐标，又已知直线 l 与x 轴， y 轴的正半轴分别交于 A， B 两点，则可得不等式组，求解得 m 0，再由三角形的面积公式结合基本不等式即可求得 m 的值，则直线 l 的方程可求 方法二：由 x+my 2m 1=0，得（ x 1） +m（ y 2） =0，列出方程组，求解即可得 x， y 的值，求出直线 l 过定点 P（ 1，2），再设 A（ a， 0）， B（ 0， b）（ a 0， b 0），则直线 l 的方程为：，把点 P（ 1， 2）代入直线方 程，得，由基本不等式得， ab8 ，则可求出当 AoB 面积最小时，直线 l 的方程 【解答】解：（ 1）令 x=0，得 15 / 21 令 y=0，得 x=2m+1 由题意知， 即 2m2 3m+1=0， 解得或 m=1； （ 2）方法一： 由（ 1）得， 由解得 m 0 = = 当且仅当，即时，取等号 此时直线 l 的方程为 2x+y 4=0 方法二： 由 x+my 2m 1=0，得（ x 1） +m（ y 2） =0 ，解得 直线 l 过定点 P（ 1， 2） 设 A（ a， 0）， B（ 0， b）（ a 0， b 0） ， 则直线 l 的方程为： 将点（ 1， 2）代入直线方程，得， 由基本不等式得， ab8 当且仅当，即 a=2， b=4时，取等号 ， 当 AoB 面积最小时，直线 l 的方程为 2x+y 4=0 16 / 21 18如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线 AB， Ac为湿地两边夹角为 120的公路（长度均超过 2 千米），在两条公路 AB， Ac 上分别设立游客接送点 m， N，从观景台 P 到 m， N 建造两条观光线路Pm， PN，测得 Am=2千米， AN=2千米 （ 1）求线段 mN的长度； （ 2）若 mPN=60 ，求两条观光线路 Pm 与 PN 之和的最大值 【分析】（ 1）在 AmN 中，利用余弦定理得到 mN； （ 2）设 PmN= ，得到 PNm=120 ，利用正弦定理将Pm+PN用 表示，结合三角函数的有界性求最值 【解答】解：（ 1）在 AmN 中，由余弦定理得， mN2=Am2+AN2 2AmANcos120 =， 所以千米 （ 2）设 PmN= ，因为 mPN=60 ，所以 PNm=120 在 PmN 中，由正弦定理得， 因为 =， 所以 Pm=4sin， PN=4sin 因此 Pm+PN=4sin+4sin 17 / 21 = = 因为 0 120 ，所以 30 +30 150 所以当 +300=900 ，即 =600 时， Pm+PN取到最大值 答：两条观光线路距离之和的最大值为千米 19已知函数 f（ x） =2x2 ax+a2 4， g（ x） =x2 x+a28， aR （ 1）当 a=1时，解不等式 f（ x） 0； （ 2）若对任意 x 0，都有 f（ x） g（ x）成立，求实数 a的取值范围； （ 3）若对任意 x10 ， 1，总 存在 x20 ， 1，使得不等式 f（ x1） g（ x2）成立，求实数 a 的取值范围 【分析】（ 1）将 a=1代入解关于 x 的不等式即可；（ 2）问题转化为 x2+（ 1 a） x+4 0 在 x 0 恒成立，通过讨论判别式得到关于 a 的不等式组，解出即可； （ 3）问题转化为 f（ x） min g（ x） max， x0 ， 1，通过讨论 a 的范围求出 f（ x）的最小值以及 g（ x）的最大值，得到关于 a 的不等式，解出即可 【解答】解：（ 1） a=1时， f（ x） =2x2 x 3， 令 f（ x） 0，得：（ 2x 3）（ x+1） 0，解得： 1 x； （ 2）若对任意 x 0，都有 f（ x） g（ x）成立， 18 / 21 即 x2+（ 1 a） x+4 0 在 x 0 恒成立， 令 h（ x） =x2+（ 1 a） x+4 0，（ x 0）， = （ 1 a） 2 16 0 即 3 a 5 时， h（ x）和 x 轴无交点，开口向上，符合题意， 0 时，解得： a5 或 a 3， 只需，解得： a 1， 综上： a 5； （ 3）若对任意 x10 ， 1，总存在 x20 ， 1，使得不等式 f（ x1） g（ x2）成立， 即只需满足 f（ x） min g（ x） max， x0 ， 1， g（ x） =x2 x+a2 8，对称轴 x=， g（ x）在 0，）递减，在（， 1递增， g （ x） max=g（ 0） =g（ 1） =a2 8， f（ x） =2x2 ax+a2 4，对称轴 x=， 0 即 a0 时， f（ x）在 0， 1递增， f（ x） min=f（ 0）=a2 4 g（ x） max=a2 8 恒成立， 0 1 即 0 a 4 时， f（ x）在 0，）递减，在（， 1递增， f（ x） min=f（） =a2+4， g（ x） max=a2 8， a2+4 a2 8，解得： 0 a 2， 1 即 a4 时， f（ x）在 0， 1递减， f（ x） min=f（ 1） =a2 a 2， g（ x） max=a2 8， 19 / 21 a2 a 2 a2 8，解得： 4a 6， 综上： a （ ， 2） 4 ， 6） 20在等差数列 an中，已知 a1=1，公差 d0 ，且 a1， a2，a5 成等比数列，数列 bn的前 n 项和为 Sn， b1=1， b2=2，且 Sn+2=4Sn+3， nN* （ 1）求 an和 bn； （ 2）设 cn=an（ bn 1），数列 cn的前 n 项和为 Tn，若（1） nn （ Tn+n2 3）对任意 nN* 恒成立，求实数 的取值范围 【分析】（ 1）根据等差数列和等比数列的关系建立方程进行求解即可 （ 2）求出数列 cn的前 n 项和为 Tn，利用错位相减法进行求和，利用参数分离法，结合 n 的奇数和偶数进行讨论，转化为求最值即可求解即可 【解答】解：（ 1） 在等差数列 an中，已知 a1=1，公差 d0 ，且 a1， a2， a5成等比数列， a1a5=a22 ， 即 a1（ a1+4d） =（ a1+d） 2， 即 a12+4a1d=a12+2a1d+d2， 即 2d=d2， d0 ， d=2 ，则 an=1+2（ n 1） =2n 1 20 / 21