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分类讨论思想在初中数学解题中的运用策略 文/周金林 数学思想是人们对现实世界的数量关系、空间形式、模式结构的意识反映，是思维活动的结果。它能帮助人们系统化地学习知识、掌握结构，提供最佳解决问题的策略，诸如数形结合思想、化归思想、方程与函数思想、分类讨论思想等等。分类讨论思想最早源于九章算术中关于盈亏问题的讨论，它指在部分数学问题中存在着一些不确定的因素，结论不是能够唯一确定的，要根据题目特点和要求，按不同的情况进行分类，将原题转化为若干个小问题逐项讨论，最后综合求解的过程。 一、渗透分类讨论思想的意义 1有助于养成分类的意识。物以类聚，每个人在日常生活中都积累了一定的分类经验，教师在课堂教学中要将生活中的分类知识迁移到数学教学中，如数的分类、三角形的分类等等，力求做到目标明确、标准统一，要充分挖掘教材，抓住渗透的契机，将分类讨论应用于生活之中。 2有助于掌握分类的方法。在分类讨论教学中，教师要引导学生根据对象的属性进行分类讨论，不遗漏、不重复地划分子类，并对每一类加以解答，能有效地培养学生思维的缜密性。 3有助于形成一题多解的能力。分类讨论教学为学生营造了合作、交流、争辩的氛围，学生往往不满足于一种解法，对一些题目提出两种、三种甚至多种解法，能有效培养学生思维的灵活性，从而促进学生创新思维能力的发展。 4有助于形成良好的认知结构。学生认知结构的发展是通过学生主动同化、顺应，在原有的认知结构上进行拓展、延伸，从而形成新的系统。分类讨论思想揭示知识间的内在联系，能帮助学生完善认知结构，培养思维的灵活性和创造性。 二、当前分类讨论思想渗透存在的主要问题 1教学思想陈旧。长期以来，受“传道、授业、解惑”的传统影响，部分教师教学思想陈旧，沿袭传统的教学理念，以传授知识作为主要教学目标，他们只注重知识的传授，而忽视思想方法的渗透，他们从不主动考虑解题意图，不能从多角度分析问题，往往是一解了之，缺乏深层次的探索，掩盖了学生的思维困惑。 2学生被动接受。传统的数学教学脱离学生生活实际，教师机械灌输，大搞题海战术，割裂了知识间的联系，学生缺乏自我感悟和独立探究的机会，感到数学知识索然无味，缺乏探究热情，无法顾及运用什么思想方法，更谈不上知识的创新了。如在“角平分线定理”教学中，一位教师重点强调“到三角形三边距离相等的点是三角形的内心”，而没有联系“外心”进行分类讨论，导致学生在解题时容易出错。 3应试教育影响。部分教师受中考指挥棒的影响，“以考分论英雄”的应试教育观念根深蒂固，他们不理解素质教育的内涵，依然“穿新鞋走老路”，重知识轻能力、重解题轻思想的现象普遍存在，导致学生抽象思维能力薄弱。 三、分类思想在解题中的应用 1分类思想在绝对值解题运算中的运用。解有关绝对值的题目时，一般是根据绝对值的意义去掉绝对值符号，但如果不确定绝对值里面数的符号，就必须要分类讨论。 例1：使|a+1|=|a|+1成立的条件是（） A.a为任何实数B.a0C.a0D.a0 分析：此题中等号左右两边都有绝对值符号，而又未给出实数a的取值范围，因而无法直接去掉绝对值。可根据“零点分段”的方法，令|a+1|=0，|a|=0得a=-1和a=0。再分a-1、-1a0、a0进行讨论。 解：令|a+1|=0，得a=-1；令|a|=0，得a=0。 （1）当a-1时，左边=-（a+1）=-a-1，右边=-a+1，左边右边； （2）当-1a0、=0两种情况分析：0，即k2时，有两个交点（1，0）、（1/k-1，0）；=0，即k=2时，有一个交点（1，0）。 （4）分类思想在几何操作中的运用。在解答几何问题时，要根据题意分析清楚符合条件图形的各种可能形状、位置，抓住相关对象性质，分类各种符合条件的图形。 例4：已知ABC的边AB=6,AC=2,BC边上的高AD=3。（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的一边在已知ABC边上，另外两个顶点在AC、BC上，求这个正方形的面积。 分析：过ABC的顶点A向对边作垂线，垂足可以在BC上，也可能在BC的延长线上，要分两种情况进行讨论。（如图） 总之，分类讨论思想作为一种重要的思想方法，对于培